1. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ A=90°$,$D$ 为斜边 $BC$ 上一点,且 $BD=BA$,过点 $D$ 作 $BC$ 的垂线交 $AC$ 于点 $E$.求证:点 $E$ 在 $∠ ABC$ 的平分线上.

1. 证明:连接 BE,如答图.
$\because ED⊥ BC,\therefore ∠ BDE=∠ A=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 和 $\mathrm{Rt}△ DBE$ 中,$\begin{cases} BE=BE,\\ BA=BD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABE≌\mathrm{Rt}△ DBE(\mathrm{HL}),$
$\therefore ∠ ABE=∠ DBE,$
$\therefore$ 点 $E$ 在$∠ ABC$ 的平分线上.

【分析】
要证明点E在∠ABC的平分线上，需先证明BE平分∠ABC，即证∠ABE=∠DBE。已知∠A=90°、ED⊥BC可得∠BDE=90°，又有BA=BD的条件，因此我们可以通过连接BE构造两个直角三角形，利用直角三角形全等的判定定理证明两三角形全等，再由全等三角形对应角相等得到两角相等，即可完成证明。
【解析】
1. 作辅助线：连接BE，如答图所示；
2. 确定直角：已知ED⊥BC，∠A=90°，因此∠BDE=∠A=90°，△ABE和△DBE均为直角三角形；
3. 证明全等：在Rt△ABE和Rt△DBE中，公共边BE=BE，已知BA=BD，根据HL判定定理可得Rt△ABE≌Rt△DBE；
4. 推导结论：由全等三角形对应角相等，得∠ABE=∠DBE，因此BE是∠ABC的角平分线，即点E在∠ABC的平分线上。
【答案】
证明:连接 BE,如答图.
$\because ED⊥ BC,\therefore ∠ BDE=∠ A=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 和 $\mathrm{Rt}△ DBE$ 中,$\begin{cases} BE=BE,\\ BA=BD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABE≌\mathrm{Rt}△ DBE(\mathrm{HL}),$
$\therefore ∠ ABE=∠ DBE,$
$\therefore$ 点 $E$ 在$∠ ABC$ 的平分线上.
【知识点】
HL判定全等，全等三角形性质，角平分线判定
【点评】
本题属于基础的全等三角形证明题，核心是通过添加辅助线构造全等三角形，将证明点在角平分线上的问题转化为证明角相等的问题，熟练掌握全等三角形判定定理和角平分线的判定规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8

2. 如图，$AB=AE$，$∠ B=∠ E$，$BC=ED$，$AF$平分$∠ BAE$。求证：$AF⊥ CD$。

2. 证明:如答图,连接 AC,AD.
在$△ ABC$ 和$△ AED$ 中,$\begin{cases} AB=AE,\\ ∠ B=∠ E,\\ BC=ED, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ AED(\mathrm{SAS}),$
$\therefore AC=AD,∠ BAC=∠ EAD.$
$\because AF$平分$∠ BAE,\therefore ∠ BAF=∠ EAF,$
$\therefore ∠ BAF-∠ BAC=∠ EAF-∠ EAD,$
$\therefore ∠ FAC=∠ FAD.$
在$△ ACF$ 和$△ ADF$ 中,$\begin{cases} AC=AD,\\ ∠ FAC=∠ FAD,\\ AF=AF, \end{cases}$
$\therefore △ ACF≌△ ADF(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ AFC=∠ AFD.$
$\because ∠ AFC+∠ AFD=180°,$
$\therefore ∠ AFC=90°,即 AF⊥ CD.$

【分析】
要证明$AF⊥CD$，需先证$∠AFC=90°$。解题思路如下：第一步，添加辅助线连接$AC$、$AD$，利用已知的边、角相等条件，通过SAS判定证明$△ ABC≌△ AED$，得到$AC=AD$、$∠BAC=∠EAD$；第二步，结合$AF$平分$∠BAE$的条件，推导得出$∠FAC=∠FAD$；第三步，再次利用SAS判定证明$△ ACF≌△ ADF$，得到$∠AFC=∠AFD$，最后根据平角为$180°$即可推出$∠AFC=90°$，证得垂直关系。
【解析】
证明：如答图，连接$AC$，$AD$。
在$△ ABC$ 和$△ AED$ 中，
$\begin{cases} AB=AE,\\ ∠B=∠E,\\ BC=ED, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ AED(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AC=AD$，$∠BAC=∠EAD$。
$\because AF$平分$∠BAE$，$\therefore ∠BAF=∠EAF$，
$\therefore ∠BAF-∠BAC=∠EAF-∠EAD$，即$∠FAC=∠FAD$。
在$△ ACF$ 和$△ ADF$ 中，
$\begin{cases} AC=AD,\\ ∠FAC=∠FAD,\\ AF=AF, \end{cases}$
$\therefore △ ACF≌△ ADF(\mathrm{SAS})$，$\therefore ∠AFC=∠AFD$。
$\because ∠AFC+∠AFD=180°$，
$\therefore ∠AFC=90°$，即$AF⊥CD$。
【答案】
证明：如答图，连接$AC$，$AD$。
在$△ ABC$ 和$△ AED$ 中，
$\begin{cases} AB=AE,\\ ∠B=∠E,\\ BC=ED, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ AED(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AC=AD$，$∠BAC=∠EAD$。
$\because AF$平分$∠BAE$，$\therefore ∠BAF=∠EAF$，
$\therefore ∠BAF-∠BAC=∠EAF-∠EAD$，即$∠FAC=∠FAD$。
在$△ ACF$ 和$△ ADF$ 中，
$\begin{cases} AC=AD,\\ ∠FAC=∠FAD,\\ AF=AF, \end{cases}$
$\therefore △ ACF≌△ ADF(\mathrm{SAS})$，$\therefore ∠AFC=∠AFD$。
$\because ∠AFC+∠AFD=180°$，
$\therefore ∠AFC=90°$，即$AF⊥CD$。
【知识点】
1. 三角形全等的判定（SAS）；2. 全等三角形的性质；3. 角平分线的定义
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，核心考查辅助线的构造思路，通过连接线段构造全等三角形，将分散的已知条件整合，逐步推导出证明垂直所需的角的等量关系，能有效检验学生的逻辑推理能力和对全等相关知识点的掌握程度。
【难度系数】
0.65

3. 如图,在$△ ABC$中,$AD$为$BC$边上的中线.求证:$AB+AC＞2AD$.

3. 证明:如答图,延长 $AD$ 至点 $E$,使$DE=AD$,连接 $CE$.
$\because AD$ 为 $BC$ 边上的中线,
$\therefore BD=CD.$
在$△ ABD$ 和$△ ECD$ 中,
$\begin{cases} AD=DE,\\ ∠ ADB=∠ EDC,\\ BD=CD, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ECD,\therefore AB=EC.$
在$△ ACE$ 中,$\because AC+EC＞AE=2AD,$
$\therefore AB+AC＞2AD.$

【分析】
要证明$AB+AC＞2AD$，线段和的不等关系优先考虑三角形三边关系“两边之和大于第三边”，但待证式子中含$2AD$，且$AB$、$AC$、$AD$不在同一个三角形中，因此需要构造辅助线转化线段：遇到中线时常用“倍长中线法”，即延长$AD$到$E$使$DE=AD$，得到$AE=2AD$，再通过证明三角形全等将$AB$转化为与$AC$、$AE$共三角形的线段，最后利用三边关系即可证明结论。
【解析】
证明：如答图，延长 $AD$ 至点 $E$，使$DE=AD$，连接 $CE$。
$\because AD$ 为 $BC$ 边上的中线，
$\therefore BD=CD$。
在$△ ABD$ 和$△ ECD$ 中，
$\begin{cases} AD=DE,\\ ∠ ADB=∠ EDC,\\ BD=CD, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ECD(\mathrm{SAS})$，$\therefore AB=EC$。
在$△ ACE$ 中，根据三角形三边关系可得$AC+EC＞AE$，
又$\because AE=AD+DE=2AD$，$EC=AB$，
$\therefore AB+AC＞2AD$。
【答案】
证明:如答图,延长 $AD$ 至点 $E$,使$DE=AD$,连接 $CE$。
$\because AD$ 为 $BC$ 边上的中线,
$\therefore BD=CD.$
在$△ ABD$ 和$△ ECD$ 中,
$\begin{cases} AD=DE,\\ ∠ ADB=∠ EDC,\\ BD=CD, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ECD,\therefore AB=EC.$
在$△ ACE$ 中,$\because AC+EC＞AE=2AD,$
$\therefore AB+AC＞2AD.$
【知识点】
倍长中线法；全等三角形的判定与性质；三角形三边关系
【点评】
本题是三角形全等证明中典型的中线类辅助线应用，通过倍长中线构造全等三角形，将分散的三条线段转移到同一个三角形中，结合三角形三边关系即可完成证明，熟练掌握倍长中线这一辅助线作法能快速解决这类线段和的不等式证明问题。
【难度系数】
0.7

4. 如图，AD是$△ ABC$的中线，$AB=AE$，$AC=AF$，$∠ BAE=∠ CAF=90°$，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明。

4. 解:$EF=2AD.$
证明:如答图,延长 $AD$ 到点 $M$,使得 $DM=AD$,连接 $BM$.
$\because AD$ 是$△ ABC$ 的中线,
$\therefore BD=CD.$
在$△ MDB$ 和$△ ADC$ 中,
$\begin{cases} BD=CD,\\ ∠ BDM=∠ CDA,\\ DM=DA, \end{cases}$
$\therefore △ MDB≌△ ADC(\mathrm{SAS}),$
$\therefore BM=AC,∠ M=∠ CAD,\therefore AC// BM,$
$\therefore ∠ BAC+∠ ABM=180°.$
$\because ∠ BAE=∠ FAC=90°,$
$\therefore ∠ BAC+∠ EAF=180°,\therefore ∠ ABM=∠ EAF.$
$\because AC=AF,\therefore BM=AF.$
在$△ ABM$ 和$△ EAF$ 中,$\begin{cases} AB=EA,\\ ∠ ABM=∠ EAF,\\ BM=AF, \end{cases}$
$\therefore △ ABM≌△ EAF(\mathrm{SAS}),\therefore AM=EF.$
$\because AD=DM,\therefore AM=2AD,\therefore EF=2AD.$

【分析】
要判断AD与EF的数量关系，已知AD是△ABC的中线，对于中线相关的线段探究问题，优先考虑倍长中线法构造全等三角形，实现边角的转化。首先延长AD到M使DM=AD，先证△MDB和△ADC全等，得到BM=AC，同时推出∠BAC与∠ABM互补；再结合已知的∠BAE=∠CAF=90°，可推导得∠BAC与∠EAF互补，进而得到∠ABM=∠EAF；最后结合已知AB=AE、AC=AF（即BM=AF），证明△ABM和△EAF全等，得到AM=EF，而AM=2AD，即可得出两者的数量关系。
【解析】
$EF=2AD$，证明如下：
如答图，延长 $AD$ 到点 $M$,使得 $DM=AD$,连接 $BM$。
$\because AD$ 是$△ ABC$ 的中线,
$\therefore BD=CD$。
在$△ MDB$ 和$△ ADC$ 中:
$\begin{cases} BD=CD,\\ ∠ BDM=∠ CDA,\\ DM=DA, \end{cases}$
$\therefore △ MDB≌△ ADC(\mathrm{SAS})$，
$\therefore BM=AC,∠ M=∠ CAD$，
$\therefore AC// BM$，
$\therefore ∠ BAC+∠ ABM=180°$。
$\because ∠ BAE=∠ FAC=90°$，
$\therefore ∠ BAC+∠ EAF=360°-∠ BAE-∠ FAC=180°$，
$\therefore ∠ ABM=∠ EAF$。
$\because AC=AF$，$\therefore BM=AF$。
在$△ ABM$ 和$△ EAF$ 中:
$\begin{cases} AB=EA,\\ ∠ ABM=∠ EAF,\\ BM=AF, \end{cases}$
$\therefore △ ABM≌△ EAF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AM=EF$。
$\because AM=AD+DM=2AD$，
$\therefore EF=2AD$。
【答案】
$EF=2AD$
【知识点】
倍长中线法；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形辅助线应用的典型题型，核心考查倍长中线法的使用，通过构造全等转移边角，再结合已知角度条件证明新的全等关系，最终推导线段的数量关系，对辅助线的运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6