9. 提升题 如图,在一面与地面垂直的围墙同侧,有一根旗杆AB和一根高度为7 m的竹竿CD,它们都与地面垂直。为了测量旗杆的高度,同学们进行了如下测量:某一时刻,在太阳光照射下,旗杆落在围墙上的影子EF的长为2 m,落在地面上的影子BF的长为10 m;竹竿落在围墙上的影子GH的长为3 m,落在地面上的影子DH的长为5 m。
(1)求旗杆AB的高度。
(2)在同一时刻,将竹竿沿DH向右平移$\frac{15}{4}$ m,此时竹竿CD的顶端C恰好投影到墙顶上,求围墙的高度。

解：(1) 过点E作$EM ⊥ AB$于点M，过点G作$GN ⊥ CD$于点N。
由题意可知，四边形$MEFB$和四边形$NDHG$均为矩形，
$\therefore MB = EF = 2\ \mathrm{m}$，$ME = BF = 10\ \mathrm{m}$，$DN = GH = 3\ \mathrm{m}$，$GN = DH = 5\ \mathrm{m}$，
$\therefore CN = CD - DN = 7 - 3 = 4\ \mathrm{m}$。
$\because$ 太阳光线互相平行，$\therefore AE // CG$，
又$\because EM // GN$，$\therefore ∠ AEM = ∠ CGN$，
$\because ∠ AME = ∠ CNG = 90°$，
$\therefore △ AEM ∽ △ CGN$，
$\therefore \frac{AM}{CN} = \frac{ME}{GN}$，即$\frac{AM}{4} = \frac{10}{5}$，
解得$AM = 8\ \mathrm{m}$，
$\therefore AB = AM + MB = 8 + 2 = 10\ \mathrm{m}$。
(2) 设围墙的高度为$h\ \mathrm{m}$。
竹竿沿$DH$向右平移$\frac{15}{4}\ \mathrm{m}$后，竹竿底部到围墙的水平距离为$5 - \frac{15}{4} = \frac{5}{4}\ \mathrm{m}$。
由同一时刻太阳光线平行，可得竖直高度差与对应水平距离的比值为定值$\frac{CN}{GN} = \frac{4}{5}$，
$\therefore \frac{7 - h}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}$，
解得$h = 6\ \mathrm{m}$。
答：(1) 旗杆$AB$的高度为$10\ \mathrm{m}$；(2) 围墙的高度为$6\ \mathrm{m}$。

【分析】
(1) 计算旗杆高度时，由于旗杆影子分为墙面、地面两部分，我们可以通过作垂线构造矩形和相似三角形：先作两条垂线把墙面影子的长度转化为矩形的边，得到各段水平、竖直边长；再利用同一时刻太阳光线平行的性质，得到两个直角三角形相似，借助相似三角形对应边成比例求出旗杆高出墙面影子的部分，加墙面影子长度即可得到旗杆总高度。
(2) 求围墙高度时，先算平移后竹竿到围墙的水平距离，再利用同一时刻竖直高度差和对应水平距离的比值为定值的规律，列方程即可求解围墙高度。
【解析】
(1) 过点E作$EM ⊥ AB$于点M，过点G作$GN ⊥ CD$于点N。
由题意可知，四边形$MEFB$和四边形$NDHG$均为矩形，
$\therefore MB = EF = 2\ \mathrm{m}$，$ME = BF = 10\ \mathrm{m}$，$DN = GH = 3\ \mathrm{m}$，$GN = DH = 5\ \mathrm{m}$，
$\therefore CN = CD - DN = 7 - 3 = 4\ \mathrm{m}$。
$\because$ 太阳光线互相平行，$\therefore AE // CG$，
又$\because EM // GN$，$\therefore ∠ AEM = ∠ CGN$，
$\because ∠ AME = ∠ CNG = 90°$，
$\therefore △ AEM ∽ △ CGN$，
$\therefore \frac{AM}{CN} = \frac{ME}{GN}$，即$\frac{AM}{4} = \frac{10}{5}$，
解得$AM = 8\ \mathrm{m}$，
$\therefore AB = AM + MB = 8 + 2 = 10\ \mathrm{m}$。
(2) 设围墙的高度为$h\ \mathrm{m}$。
竹竿沿$DH$向右平移$\frac{15}{4}\ \mathrm{m}$后，竹竿底部到围墙的水平距离为$5 - \frac{15}{4} = \frac{5}{4}\ \mathrm{m}$。
由同一时刻太阳光线平行，可得竖直高度差与对应水平距离的比值为定值$\frac{CN}{GN} = \frac{4}{5}$，
$\therefore \frac{7 - h}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}$，
解得$h = 6\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 旗杆$AB$的高度为$\boldsymbol{10\ \mathrm{m}}$；(2) 围墙的高度为$\boldsymbol{6\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
相似三角形应用，平行投影性质，矩形性质
【点评】
本题结合实际测量场景考查几何知识的应用，解题核心是通过作辅助线构造相似三角形和矩形，将分段的影长转化为可计算的几何边长，同时需抓住同一时刻物高与影长比值固定的规律，能有效锻炼学生将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.6

10.画出如图所示几何体的三种视图。

解：
按照三视图“长对正、高平齐、宽相等”的绘制规则，该几何体的三种视图特征如下：
1. 主视图：共2列，从左到右每列小正方形的个数依次为3、2，两列正方形底部对齐，所有可见轮廓用实线绘制。
2. 左视图：共2列，从左到右每列小正方形的个数依次为3、1，两列正方形底部对齐，所有可见轮廓用实线绘制。
3. 俯视图：共2列，从左到右每列小正方形的个数依次为2、1，所有可见轮廓用实线绘制。
按上述特征绘制得到的图形即为该几何体的三种视图。

【分析】
解答本题首先要明确三视图的观察方向：主视图从几何体正前方观察，左视图从几何体左侧观察，俯视图从几何体正上方观察，绘制需遵循“长对正、高平齐、宽相等”的基本原则。解题时先确定每个视图的列数，再统计每列对应的最高小正方体层数，可见轮廓用实线绘制，不可见轮廓用虚线绘制，本题无被遮挡的隐藏轮廓，全部使用实线即可。
【解析】
按照三视图“长对正、高平齐、宽相等”的绘制规则，分别分析三个视图的特征：
1. 主视图：从正前方观察，共2列，左列最高有3层小正方体，右列最高有2层小正方体，因此从左到右每列小正方形的个数依次为3、2，两列正方形底部对齐，可见轮廓用实线绘制。
2. 左视图：从左侧观察，共2列，左侧对应几何体靠后的列最高有3层小正方体，右侧对应几何体靠前的列只有1层小正方体，因此从左到右每列小正方形的个数依次为3、1，两列正方形底部对齐，可见轮廓用实线绘制。
3. 俯视图：从正上方观察，共2列，左列前后各有1个小正方体，右列只有靠后的1个小正方体，因此从左到右每列小正方形的个数依次为2、1，可见轮廓用实线绘制。
按上述特征绘制即可得到该几何体的三种视图。
【答案】
1. 主视图：共2列，从左到右每列小正方形的个数依次为3、2，两列正方形底部对齐，所有可见轮廓用实线绘制。
2. 左视图：共2列，从左到右每列小正方形的个数依次为3、1，两列正方形底部对齐，所有可见轮廓用实线绘制。
3. 俯视图：共2列，从左到右每列小正方形的个数依次为2、1，所有可见轮廓用实线绘制。
【知识点】
三视图的画法；几何体的三视图；三视图绘制原则
【点评】
本题是空间几何的基础题型，主要考查对三视图绘制规则的掌握和空间想象能力，解题的关键是准确判断不同观察方向下几何体的轮廓特征，牢记三视图的绘制原则即可顺利解答。
【难度系数】
0.7