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1.有下面四种现象:①旋转一扇门,门运动的痕迹;②扔一块小石子,石子在空中飞行的路线;③夜晚天空划过流星的痕迹;④汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹.其中能说明“线动成面”的现象是(填序号).
答案
④
解析
【分析】
解题时首先要明确点、线、面、体的动态转化规律：点动成线，线动成面，面动成体。接下来逐一分析四个现象的初始形态和运动后形成的形态，对应上述规律，就能筛选出符合“线动成面”的现象。
【解析】
我们先明确各动态转化的含义，再逐一分析现象：
1. 现象①：门本身是一个平面，旋转门的过程是平面运动形成立体图形，属于“面动成体”，不符合要求；
2. 现象②：小石子可以看作一个点，它飞行的路线是点运动形成的线，属于“点动成线”，不符合要求；
3. 现象③：流星可以看作一个点，划过的痕迹是点运动形成的线，属于“点动成线”，不符合要求；
4. 现象④：汽车雨刷可以看作一条线，它在挡风玻璃上运动刷出的痕迹是线运动形成的面，属于“线动成面”，符合要求。
【答案】
④
【知识点】
点动成线；线动成面；面动成体
【点评】
本题结合生活实际考查点、线、面、体的动态转化关系，解题的核心是准确判断运动前的初始几何形态和运动后形成的几何形态，将生活现象和抽象的几何概念结合起来即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确点、线、面、体的动态转化规律：点动成线，线动成面，面动成体。接下来逐一分析四个现象的初始形态和运动后形成的形态，对应上述规律，就能筛选出符合“线动成面”的现象。
【解析】
我们先明确各动态转化的含义，再逐一分析现象：
1. 现象①：门本身是一个平面，旋转门的过程是平面运动形成立体图形，属于“面动成体”，不符合要求；
2. 现象②：小石子可以看作一个点，它飞行的路线是点运动形成的线，属于“点动成线”，不符合要求；
3. 现象③：流星可以看作一个点，划过的痕迹是点运动形成的线，属于“点动成线”，不符合要求；
4. 现象④：汽车雨刷可以看作一条线，它在挡风玻璃上运动刷出的痕迹是线运动形成的面，属于“线动成面”，符合要求。
【答案】
④
【知识点】
点动成线；线动成面；面动成体
【点评】
本题结合生活实际考查点、线、面、体的动态转化关系，解题的核心是准确判断运动前的初始几何形态和运动后形成的几何形态，将生活现象和抽象的几何概念结合起来即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2.下图中的几何体由个面围成,其中平面有个,曲面有个;面和面相交成条线,其中直线有条,曲线有条;线和线相交成个点.
答案
解：该几何体由4个面围成，其中平面有3个，曲面有1个；面和面相交成6条线，其中直线有4条，曲线有2条；线和线相交成4个点。
答案依次为：$\boldsymbol{4}$；$\boldsymbol{3}$；$\boldsymbol{1}$；$\boldsymbol{6}$；$\boldsymbol{4}$；$\boldsymbol{2}$；$\boldsymbol{4}$
答案依次为：$\boldsymbol{4}$；$\boldsymbol{3}$；$\boldsymbol{1}$；$\boldsymbol{6}$；$\boldsymbol{4}$；$\boldsymbol{2}$；$\boldsymbol{4}$
解析
【分析】
解题时先明确该几何体是半圆柱，按照“先数面、再数线、最后数点”的顺序计数，计数时做好分类区分：数面时分清平面（平整无弧度的面）和曲面（带弧度的面），数线时分清直线和曲线，按固定顺序计数可避免漏数、多数。首先逐个统计所有面的数量并分类，再统计每两个面相交形成的线的数量并分类，最后统计两条线相交形成的点的数量即可。
【解析】
观察可知该几何体为半圆柱：
1. 面的计数：共有4个面，其中上下2个半圆形面、中间1个长方形面为平面，共3个平面；外侧的弧形侧面为曲面，共1个曲面。
2. 线的计数：面与面相交共形成6条线，其中上下各1条半圆弧为曲线，共2条曲线；上下平面与长方形面相交的2条水平直边、侧面的2条竖直直边为直线，共4条直线。
3. 点的计数：线与线相交的位置共有4个，即该几何体的4个顶点。
【答案】
$\boldsymbol{4}$；$\boldsymbol{3}$；$\boldsymbol{1}$；$\boldsymbol{6}$；$\boldsymbol{4}$；$\boldsymbol{2}$；$\boldsymbol{4}$
【知识点】
点线面的关系，几何体的构成，平面与曲面区分
【点评】
本题考查对几何体构成要素的基础认识，解题核心是按照有序、分类的原则计数，结合各类面、线的特征判断，能有效减少计数错误。
【难度系数】
0.8
解题时先明确该几何体是半圆柱，按照“先数面、再数线、最后数点”的顺序计数，计数时做好分类区分：数面时分清平面（平整无弧度的面）和曲面（带弧度的面），数线时分清直线和曲线，按固定顺序计数可避免漏数、多数。首先逐个统计所有面的数量并分类，再统计每两个面相交形成的线的数量并分类，最后统计两条线相交形成的点的数量即可。
【解析】
观察可知该几何体为半圆柱：
1. 面的计数：共有4个面，其中上下2个半圆形面、中间1个长方形面为平面，共3个平面；外侧的弧形侧面为曲面，共1个曲面。
2. 线的计数：面与面相交共形成6条线，其中上下各1条半圆弧为曲线，共2条曲线；上下平面与长方形面相交的2条水平直边、侧面的2条竖直直边为直线，共4条直线。
3. 点的计数：线与线相交的位置共有4个，即该几何体的4个顶点。
【答案】
$\boldsymbol{4}$；$\boldsymbol{3}$；$\boldsymbol{1}$；$\boldsymbol{6}$；$\boldsymbol{4}$；$\boldsymbol{2}$；$\boldsymbol{4}$
【知识点】
点线面的关系，几何体的构成，平面与曲面区分
【点评】
本题考查对几何体构成要素的基础认识，解题核心是按照有序、分类的原则计数，结合各类面、线的特征判断，能有效减少计数错误。
【难度系数】
0.8
3.一个三棱柱如图所示，它共有五个面，请写出符合下列条件的棱.（说明：每空只需写出一个即可）
(1)与棱$BB_1$平行的棱：；
(2)与棱$BB_1$相交的棱：；
(3)与棱$BB_1$不在同一平面内的棱：.
(1)与棱$BB_1$平行的棱：；
(2)与棱$BB_1$相交的棱：；
(3)与棱$BB_1$不在同一平面内的棱：.
答案
解：
(1) $AA_1$
(2) $AB$
(3) $AC$
(1) $AA_1$
(2) $AB$
(3) $AC$
解析
【分析】
解决本题首先要明确三棱柱的结构特点：三棱柱有3条侧棱，上下两个底面是三角形，侧棱互相平行。解题思路如下：
1. 找与$BB_1$平行的棱：三棱柱的侧棱互相平行，因此只需找其余的侧棱即可；
2. 找与$BB_1$相交的棱：两条棱相交意味着有公共端点，因此找与$BB_1$的两个端点$B$、$B_1$相连的其他棱即可；
3. 找与$BB_1$不在同一平面内的棱：即既不与$BB_1$平行，也不与$BB_1$相交的棱，筛选符合条件的棱即可。
【解析】
三棱柱的棱分为侧棱$AA_1$、$BB_1$、$CC_1$，上底面棱$AB$、$BC$、$AC$，下底面棱$A_1B_1$、$B_1C_1$、$A_1C_1$。
(1) 三棱柱的侧棱互相平行，因此$AA_1$、$CC_1$都与$BB_1$平行，任选其一即可，这里选$AA_1$；
(2) $BB_1$的端点为$B$和$B_1$，与$B$相连的棱$AB$、$BC$，与$B_1$相连的棱$A_1B_1$、$B_1C_1$都与$BB_1$相交，任选其一即可，这里选$AB$；
(3) 剩余的棱$AC$、$A_1C_1$既不与$BB_1$平行，也没有公共交点，和$BB_1$不在同一平面内，任选其一即可，这里选$AC$。
【答案】
(1) $AA_1$
(2) $AB$
(3) $AC$
（以上答案均不唯一，任选符合条件的一个即可）
【知识点】
1. 三棱柱的特征
2. 棱的位置关系判断
3. 异面棱识别
【点评】
本题考查空间几何体中棱的位置关系的判断，需要具备基础的空间想象能力，属于几何入门类基础题，掌握常见几何体的结构特征是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确三棱柱的结构特点：三棱柱有3条侧棱，上下两个底面是三角形，侧棱互相平行。解题思路如下：
1. 找与$BB_1$平行的棱：三棱柱的侧棱互相平行，因此只需找其余的侧棱即可；
2. 找与$BB_1$相交的棱：两条棱相交意味着有公共端点，因此找与$BB_1$的两个端点$B$、$B_1$相连的其他棱即可；
3. 找与$BB_1$不在同一平面内的棱：即既不与$BB_1$平行，也不与$BB_1$相交的棱，筛选符合条件的棱即可。
【解析】
三棱柱的棱分为侧棱$AA_1$、$BB_1$、$CC_1$，上底面棱$AB$、$BC$、$AC$，下底面棱$A_1B_1$、$B_1C_1$、$A_1C_1$。
(1) 三棱柱的侧棱互相平行，因此$AA_1$、$CC_1$都与$BB_1$平行，任选其一即可，这里选$AA_1$；
(2) $BB_1$的端点为$B$和$B_1$，与$B$相连的棱$AB$、$BC$，与$B_1$相连的棱$A_1B_1$、$B_1C_1$都与$BB_1$相交，任选其一即可，这里选$AB$；
(3) 剩余的棱$AC$、$A_1C_1$既不与$BB_1$平行，也没有公共交点，和$BB_1$不在同一平面内，任选其一即可，这里选$AC$。
【答案】
(1) $AA_1$
(2) $AB$
(3) $AC$
（以上答案均不唯一，任选符合条件的一个即可）
【知识点】
1. 三棱柱的特征
2. 棱的位置关系判断
3. 异面棱识别
【点评】
本题考查空间几何体中棱的位置关系的判断，需要具备基础的空间想象能力，属于几何入门类基础题，掌握常见几何体的结构特征是解题的关键。
【难度系数】
0.8
4.现将一个长为4 cm、宽为3 cm的长方形分别绕它的相邻两边所在的直线旋转一周，如图，得到不同的圆柱，它们的体积分别是多大？哪个圆柱的体积更大？（结果中保留π）
答案
解：
分两种情况计算：
① 绕长为4 cm的边所在直线旋转一周：
得到的圆柱底面半径为3 cm，高为4 cm，
体积$V_1 = π × 3^2 × 4 = 36π \ (\mathrm{cm}^3)$。
② 绕宽为3 cm的边所在直线旋转一周：
得到的圆柱底面半径为4 cm，高为3 cm，
体积$V_2 = π × 4^2 × 3 = 48π \ (\mathrm{cm}^3)$。
因为$48π ＞ 36π$，所以绕长为3 cm的边所在直线旋转得到的圆柱体积更大。
答：两个圆柱的体积分别为$36π \ \mathrm{cm}^3$和$48π \ \mathrm{cm}^3$，绕长方形宽3 cm的边所在直线旋转得到的圆柱体积更大。
分两种情况计算：
① 绕长为4 cm的边所在直线旋转一周：
得到的圆柱底面半径为3 cm，高为4 cm，
体积$V_1 = π × 3^2 × 4 = 36π \ (\mathrm{cm}^3)$。
② 绕宽为3 cm的边所在直线旋转一周：
得到的圆柱底面半径为4 cm，高为3 cm，
体积$V_2 = π × 4^2 × 3 = 48π \ (\mathrm{cm}^3)$。
因为$48π ＞ 36π$，所以绕长为3 cm的边所在直线旋转得到的圆柱体积更大。
答：两个圆柱的体积分别为$36π \ \mathrm{cm}^3$和$48π \ \mathrm{cm}^3$，绕长方形宽3 cm的边所在直线旋转得到的圆柱体积更大。
解析
【分析】
解决这道题首先要明确“面动成体”的原理，长方形绕某条边旋转时，这条边就是所得圆柱的高，另一条邻边就是圆柱的底面半径。因为题目要求绕相邻两边旋转，所以需要分两种情况讨论，分别确定两种情况下圆柱的底面半径和高，再代入圆柱体积公式计算体积，最后比较两个体积的大小即可得出结论。
【解析】
分两种情况计算：
① 绕长为4 cm的边所在直线旋转一周：
得到的圆柱底面半径为3 cm，高为4 cm，
体积$V_1 = π × 3^2 × 4 = 36π \ (\mathrm{cm}^3)$。
② 绕宽为3 cm的边所在直线旋转一周：
得到的圆柱底面半径为4 cm，高为3 cm，
体积$V_2 = π × 4^2 × 3 = 48π \ (\mathrm{cm}^3)$。
因为$48π ＞ 36π$，所以绕长为3 cm的边所在直线旋转得到的圆柱体积更大。
【答案】
两个圆柱的体积分别为$36π \ \mathrm{cm}^3$和$48π \ \mathrm{cm}^3$，绕长方形宽3 cm的边所在直线旋转得到的圆柱体积更大。
【知识点】
圆柱体积计算，面动成体原理，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查平面图形旋转形成立体图形的相关计算，解题的核心是准确判断旋转后圆柱的底面半径和高，注意不要遗漏任意一种旋转情况，同时计算时要注意体积公式中半径是平方项，对最终体积的影响更大。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要明确“面动成体”的原理，长方形绕某条边旋转时，这条边就是所得圆柱的高，另一条邻边就是圆柱的底面半径。因为题目要求绕相邻两边旋转，所以需要分两种情况讨论，分别确定两种情况下圆柱的底面半径和高，再代入圆柱体积公式计算体积，最后比较两个体积的大小即可得出结论。
【解析】
分两种情况计算：
① 绕长为4 cm的边所在直线旋转一周：
得到的圆柱底面半径为3 cm，高为4 cm，
体积$V_1 = π × 3^2 × 4 = 36π \ (\mathrm{cm}^3)$。
② 绕宽为3 cm的边所在直线旋转一周：
得到的圆柱底面半径为4 cm，高为3 cm，
体积$V_2 = π × 4^2 × 3 = 48π \ (\mathrm{cm}^3)$。
因为$48π ＞ 36π$，所以绕长为3 cm的边所在直线旋转得到的圆柱体积更大。
【答案】
两个圆柱的体积分别为$36π \ \mathrm{cm}^3$和$48π \ \mathrm{cm}^3$，绕长方形宽3 cm的边所在直线旋转得到的圆柱体积更大。
【知识点】
圆柱体积计算，面动成体原理，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查平面图形旋转形成立体图形的相关计算，解题的核心是准确判断旋转后圆柱的底面半径和高，注意不要遗漏任意一种旋转情况，同时计算时要注意体积公式中半径是平方项，对最终体积的影响更大。
【难度系数】
0.8
5. 提升题 如图，有一长为$a$ cm、宽为$b$ cm的长方形纸板，将它分别绕其两条对称轴旋转半周，得到两个几何体。
(1)按这两种方式得到的几何体都是。
(2)当$a=8$ cm，$b=6$ cm时，请通过计算说明哪种方式得到的几何体体积更大。
(3)若按照方式①得到的几何体的体积是按照方式②得到的几何体的体积的3倍，则$a$与$b$之间的数量关系为。
(1)按这两种方式得到的几何体都是。
(2)当$a=8$ cm，$b=6$ cm时，请通过计算说明哪种方式得到的几何体体积更大。
(3)若按照方式①得到的几何体的体积是按照方式②得到的几何体的体积的3倍，则$a$与$b$之间的数量关系为。
答案
解：
(1) 圆柱
(2) 方式①得到的圆柱底面半径为$\frac{a}{2}\ \mathrm{cm}$，高为$b\ \mathrm{cm}$，体积为：
$V_1 = π · (\frac{a}{2})^2 · b$
将$a=8\ \mathrm{cm}$，$b=6\ \mathrm{cm}$代入得：
$V_1 = π × (\frac{8}{2})^2 × 6 = 96π\ (\mathrm{cm}^3)$
方式②得到的圆柱底面半径为$\frac{b}{2}\ \mathrm{cm}$，高为$a\ \mathrm{cm}$，体积为：
$V_2 = π · (\frac{b}{2})^2 · a$
将$a=8\ \mathrm{cm}$，$b=6\ \mathrm{cm}$代入得：
$V_2 = π × (\frac{6}{2})^2 × 8 = 72π\ (\mathrm{cm}^3)$
因为$96π ＞ 72π$，所以方式①得到的几何体体积更大。
(3) $a=3b$
(1) 圆柱
(2) 方式①得到的圆柱底面半径为$\frac{a}{2}\ \mathrm{cm}$，高为$b\ \mathrm{cm}$，体积为：
$V_1 = π · (\frac{a}{2})^2 · b$
将$a=8\ \mathrm{cm}$，$b=6\ \mathrm{cm}$代入得：
$V_1 = π × (\frac{8}{2})^2 × 6 = 96π\ (\mathrm{cm}^3)$
方式②得到的圆柱底面半径为$\frac{b}{2}\ \mathrm{cm}$，高为$a\ \mathrm{cm}$，体积为：
$V_2 = π · (\frac{b}{2})^2 · a$
将$a=8\ \mathrm{cm}$，$b=6\ \mathrm{cm}$代入得：
$V_2 = π × (\frac{6}{2})^2 × 8 = 72π\ (\mathrm{cm}^3)$
因为$96π ＞ 72π$，所以方式①得到的几何体体积更大。
(3) $a=3b$
解析
【分析】
本题可分三步思考：(1)根据面动成体的原理，结合旋转后几何体的特征判断几何体类型；(2)先分别确定两种旋转方式下圆柱的底面半径和高，再代入圆柱体积公式计算，最后比较两个体积的大小；(3)根据“方式①体积是方式②的3倍”列出等式，化简后即可得到a与b的数量关系，注意计算时相同非零项可直接约分化简。
【解析】
(1) 长方形绕对称轴旋转半周后，形成的几何体有两个等大的圆形底面，侧面为曲面，符合圆柱的特征。
(2) 圆柱体积公式为$V=π r^2 h$（其中$r$为底面半径，$h$为高）：
方式①：得到的圆柱底面半径为$\frac{a}{2}\ \mathrm{cm}$，高为$b\ \mathrm{cm}$，体积为：
$V_1 = π · (\frac{a}{2})^2 · b$
将$a=8\ \mathrm{cm}$，$b=6\ \mathrm{cm}$代入得：
$V_1 = π × (\frac{8}{2})^2 × 6 = 96π\ (\mathrm{cm}^3)$
方式②：得到的圆柱底面半径为$\frac{b}{2}\ \mathrm{cm}$，高为$a\ \mathrm{cm}$，体积为：
$V_2 = π · (\frac{b}{2})^2 · a$
将$a=8\ \mathrm{cm}$，$b=6\ \mathrm{cm}$代入得：
$V_2 = π × (\frac{6}{2})^2 × 8 = 72π\ (\mathrm{cm}^3)$
因为$96π ＞ 72π$，所以方式①得到的几何体体积更大。
(3) 由题意可知$V_1=3V_2$，代入体积公式得：
$π · (\frac{a}{2})^2 · b = 3 × π · (\frac{b}{2})^2 · a$
两边同时约去不为0的$\frac{π ab}{4}$，化简可得$a=3b$。
【答案】
(1) 圆柱；(2) 方式①得到的几何体体积更大；(3) $a=3b$
【知识点】
面动成体；圆柱体积计算；等式化简
【点评】
本题结合旋转现象考查几何体的识别与体积计算，解题的关键是准确区分不同旋转方式对应的圆柱底面半径和高，避免二者混淆，同时考查了根据等量关系化简求边长关系的能力，对空间想象能力和基础计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
本题可分三步思考：(1)根据面动成体的原理，结合旋转后几何体的特征判断几何体类型；(2)先分别确定两种旋转方式下圆柱的底面半径和高，再代入圆柱体积公式计算，最后比较两个体积的大小；(3)根据“方式①体积是方式②的3倍”列出等式，化简后即可得到a与b的数量关系，注意计算时相同非零项可直接约分化简。
【解析】
(1) 长方形绕对称轴旋转半周后，形成的几何体有两个等大的圆形底面，侧面为曲面，符合圆柱的特征。
(2) 圆柱体积公式为$V=π r^2 h$（其中$r$为底面半径，$h$为高）：
方式①：得到的圆柱底面半径为$\frac{a}{2}\ \mathrm{cm}$，高为$b\ \mathrm{cm}$，体积为：
$V_1 = π · (\frac{a}{2})^2 · b$
将$a=8\ \mathrm{cm}$，$b=6\ \mathrm{cm}$代入得：
$V_1 = π × (\frac{8}{2})^2 × 6 = 96π\ (\mathrm{cm}^3)$
方式②：得到的圆柱底面半径为$\frac{b}{2}\ \mathrm{cm}$，高为$a\ \mathrm{cm}$，体积为：
$V_2 = π · (\frac{b}{2})^2 · a$
将$a=8\ \mathrm{cm}$，$b=6\ \mathrm{cm}$代入得：
$V_2 = π × (\frac{6}{2})^2 × 8 = 72π\ (\mathrm{cm}^3)$
因为$96π ＞ 72π$，所以方式①得到的几何体体积更大。
(3) 由题意可知$V_1=3V_2$，代入体积公式得：
$π · (\frac{a}{2})^2 · b = 3 × π · (\frac{b}{2})^2 · a$
两边同时约去不为0的$\frac{π ab}{4}$，化简可得$a=3b$。
【答案】
(1) 圆柱；(2) 方式①得到的几何体体积更大；(3) $a=3b$
【知识点】
面动成体；圆柱体积计算；等式化简
【点评】
本题结合旋转现象考查几何体的识别与体积计算，解题的关键是准确区分不同旋转方式对应的圆柱底面半径和高，避免二者混淆，同时考查了根据等量关系化简求边长关系的能力，对空间想象能力和基础计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
