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1.如图,将等边三角形APQ的边PQ向两边延长,使$PB=QC=PQ$,则$∠BAC$的度数为(
A.$120°$
B.$110°$
C.$100°$
D.$90°$
A
).A.$120°$
B.$110°$
C.$100°$
D.$90°$
答案
1.A
解析
【分析】
解题时先从已知的等边三角形APQ入手，利用等边三角形三边相等、三个内角均为60°的性质得到边和角的基础等量关系；再结合PB=QC=PQ的条件，推导出△ABP和△ACQ为等腰三角形；之后利用三角形外角的性质和等腰三角形等边对等角的性质，求出∠BAP和∠CAQ的度数；最后将∠BAP、∠PAQ、∠CAQ三个角相加，即可得到∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵△APQ是等边三角形，
∴AP=PQ=AQ，∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°，
∵PB=QC=PQ，
∴PB=AP，QC=AQ，
∴△ABP、△ACQ均为等腰三角形，即∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ。
∵∠APQ是△ABP的外角，
∴∠APQ=∠B+∠BAP=2∠BAP=60°，解得∠BAP=30°，
同理可得∠CAQ=30°，
∴∠BAC=∠BAP+∠PAQ+∠CAQ=30°+60°+30°=120°。
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是基础的几何角度计算题，核心是对特殊三角形性质和三角形外角性质的综合运用，解题关键是通过边的等量关系判断出等腰三角形，再结合外角性质求出未知角的度数，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的等边三角形APQ入手，利用等边三角形三边相等、三个内角均为60°的性质得到边和角的基础等量关系；再结合PB=QC=PQ的条件，推导出△ABP和△ACQ为等腰三角形；之后利用三角形外角的性质和等腰三角形等边对等角的性质，求出∠BAP和∠CAQ的度数；最后将∠BAP、∠PAQ、∠CAQ三个角相加，即可得到∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵△APQ是等边三角形，
∴AP=PQ=AQ，∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°，
∵PB=QC=PQ，
∴PB=AP，QC=AQ，
∴△ABP、△ACQ均为等腰三角形，即∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ。
∵∠APQ是△ABP的外角，
∴∠APQ=∠B+∠BAP=2∠BAP=60°，解得∠BAP=30°，
同理可得∠CAQ=30°，
∴∠BAC=∠BAP+∠PAQ+∠CAQ=30°+60°+30°=120°。
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是基础的几何角度计算题，核心是对特殊三角形性质和三角形外角性质的综合运用，解题关键是通过边的等量关系判断出等腰三角形，再结合外角性质求出未知角的度数，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2.如图，$△ ABC$是等边三角形，$AD⊥ BC$，点$E$在$AC$上，且$AE=AD$，则$∠ DEC$的大小为(
A.$105°$
B.$85°$
C.$95°$
D.$75°$
A
)。A.$105°$
B.$85°$
C.$95°$
D.$75°$
答案
2.A
解析
【分析】
解决这道题的思路可以分三步进行：第一步，利用等边三角形的性质和三线合一特征，求出∠DAC的度数；第二步，根据AD=AE可知△ADE是等腰三角形，结合三角形内角和定理算出∠AED的度数；第三步，利用邻补角和为180°的性质，计算出∠DEC的大小。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵AD⊥BC，根据等边三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC，
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
又
∵AD=AE，
∴△ADE是等腰三角形，∠ADE=∠AED，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠AED=(180°-∠DAC)÷2=(180°-30°)÷2=75°，
∵∠AED与∠DEC互为邻补角，即∠AED+∠DEC=180°，
∴∠DEC=180°-75°=105°。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是特殊三角形性质的综合应用题，解题的关键是熟练运用等边三角形三线合一的特征求出角的度数，再结合等腰三角形等边对等角的性质推导计算，解题时要注意所求角是∠DEC，不要误将∠AED当成最终结果。
【难度系数】
0.7
解决这道题的思路可以分三步进行：第一步，利用等边三角形的性质和三线合一特征，求出∠DAC的度数；第二步，根据AD=AE可知△ADE是等腰三角形，结合三角形内角和定理算出∠AED的度数；第三步，利用邻补角和为180°的性质，计算出∠DEC的大小。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵AD⊥BC，根据等边三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC，
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
又
∵AD=AE，
∴△ADE是等腰三角形，∠ADE=∠AED，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠AED=(180°-∠DAC)÷2=(180°-30°)÷2=75°，
∵∠AED与∠DEC互为邻补角，即∠AED+∠DEC=180°，
∴∠DEC=180°-75°=105°。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是特殊三角形性质的综合应用题，解题的关键是熟练运用等边三角形三线合一的特征求出角的度数，再结合等腰三角形等边对等角的性质推导计算，解题时要注意所求角是∠DEC，不要误将∠AED当成最终结果。
【难度系数】
0.7
3.给出下列几种三角形:①有两个角为$60°$的三角形;②三个外角都相等的三角形;③一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形;④有一个角为$60°$的等腰三角形.其中是等边三角形的有(
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
B
).A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
3.B
解析
【分析】
要判断给出的几种三角形是否为等边三角形，首先需要回忆等边三角形的判定规则：一是三个内角都为60°的三角形是等边三角形；二是有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形。接下来逐一分析每种描述对应的三角形是否符合上述判定规则，统计符合的数量即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析4种三角形：
①有两个角为60°的三角形：三角形内角和为180°，则第三个角为$180°-60°-60°=60°$，三个内角均为60°，符合等边三角形判定，是等边三角形；
②三个外角都相等的三角形：三角形外角和为360°，三个外角相等则每个外角为$360°÷3=120°$，对应的每个内角为$180°-120°=60°$，三个内角均为60°，是等边三角形；
③一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形：根据等腰三角形三线合一的性质，普通等腰三角形底边上的高天然就是底边上的中线，因此这个描述的三角形也可能只是普通等腰三角形（非等边），不一定是等边三角形；
④有一个角为60°的等腰三角形：这是等边三角形的判定定理，无论这个60°的角是顶角还是底角，都能推出三个内角均为60°，是等边三角形。
综上，①②④是等边三角形，共3个。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的判定；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题核心考查等边三角形的判定方法，解题的易错点是忽略普通等腰三角形也满足“底边上的高是底边上的中线”，从而误判③的描述也对应等边三角形，做题时要注意区分等腰和等边三角形的性质边界。
【难度系数】
0.7
要判断给出的几种三角形是否为等边三角形，首先需要回忆等边三角形的判定规则：一是三个内角都为60°的三角形是等边三角形；二是有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形。接下来逐一分析每种描述对应的三角形是否符合上述判定规则，统计符合的数量即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析4种三角形：
①有两个角为60°的三角形：三角形内角和为180°，则第三个角为$180°-60°-60°=60°$，三个内角均为60°，符合等边三角形判定，是等边三角形；
②三个外角都相等的三角形：三角形外角和为360°，三个外角相等则每个外角为$360°÷3=120°$，对应的每个内角为$180°-120°=60°$，三个内角均为60°，是等边三角形；
③一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形：根据等腰三角形三线合一的性质，普通等腰三角形底边上的高天然就是底边上的中线，因此这个描述的三角形也可能只是普通等腰三角形（非等边），不一定是等边三角形；
④有一个角为60°的等腰三角形：这是等边三角形的判定定理，无论这个60°的角是顶角还是底角，都能推出三个内角均为60°，是等边三角形。
综上，①②④是等边三角形，共3个。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的判定；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题核心考查等边三角形的判定方法，解题的易错点是忽略普通等腰三角形也满足“底边上的高是底边上的中线”，从而误判③的描述也对应等边三角形，做题时要注意区分等腰和等边三角形的性质边界。
【难度系数】
0.7
4.如图,在等边三角形ABC中,AB=4,BD平分∠ABC,点E在BC的延长线上,且∠E=30°,则CE的长为
2
.答案
4.2
解析
【分析】
解题时先从等边三角形的性质入手，明确三边长度和内角度数；再结合角平分线的条件，利用等腰三角形“三线合一”得到线段CD的长度；最后通过三角形外角的性质推导△DCE中角的相等关系，利用“等角对等边”即可求出CE的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AB=4，
∴AC=BC=AB=4，∠ACB=60°。
∵BD平分∠ABC，等边三角形属于特殊的等腰三角形，根据三线合一的性质，
∴D是AC的中点，
∴$CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$。
∵∠ACB是△DCE的外角，
∴∠ACB=∠E+∠CDE，
已知∠E=30°，
∴∠CDE=∠ACB-∠E=60°-30°=30°，
∴∠CDE=∠E，
根据等角对等边，可得CE=CD=2。
【答案】
2
【知识点】
等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何题，将等边三角形、等腰三角形的性质与三角形外角性质结合考查，解题的关键是找到CD与CE的等量关系，是等腰三角形章节的常见题型。
【难度系数】
0.8
解题时先从等边三角形的性质入手，明确三边长度和内角度数；再结合角平分线的条件，利用等腰三角形“三线合一”得到线段CD的长度；最后通过三角形外角的性质推导△DCE中角的相等关系，利用“等角对等边”即可求出CE的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AB=4，
∴AC=BC=AB=4，∠ACB=60°。
∵BD平分∠ABC，等边三角形属于特殊的等腰三角形，根据三线合一的性质，
∴D是AC的中点，
∴$CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$。
∵∠ACB是△DCE的外角，
∴∠ACB=∠E+∠CDE，
已知∠E=30°，
∴∠CDE=∠ACB-∠E=60°-30°=30°，
∴∠CDE=∠E，
根据等角对等边，可得CE=CD=2。
【答案】
2
【知识点】
等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何题，将等边三角形、等腰三角形的性质与三角形外角性质结合考查，解题的关键是找到CD与CE的等量关系，是等腰三角形章节的常见题型。
【难度系数】
0.8
5.如图，$△ ABC$是等边三角形，点$D$，$E$，$F$分别在边$AB$，$BC$，$CA$上，且$AF=BD=CE$。
求证$△ DEF$为等边三角形。
求证$△ DEF$为等边三角形。
答案
5.提示:证明$△ ADF≌△ BED≌△ CFE$.
解析
【分析】要证明△DEF为等边三角形，可通过证明其三边相等来推导。首先回忆等边三角形的性质：等边三角形三边相等，三个内角均为60°。结合题目给出的AF=BD=CE，可先推出AD=BE=CF，再利用SAS判定定理证明△ADF、△BED、△CFE两两全等，由全等三角形对应边相等即可得到△DEF的三边相等，从而完成证明。
【解析】
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴$∠ A=∠ B=∠ C=60°$，$AB=BC=AC$，
又
∵$AF=BD=CE$，
∴$AB-BD=BC-CE=AC-AF$，即$AD=BE=CF$，
在$△ ADF$和$△ BED$中：
$\begin{cases}AF=BD \\∠ A=∠ B \\AD=BE\end{cases}$
∴$△ ADF≌△ BED(\mathrm{SAS})$，
∴$DF=DE$，
同理可证$△ BED≌△ CFE$，得$DE=EF$，
∴$DE=DF=EF$，
∴$△ DEF$为等边三角形。
【答案】$△ DEF$是等边三角形。
【知识点】
1. 等边三角形的性质与判定
2. 全等三角形的判定与性质
【点评】本题属于几何基础证明题，重点考察全等三角形的判定定理和等边三角形的相关性质，解题关键是利用等边三角形的边角特征推导得到全等三角形的判定条件，有助于锻炼几何证明的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
【解析】
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴$∠ A=∠ B=∠ C=60°$，$AB=BC=AC$，
又
∵$AF=BD=CE$，
∴$AB-BD=BC-CE=AC-AF$，即$AD=BE=CF$，
在$△ ADF$和$△ BED$中：
$\begin{cases}AF=BD \\∠ A=∠ B \\AD=BE\end{cases}$
∴$△ ADF≌△ BED(\mathrm{SAS})$，
∴$DF=DE$，
同理可证$△ BED≌△ CFE$，得$DE=EF$，
∴$DE=DF=EF$，
∴$△ DEF$为等边三角形。
【答案】$△ DEF$是等边三角形。
【知识点】
1. 等边三角形的性质与判定
2. 全等三角形的判定与性质
【点评】本题属于几何基础证明题，重点考察全等三角形的判定定理和等边三角形的相关性质，解题关键是利用等边三角形的边角特征推导得到全等三角形的判定条件，有助于锻炼几何证明的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
