登录
1.机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v(单位:m/s)是载重后总质量m(单位:kg)的反比例函数。当一款机器狗载重后总质量m=50 kg时，它的最快移动速度v=8 m/s，则它的最快移动速度v与其载重后总质量m之间的函数表达式为。
答案
解：
∵ 最快移动速度v是载重后总质量m的反比例函数，
∴ 设函数表达式为 $ v = \frac{k}{m} \ (k ≠ 0, m＞0) $。
将 $ m=50 $，$ v=8 $ 代入表达式得：
$ 8 = \frac{k}{50} $
解得 $ k = 400 $。
∴ 所求函数表达式为 $ \boldsymbol{v = \frac{400}{m} \ (m＞0)} $。
∵ 最快移动速度v是载重后总质量m的反比例函数，
∴ 设函数表达式为 $ v = \frac{k}{m} \ (k ≠ 0, m＞0) $。
将 $ m=50 $，$ v=8 $ 代入表达式得：
$ 8 = \frac{k}{50} $
解得 $ k = 400 $。
∴ 所求函数表达式为 $ \boldsymbol{v = \frac{400}{m} \ (m＞0)} $。
解析
【分析】
解题时首先抓住题干中“v是m的反比例函数”这一关键条件，先回忆反比例函数的通用表达形式，采用待定系数法先设出函数表达式，再将已知的m、v对应数值代入表达式，求出未知常数k，最后结合实际意义明确自变量m的取值范围，即可得到最终的函数表达式。
【解析】
∵ 最快移动速度v是载重后总质量m的反比例函数，
∴ 设函数表达式为 $ v = \frac{k}{m} \ (k ≠ 0, m＞0) $。
将 $ m=50 $，$ v=8 $ 代入表达式得：
$ 8 = \frac{k}{50} $
解得 $ k = 8×50 = 400 $。
∴ 所求函数表达式为 $ v = \frac{400}{m} \ (m＞0) $。
【答案】
$ \boldsymbol{v = \frac{400}{m} \ (m＞0)} $
【知识点】
1. 反比例函数的定义；2. 待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题属于反比例函数基础应用题，重点考察对反比例函数概念的理解和待定系数法的运用，解题时需注意结合实际场景确定自变量的取值范围，避免遗漏限制条件。
【难度系数】
0.85
解题时首先抓住题干中“v是m的反比例函数”这一关键条件，先回忆反比例函数的通用表达形式，采用待定系数法先设出函数表达式，再将已知的m、v对应数值代入表达式，求出未知常数k，最后结合实际意义明确自变量m的取值范围，即可得到最终的函数表达式。
【解析】
∵ 最快移动速度v是载重后总质量m的反比例函数，
∴ 设函数表达式为 $ v = \frac{k}{m} \ (k ≠ 0, m＞0) $。
将 $ m=50 $，$ v=8 $ 代入表达式得：
$ 8 = \frac{k}{50} $
解得 $ k = 8×50 = 400 $。
∴ 所求函数表达式为 $ v = \frac{400}{m} \ (m＞0) $。
【答案】
$ \boldsymbol{v = \frac{400}{m} \ (m＞0)} $
【知识点】
1. 反比例函数的定义；2. 待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题属于反比例函数基础应用题，重点考察对反比例函数概念的理解和待定系数法的运用，解题时需注意结合实际场景确定自变量的取值范围，避免遗漏限制条件。
【难度系数】
0.85
2.某村要铺设一条村路，村民完成铺设所需的时间y(单位:天)与平均每天的工作量x(单位:m)成反比例关系，函数图象如图所示。若村民计划用15天完成铺设，则平均每天的工作量是m。
答案
解：设y与x的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$。
将点$(50,12)$代入解析式，得$12=\frac{k}{50}$，
解得$k=600$，
因此函数解析式为$y=\frac{600}{x}$。
当$y=15$时，代入解析式得$15=\frac{600}{x}$，
解得$x=40$。
答：平均每天的工作量是40m。
将点$(50,12)$代入解析式，得$12=\frac{k}{50}$，
解得$k=600$，
因此函数解析式为$y=\frac{600}{x}$。
当$y=15$时，代入解析式得$15=\frac{600}{x}$，
解得$x=40$。
答：平均每天的工作量是40m。
解析
【分析】
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路清晰：首先根据题干明确y与x为反比例关系，先设出反比例函数的标准形式；再结合函数图象上的已知点(50,12)，代入解析式求出比例系数k，得到完整的函数解析式；最后将计划完成时间y=15代入解析式，求解对应的x值即为所求的平均每天工作量。
【解析】
解：设y与x的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$。
将点$(50,12)$代入解析式，得$12=\frac{k}{50}$，
解得$k=12×50=600$，
因此反比例函数的解析式为$y=\frac{600}{x}$。
当$y=15$时，代入解析式得$15=\frac{600}{x}$，
解得$x=\frac{600}{15}=40$。
【答案】
40
【知识点】
反比例函数应用；待定系数法；函数值求解
【点评】
本题是反比例函数结合工程场景的基础应用题，解题核心是先利用待定系数法确定函数解析式，再代入已知量计算对应未知量，解题时需注意结合实际意义判断自变量的取值合理性。
【难度系数】
0.8
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路清晰：首先根据题干明确y与x为反比例关系，先设出反比例函数的标准形式；再结合函数图象上的已知点(50,12)，代入解析式求出比例系数k，得到完整的函数解析式；最后将计划完成时间y=15代入解析式，求解对应的x值即为所求的平均每天工作量。
【解析】
解：设y与x的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$。
将点$(50,12)$代入解析式，得$12=\frac{k}{50}$，
解得$k=12×50=600$，
因此反比例函数的解析式为$y=\frac{600}{x}$。
当$y=15$时，代入解析式得$15=\frac{600}{x}$，
解得$x=\frac{600}{15}=40$。
【答案】
40
【知识点】
反比例函数应用；待定系数法；函数值求解
【点评】
本题是反比例函数结合工程场景的基础应用题，解题核心是先利用待定系数法确定函数解析式，再代入已知量计算对应未知量，解题时需注意结合实际意义判断自变量的取值合理性。
【难度系数】
0.8
3.有一定质量的气体，其密度$\rho$(单位：$\mathrm{kg/m}^3$)与其体积$V$(单位：$\mathrm{m}^3$)成反比例关系，函数图象如图所示。若该气体的体积$V≥2$，则密度$\rho$的取值范围是。
答案
$\boldsymbol{0＜\rho≤2}$
解析
【分析】
题目明确密度$\rho$与体积$V$成反比例关系，首先可以设反比例函数的一般形式$\rho=\frac{k}{V}(k≠0,V＞0)$，再结合函数图象上的已知点$(1,4)$求出常数$k$，得到$\rho$与$V$的具体函数关系式；最后根据$V≥2$的限制条件，结合反比例函数的增减性，同时结合密度为正数的实际意义，即可求出$\rho$的取值范围。
【解析】
解：$\because$密度$\rho$与体积$V$成反比例关系，
$\therefore$设函数解析式为$\rho=\frac{k}{V}(k≠0,V＞0)$，
由图象可知函数过点$(1,4)$，将$V=1$，$\rho=4$代入解析式得：
$4=\frac{k}{1}$，解得$k=4$，
$\therefore$函数解析式为$\rho=\frac{4}{V}(V＞0)$。
当$V=2$时，$\rho=\frac{4}{2}=2$，
$\because k=4＞0$，在$V＞0$的范围内，$\rho$随$V$的增大而减小，
$\therefore$当$V≥2$时，$\rho≤2$，
又$\because$密度为正数，即$\rho＞0$，
$\therefore\rho$的取值范围是$0＜\rho≤2$。
【答案】
$0＜\rho≤2$
【知识点】
反比例函数的应用，反比例函数的性质
【点评】
本题结合物理密度的实际情境考查反比例函数的应用，解题的关键是先利用图象上的点求出反比例函数解析式，再结合函数的增减性求解取值范围，解题时要注意实际问题中变量的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
题目明确密度$\rho$与体积$V$成反比例关系，首先可以设反比例函数的一般形式$\rho=\frac{k}{V}(k≠0,V＞0)$，再结合函数图象上的已知点$(1,4)$求出常数$k$，得到$\rho$与$V$的具体函数关系式；最后根据$V≥2$的限制条件，结合反比例函数的增减性，同时结合密度为正数的实际意义，即可求出$\rho$的取值范围。
【解析】
解：$\because$密度$\rho$与体积$V$成反比例关系，
$\therefore$设函数解析式为$\rho=\frac{k}{V}(k≠0,V＞0)$，
由图象可知函数过点$(1,4)$，将$V=1$，$\rho=4$代入解析式得：
$4=\frac{k}{1}$，解得$k=4$，
$\therefore$函数解析式为$\rho=\frac{4}{V}(V＞0)$。
当$V=2$时，$\rho=\frac{4}{2}=2$，
$\because k=4＞0$，在$V＞0$的范围内，$\rho$随$V$的增大而减小，
$\therefore$当$V≥2$时，$\rho≤2$，
又$\because$密度为正数，即$\rho＞0$，
$\therefore\rho$的取值范围是$0＜\rho≤2$。
【答案】
$0＜\rho≤2$
【知识点】
反比例函数的应用，反比例函数的性质
【点评】
本题结合物理密度的实际情境考查反比例函数的应用，解题的关键是先利用图象上的点求出反比例函数解析式，再结合函数的增减性求解取值范围，解题时要注意实际问题中变量的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
4.为预防冬季流感，某学校采用药熏消毒法对教室进行消毒。已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（单位：mg）与时间x（单位：min）成正比例关系；药物燃烧后，y与x成反比例关系，如图所示。经测量，药物在8 min时燃烧完毕，此时空气中每立方米含药量为10 mg。研究表明，当空气中每立方米含药量低于1.6 mg时，学生方可进入教室。从消毒开始，至少需要经过min，学生才能回到教室。
答案
$\boldsymbol{50}$
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确药物燃烧结束后，含药量y与时间x成反比例关系，我们需要先求出该反比例函数的解析式；题目要求含药量低于1.6mg时学生可进入教室，因此将y=1.6代入反比例解析式，求出的x值就是学生能进入教室的最少时间，因为反比例函数在x＞0时y随x增大而减小，x大于等于这个值时y就会低于等于1.6mg。
【解析】
解：设药物燃烧后，y与x的反比例函数解析式为$ y = \frac{k}{x} $（$ k≠0, x≥8 $）。
由题意可知，函数图象过点$(8,10)$，将$x=8, y=10$代入解析式得：
$ 10 = \frac{k}{8} $，解得$ k = 8×10 = 80 $。
因此燃烧后反比例函数解析式为$ y = \frac{80}{x} $（$ x≥8 $）。
当空气中含药量为$ 1.6\ \mathrm{mg} $时，代入解析式得：
$ 1.6 = \frac{80}{x} $，解得$ x = \frac{80}{1.6} = 50 $。
由于反比例函数$ y = \frac{80}{x} $在$ x＞0 $时，y随x的增大而减小，因此当$ x≥50 $时，$ y≤1.6\ \mathrm{mg} $，满足学生进入教室的条件。
【答案】
$\boldsymbol{50}$
【知识点】
反比例函数应用；待定系数法；反比例函数性质
【点评】
本题结合生活消毒场景考查函数的实际应用，解题核心是准确判断所求时间对应的函数类型，利用已知点求出函数解析式，再结合函数性质求解临界值，能有效考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先明确药物燃烧结束后，含药量y与时间x成反比例关系，我们需要先求出该反比例函数的解析式；题目要求含药量低于1.6mg时学生可进入教室，因此将y=1.6代入反比例解析式，求出的x值就是学生能进入教室的最少时间，因为反比例函数在x＞0时y随x增大而减小，x大于等于这个值时y就会低于等于1.6mg。
【解析】
解：设药物燃烧后，y与x的反比例函数解析式为$ y = \frac{k}{x} $（$ k≠0, x≥8 $）。
由题意可知，函数图象过点$(8,10)$，将$x=8, y=10$代入解析式得：
$ 10 = \frac{k}{8} $，解得$ k = 8×10 = 80 $。
因此燃烧后反比例函数解析式为$ y = \frac{80}{x} $（$ x≥8 $）。
当空气中含药量为$ 1.6\ \mathrm{mg} $时，代入解析式得：
$ 1.6 = \frac{80}{x} $，解得$ x = \frac{80}{1.6} = 50 $。
由于反比例函数$ y = \frac{80}{x} $在$ x＞0 $时，y随x的增大而减小，因此当$ x≥50 $时，$ y≤1.6\ \mathrm{mg} $，满足学生进入教室的条件。
【答案】
$\boldsymbol{50}$
【知识点】
反比例函数应用；待定系数法；反比例函数性质
【点评】
本题结合生活消毒场景考查函数的实际应用，解题核心是准确判断所求时间对应的函数类型，利用已知点求出函数解析式，再结合函数性质求解临界值，能有效考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
5. 提升题＞如图,关于$x$的一次函数$y=-2x+m$的图象与反比例函数$y=\frac{n}{x}(x＞0)$的图象相交于$A(1,4),B$两点,与$x$轴、$y$轴分别相交于$C,D$两点。
(1)求一次函数和反比例函数的表达式。
(2)求点$B$的坐标。
(3)连接$OA,OB$,求$△ AOB$的面积。
(1)求一次函数和反比例函数的表达式。
(2)求点$B$的坐标。
(3)连接$OA,OB$,求$△ AOB$的面积。
答案
解：
(1) 将点$A(1,4)$代入一次函数$y=-2x+m$，得：
$4 = -2×1 + m$
解得$m=6$，
∴一次函数的表达式为$y=-2x+6$。
将点$A(1,4)$代入反比例函数$y=\frac{n}{x}$，得：
$4 = \frac{n}{1}$
解得$n=4$，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}(x＞0)$。
(2) 联立两个函数的方程：
$\begin{cases} y=-2x+6 \\ y=\frac{4}{x} \end{cases}$
消去$y$得：$-2x+6=\frac{4}{x}$，
整理得$x^2-3x+2=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=2$，
经检验$x_1=1$，$x_2=2$均为原方程的根。
$x=1$对应点$A$，将$x=2$代入$y=-2x+6$得$y=2$，
∴点$B$的坐标为$(2,2)$。
(3) 在一次函数$y=-2x+6$中，令$y=0$，得$-2x+6=0$，解得$x=3$，
∴点$C$的坐标为$(3,0)$，即$OC=3$。
$\begin{aligned}S_{△ AOB}&=S_{△ AOC}-S_{△ BOC}\\&=\frac{1}{2}· OC· |y_A| - \frac{1}{2}· OC· |y_B|\\&=\frac{1}{2}×3×4 - \frac{1}{2}×3×2\\&=6-3\\&=3\end{aligned}$
∴$△ AOB$的面积为$3$。
(1) 将点$A(1,4)$代入一次函数$y=-2x+m$，得：
$4 = -2×1 + m$
解得$m=6$，
∴一次函数的表达式为$y=-2x+6$。
将点$A(1,4)$代入反比例函数$y=\frac{n}{x}$，得：
$4 = \frac{n}{1}$
解得$n=4$，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}(x＞0)$。
(2) 联立两个函数的方程：
$\begin{cases} y=-2x+6 \\ y=\frac{4}{x} \end{cases}$
消去$y$得：$-2x+6=\frac{4}{x}$，
整理得$x^2-3x+2=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=2$，
经检验$x_1=1$，$x_2=2$均为原方程的根。
$x=1$对应点$A$，将$x=2$代入$y=-2x+6$得$y=2$，
∴点$B$的坐标为$(2,2)$。
(3) 在一次函数$y=-2x+6$中，令$y=0$，得$-2x+6=0$，解得$x=3$，
∴点$C$的坐标为$(3,0)$，即$OC=3$。
$\begin{aligned}S_{△ AOB}&=S_{△ AOC}-S_{△ BOC}\\&=\frac{1}{2}· OC· |y_A| - \frac{1}{2}· OC· |y_B|\\&=\frac{1}{2}×3×4 - \frac{1}{2}×3×2\\&=6-3\\&=3\end{aligned}$
∴$△ AOB$的面积为$3$。
解析
【分析】
(1) 求函数解析式可使用待定系数法，已知点A是两个函数的公共交点，将A的坐标分别代入一次函数和反比例函数，就能求出未知参数m、n，进而得到两个函数的表达式。
(2) 函数图象交点的坐标同时满足两个函数的解析式，因此联立一次函数与反比例函数的解析式，解方程组即可得到所有交点坐标，排除已知的点A对应的解，剩余的就是点B的坐标。
(3) △AOB是不规则三角形，直接计算面积难度较大，可借助一次函数与x轴的交点C，用割补法将△AOB的面积转化为△AOC的面积减去△BOC的面积，两个三角形均以OC为底，高分别为点A、B的纵坐标的绝对值，代入数值计算即可。
【解析】
(1) 将点$A(1,4)$代入一次函数$y=-2x+m$，得：
$4 = -2×1 + m$
解得$m=6$，
∴一次函数的表达式为$y=-2x+6$。
将点$A(1,4)$代入反比例函数$y=\frac{n}{x}$，得：
$4 = \frac{n}{1}$
解得$n=4$，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}(x＞0)$。
(2) 联立两个函数的方程：
$\begin{cases} y=-2x+6 \\ y=\frac{4}{x} \end{cases}$
消去$y$得：$-2x+6=\frac{4}{x}$，
整理得$x^2-3x+2=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=2$，
经检验$x_1=1$，$x_2=2$均为原方程的根。
$x=1$对应点$A$，将$x=2$代入$y=-2x+6$得$y=2$，
∴点$B$的坐标为$(2,2)$。
(3) 在一次函数$y=-2x+6$中，令$y=0$，得$-2x+6=0$，解得$x=3$，
∴点$C$的坐标为$(3,0)$，即$OC=3$。
$\begin{aligned}S_{△ AOB}&=S_{△ AOC}-S_{△ BOC}\\&=\frac{1}{2}· OC· |y_A| - \frac{1}{2}· OC· |y_B|\\&=\frac{1}{2}×3×4 - \frac{1}{2}×3×2\\&=6-3\\&=3\end{aligned}$
∴$△ AOB$的面积为$3$。
【答案】
(1) 一次函数：$\boldsymbol{y=-2x+6}$，反比例函数：$\boldsymbol{y=\frac{4}{x}(x＞0)}$
(2) $\boldsymbol{(2,2)}$
(3) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
待定系数法求解析式、函数交点求解、割补法求面积
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，考查了待定系数法、函数交点计算、不规则图形面积求解等核心内容，解题时注意分式方程要检验，选择合适的割补方法可大幅简化面积计算的过程，是函数模块的常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 求函数解析式可使用待定系数法，已知点A是两个函数的公共交点，将A的坐标分别代入一次函数和反比例函数，就能求出未知参数m、n，进而得到两个函数的表达式。
(2) 函数图象交点的坐标同时满足两个函数的解析式，因此联立一次函数与反比例函数的解析式，解方程组即可得到所有交点坐标，排除已知的点A对应的解，剩余的就是点B的坐标。
(3) △AOB是不规则三角形，直接计算面积难度较大，可借助一次函数与x轴的交点C，用割补法将△AOB的面积转化为△AOC的面积减去△BOC的面积，两个三角形均以OC为底，高分别为点A、B的纵坐标的绝对值，代入数值计算即可。
【解析】
(1) 将点$A(1,4)$代入一次函数$y=-2x+m$，得：
$4 = -2×1 + m$
解得$m=6$，
∴一次函数的表达式为$y=-2x+6$。
将点$A(1,4)$代入反比例函数$y=\frac{n}{x}$，得：
$4 = \frac{n}{1}$
解得$n=4$，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}(x＞0)$。
(2) 联立两个函数的方程：
$\begin{cases} y=-2x+6 \\ y=\frac{4}{x} \end{cases}$
消去$y$得：$-2x+6=\frac{4}{x}$，
整理得$x^2-3x+2=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=2$，
经检验$x_1=1$，$x_2=2$均为原方程的根。
$x=1$对应点$A$，将$x=2$代入$y=-2x+6$得$y=2$，
∴点$B$的坐标为$(2,2)$。
(3) 在一次函数$y=-2x+6$中，令$y=0$，得$-2x+6=0$，解得$x=3$，
∴点$C$的坐标为$(3,0)$，即$OC=3$。
$\begin{aligned}S_{△ AOB}&=S_{△ AOC}-S_{△ BOC}\\&=\frac{1}{2}· OC· |y_A| - \frac{1}{2}· OC· |y_B|\\&=\frac{1}{2}×3×4 - \frac{1}{2}×3×2\\&=6-3\\&=3\end{aligned}$
∴$△ AOB$的面积为$3$。
【答案】
(1) 一次函数：$\boldsymbol{y=-2x+6}$，反比例函数：$\boldsymbol{y=\frac{4}{x}(x＞0)}$
(2) $\boldsymbol{(2,2)}$
(3) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
待定系数法求解析式、函数交点求解、割补法求面积
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，考查了待定系数法、函数交点计算、不规则图形面积求解等核心内容，解题时注意分式方程要检验，选择合适的割补方法可大幅简化面积计算的过程，是函数模块的常考题型。
【难度系数】
0.7
