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5. 求不等式组$2≤ 3x - 7 ＜ 8$的所有整数解。
答案
5. $3≤x＜5$,则$x=3$或4
解析
【分析】
本题考查连写形式的一元一次不等式组的整数解求解，解题思路如下：这类连写不等式等价于一元一次不等式组$\begin{cases}3x-7≥2 \\3x-7＜8 \end{cases}$，也可直接对三边同时做相同的代数变形求解：第一步先给不等式三边同时加7，消去中间项的常数项，第二步给三边同时除以3，将x的系数化为1得到x的取值范围，最后在取值范围内找出所有整数即可。
【解析】
解：对不等式$2≤ 3x-7＜8$的三边同时加7，得：
$2+7≤ 3x-7+7＜8+7$
化简得$9≤ 3x＜15$
再对三边同时除以3，得：
$9÷3≤ 3x÷3＜15÷3$
化简得$3≤ x＜5$
在$3≤ x＜5$范围内的整数为3、4。
【答案】
$x=3$或$x=4$
【知识点】
一元一次不等式组解法、不等式的基本性质、整数解筛选
【点评】
本题是一元一次不等式组的基础题型，难度较低，求解时注意对不等式三边做相同变形时要遵守不等式的性质，系数化为1时注意不等号方向是否改变，最后按要求筛选整数解即可。
【难度系数】
0.85
本题考查连写形式的一元一次不等式组的整数解求解，解题思路如下：这类连写不等式等价于一元一次不等式组$\begin{cases}3x-7≥2 \\3x-7＜8 \end{cases}$，也可直接对三边同时做相同的代数变形求解：第一步先给不等式三边同时加7，消去中间项的常数项，第二步给三边同时除以3，将x的系数化为1得到x的取值范围，最后在取值范围内找出所有整数即可。
【解析】
解：对不等式$2≤ 3x-7＜8$的三边同时加7，得：
$2+7≤ 3x-7+7＜8+7$
化简得$9≤ 3x＜15$
再对三边同时除以3，得：
$9÷3≤ 3x÷3＜15÷3$
化简得$3≤ x＜5$
在$3≤ x＜5$范围内的整数为3、4。
【答案】
$x=3$或$x=4$
【知识点】
一元一次不等式组解法、不等式的基本性质、整数解筛选
【点评】
本题是一元一次不等式组的基础题型，难度较低，求解时注意对不等式三边做相同变形时要遵守不等式的性质，系数化为1时注意不等号方向是否改变，最后按要求筛选整数解即可。
【难度系数】
0.85
6. 若不等式组$\begin{cases}x ＜ a, \\ x ≤ -b\end{cases}$的解为$x ＜ a$，则下列各式正确的是（ ）。
A.$a ＜ b$
B.$a ≤ -b$
C.$a ＞ -b$
D.$a ≥ -b$
A.$a ＜ b$
B.$a ≤ -b$
C.$a ＞ -b$
D.$a ≥ -b$
答案
6. B
解析
【分析】
本题可根据一元一次不等式组“同小取小”的解集判定规则推导大小关系。首先观察不等式组的两个不等号均为小于/小于等于，属于“同小”类不等式组，解集应取两个边界中更小的那个；已知解集为$x＜a$，说明$a$是更小的边界，还要验证边界相等的情况是否符合要求，即可得出$a$和$-b$的大小关系。
【解析】
解：一元一次不等式组中，若两个不等式同为“小于”或“小于等于”类型，解集遵循“同小取小”的规则。
已知不等式组$\begin{cases}x ＜ a, \\ x ≤ -b\end{cases}$的解集为$x＜a$，分两种情况验证：
1. 当$a ＜ -b$时，两个不等式的公共解集为$x ＜ a$，符合题意；
2. 当$a = -b$时，不等式组变为$\begin{cases}x ＜ -b \\ x ≤ -b\end{cases}$，公共解集仍为$x ＜ -b = a$，也符合题意。
若$a ＞ -b$，则不等式组的解集为$x ≤ -b$，与题干给出的解集矛盾，不成立。
因此$a ≤ -b$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式组解集、同小取小规则
【点评】
本题核心考查不等式组解集的判定方法，解题关键是熟练掌握“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”的解集口诀，要特别注意边界值相等的特殊情况，避免漏判等号导致错选。
【难度系数】
0.8
本题可根据一元一次不等式组“同小取小”的解集判定规则推导大小关系。首先观察不等式组的两个不等号均为小于/小于等于，属于“同小”类不等式组，解集应取两个边界中更小的那个；已知解集为$x＜a$，说明$a$是更小的边界，还要验证边界相等的情况是否符合要求，即可得出$a$和$-b$的大小关系。
【解析】
解：一元一次不等式组中，若两个不等式同为“小于”或“小于等于”类型，解集遵循“同小取小”的规则。
已知不等式组$\begin{cases}x ＜ a, \\ x ≤ -b\end{cases}$的解集为$x＜a$，分两种情况验证：
1. 当$a ＜ -b$时，两个不等式的公共解集为$x ＜ a$，符合题意；
2. 当$a = -b$时，不等式组变为$\begin{cases}x ＜ -b \\ x ≤ -b\end{cases}$，公共解集仍为$x ＜ -b = a$，也符合题意。
若$a ＞ -b$，则不等式组的解集为$x ≤ -b$，与题干给出的解集矛盾，不成立。
因此$a ≤ -b$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式组解集、同小取小规则
【点评】
本题核心考查不等式组解集的判定方法，解题关键是熟练掌握“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”的解集口诀，要特别注意边界值相等的特殊情况，避免漏判等号导致错选。
【难度系数】
0.8
7. 用20根相同的木棒搭成一个等腰三角形，有多少种不同的搭法？
答案
7. 设腰长为$x$,则底边长为$20-2x$,由题意,得$\begin{cases}2x＞20-2x, \\ 20-2x＞0,\end{cases}$ 解得$5＜x＜10$。由于$x$只能取整数,则$x$可取6,7,8,9,故4种。
解析
【分析】
解题时需结合等腰三角形特征和三角形三边关系推导：首先设等腰三角形腰长为$x$，用总木棒数表示出底边长为$20-2x$；再明确两个限制条件：一是三角形两边之和大于第三边，即两腰长度之和要大于底边长，二是三角形边长必须为正数，即底边长大于0；根据这两个条件列一元一次不等式组，解出腰长的取值范围，最后结合边长为正整数的隐含要求，统计符合条件的腰长个数，即为搭法总数。
【解析】
解：设等腰三角形的腰长为$x$，则底边长为$20-2x$。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}2x＞20-2x \\ 20-2x＞0\end{cases}$
解第一个不等式：
$2x＞20-2x$
$4x＞20$，得$x＞5$
解第二个不等式：
$20-2x＞0$
$2x＜20$，得$x＜10$
因此不等式组的解集为$5＜x＜10$。
由于边长为正整数，$x$可取6、7、8、9，共4个符合条件的值，对应4种不同搭法。
【答案】
4种
【知识点】
等腰三角形性质、三角形三边关系、一元一次不等式组应用
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础应用题，解题核心是准确挖掘三角形三边的限制条件列出不等式组，同时不要忽略边长为正整数的隐含要求，避免出现多算、漏算的错误。
【难度系数】
0.7
解题时需结合等腰三角形特征和三角形三边关系推导：首先设等腰三角形腰长为$x$，用总木棒数表示出底边长为$20-2x$；再明确两个限制条件：一是三角形两边之和大于第三边，即两腰长度之和要大于底边长，二是三角形边长必须为正数，即底边长大于0；根据这两个条件列一元一次不等式组，解出腰长的取值范围，最后结合边长为正整数的隐含要求，统计符合条件的腰长个数，即为搭法总数。
【解析】
解：设等腰三角形的腰长为$x$，则底边长为$20-2x$。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}2x＞20-2x \\ 20-2x＞0\end{cases}$
解第一个不等式：
$2x＞20-2x$
$4x＞20$，得$x＞5$
解第二个不等式：
$20-2x＞0$
$2x＜20$，得$x＜10$
因此不等式组的解集为$5＜x＜10$。
由于边长为正整数，$x$可取6、7、8、9，共4个符合条件的值，对应4种不同搭法。
【答案】
4种
【知识点】
等腰三角形性质、三角形三边关系、一元一次不等式组应用
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础应用题，解题核心是准确挖掘三角形三边的限制条件列出不等式组，同时不要忽略边长为正整数的隐含要求，避免出现多算、漏算的错误。
【难度系数】
0.7
8. 若关于$x$的一元一次不等式组$\begin{cases} x-2＞0, \\ x-3k≤ 0 \end{cases}$只有3个整数解，求$k$的取值范围。
答案
8. $\dfrac{5}{3}≤k＜2$
解析
【分析】
解题思路如下：①先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到用含k的式子表示的不等式组解集；②根据“不等式组只有3个整数解”的条件，结合解集的下限x＞2，确定这3个整数解为3、4、5；③根据整数解的范围推导上限3k的取值要求：要保证5在解集中、6不在解集中，同时注意判断端点是否可取，最后求解得到k的取值范围。
【解析】
解：先分别求解不等式组中的两个不等式：
1. 解不等式$x-2＞0$，移项得$x＞2$；
2. 解不等式$x-3k≤0$，移项得$x≤3k$；
因此，该不等式组的解集为$2＜x≤3k$。
∵ 不等式组只有3个整数解，大于2的连续3个整数为3、4、5，
∴ 可得关于3k的不等式组：$\begin{cases}3k≥5 \\ 3k＜6 \end{cases}$
分别求解两个不等式：
$3k≥5$两边同除以3，得$k≥\dfrac{5}{3}$；
$3k＜6$两边同除以3，得$k＜2$；
综上，k的取值范围为$\dfrac{5}{3}≤k＜2$。
【答案】
$\dfrac{5}{3}≤k＜2$
【知识点】
一元一次不等式组解法、不等式组整数解、参数范围确定
【点评】
本题是不等式组的经典题型，重点考查对不等式组解集的理解和整数解的判断，解题的易错点是端点值的取舍，需要结合题意验证端点是否符合要求，避免出现多解或漏解的问题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：①先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到用含k的式子表示的不等式组解集；②根据“不等式组只有3个整数解”的条件，结合解集的下限x＞2，确定这3个整数解为3、4、5；③根据整数解的范围推导上限3k的取值要求：要保证5在解集中、6不在解集中，同时注意判断端点是否可取，最后求解得到k的取值范围。
【解析】
解：先分别求解不等式组中的两个不等式：
1. 解不等式$x-2＞0$，移项得$x＞2$；
2. 解不等式$x-3k≤0$，移项得$x≤3k$；
因此，该不等式组的解集为$2＜x≤3k$。
∵ 不等式组只有3个整数解，大于2的连续3个整数为3、4、5，
∴ 可得关于3k的不等式组：$\begin{cases}3k≥5 \\ 3k＜6 \end{cases}$
分别求解两个不等式：
$3k≥5$两边同除以3，得$k≥\dfrac{5}{3}$；
$3k＜6$两边同除以3，得$k＜2$；
综上，k的取值范围为$\dfrac{5}{3}≤k＜2$。
【答案】
$\dfrac{5}{3}≤k＜2$
【知识点】
一元一次不等式组解法、不等式组整数解、参数范围确定
【点评】
本题是不等式组的经典题型，重点考查对不等式组解集的理解和整数解的判断，解题的易错点是端点值的取舍，需要结合题意验证端点是否符合要求，避免出现多解或漏解的问题。
【难度系数】
0.7
9. 已知$1-a$，$1+a$，$4-2a$三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，求$a$的取值范围。
答案
9. 由$1-a＜1+a＜4-2a$,得$0＜a＜1$。
解析
【分析】
数轴上从左到右排列的点对应的实数依次增大，因此题目给出的三个数满足“左边的数＜中间的数＜右边的数”，据此可列出关于a的一元一次不等式组，分别求解每个不等式后，取两个解集的公共部分即可得到a的取值范围。
【解析】
根据数轴上点的排列性质，三个数从左到右依次增大，可得不等式组：
$\begin{cases}1-a ＜ 1+a \quad \mathrm{(1)} \\1+a ＜ 4-2a \quad \mathrm{(2)}\end{cases}$
解不等式(1)：
移项得 $-a -a ＜ 1 - 1$，
合并同类项得 $-2a ＜ 0$，
系数化为1（不等号方向改变）得 $a ＞ 0$。
解不等式(2)：
移项得 $a + 2a ＜ 4 - 1$，
合并同类项得 $3a ＜ 3$，
系数化为1得 $a ＜ 1$。
取两个解集的公共部分，得$0 ＜ a ＜ 1$。
【答案】
$0 ＜ a ＜ 1$
【知识点】
数轴与实数的对应关系、一元一次不等式组的解法
【点评】
本题核心是将数轴上点的位置关系转化为实数的大小关系，进而通过解不等式组得到参数范围，解题的关键是正确列出不等式组，注意解不等式时系数化为1若除以负数要改变不等号方向。
【难度系数】
0.8
数轴上从左到右排列的点对应的实数依次增大，因此题目给出的三个数满足“左边的数＜中间的数＜右边的数”，据此可列出关于a的一元一次不等式组，分别求解每个不等式后，取两个解集的公共部分即可得到a的取值范围。
【解析】
根据数轴上点的排列性质，三个数从左到右依次增大，可得不等式组：
$\begin{cases}1-a ＜ 1+a \quad \mathrm{(1)} \\1+a ＜ 4-2a \quad \mathrm{(2)}\end{cases}$
解不等式(1)：
移项得 $-a -a ＜ 1 - 1$，
合并同类项得 $-2a ＜ 0$，
系数化为1（不等号方向改变）得 $a ＞ 0$。
解不等式(2)：
移项得 $a + 2a ＜ 4 - 1$，
合并同类项得 $3a ＜ 3$，
系数化为1得 $a ＜ 1$。
取两个解集的公共部分，得$0 ＜ a ＜ 1$。
【答案】
$0 ＜ a ＜ 1$
【知识点】
数轴与实数的对应关系、一元一次不等式组的解法
【点评】
本题核心是将数轴上点的位置关系转化为实数的大小关系，进而通过解不等式组得到参数范围，解题的关键是正确列出不等式组，注意解不等式时系数化为1若除以负数要改变不等号方向。
【难度系数】
0.8
