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5. 某登山队大本营所在地的气温为$5\ °\mathrm{C}$，气温随着海拔的增加而下降.已知登山队所在位置的气温是$y$(单位:$°\mathrm{C}$),登山队员由大本营向上攀登的高度是$x$(单位:$\mathrm{km}$),$y$是$x$的一次函数.下表记录了四次测量的数据,其中数据记录错误的是（
A.第一组
B.第二组
C.第三组
D.第四组
C
）A.第一组
B.第二组
C.第三组
D.第四组
答案
解析:设y=kx+b(k≠0).把x=1,y=-1和x=2,y=-7分别代入,得$\begin{cases} k+b=-1,\\ 2k+b=-7, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-6,\\ b=5, \end{cases}$
∴y=-6x+5.当x=4时,y=-6×4+5=-19,
∴第三组数据不在这条直线上;当x=5时,y=-6×5+5=-25,
∴第四组数据在这条直线上.综上所述,第三组数据记录错误.
∴y=-6x+5.当x=4时,y=-6×4+5=-19,
∴第三组数据不在这条直线上;当x=5时,y=-6×5+5=-25,
∴第四组数据在这条直线上.综上所述,第三组数据记录错误.
解析
【分析】
已知y是x的一次函数，一次函数的通用表达式为$y=kx+b(k≠0)$，只要得到两组正确的对应x、y值，就能通过待定系数法求出k和b，确定函数解析式。所有符合函数关系的点都应满足该解析式，因此我们可以先选取两组数据求出解析式，再将剩余两组的x代入解析式，对比计算出的y值和表格给出的y值是否一致，不一致的即为记录错误的数据。
【解析】
解：设该一次函数的解析式为$y = kx + b$（$k≠0$）。
将第一组$x=1,y=-1$和第二组$x=2,y=-7$分别代入解析式，得方程组：
$\begin{cases} k + b = -1 \\ 2k + b = -7 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$k=-6$，将$k=-6$代入$k+b=-1$，解得$b=5$。
因此一次函数解析式为$y=-6x+5$。
验证剩余两组数据：
当$x=4$时，$y=-6×4+5=-19$，与表格中第三组的$y=-15$不符；
当$x=5$时，$y=-6×5+5=-25$，与表格中第四组的y值一致。
综上，第三组数据记录错误。
【答案】
C
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数的实际应用
【点评】
本题属于一次函数实际应用的基础题型，解题核心是掌握待定系数法求函数解析式的方法，再通过代入计算验证数据是否符合函数关系，计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.7
已知y是x的一次函数，一次函数的通用表达式为$y=kx+b(k≠0)$，只要得到两组正确的对应x、y值，就能通过待定系数法求出k和b，确定函数解析式。所有符合函数关系的点都应满足该解析式，因此我们可以先选取两组数据求出解析式，再将剩余两组的x代入解析式，对比计算出的y值和表格给出的y值是否一致，不一致的即为记录错误的数据。
【解析】
解：设该一次函数的解析式为$y = kx + b$（$k≠0$）。
将第一组$x=1,y=-1$和第二组$x=2,y=-7$分别代入解析式，得方程组：
$\begin{cases} k + b = -1 \\ 2k + b = -7 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$k=-6$，将$k=-6$代入$k+b=-1$，解得$b=5$。
因此一次函数解析式为$y=-6x+5$。
验证剩余两组数据：
当$x=4$时，$y=-6×4+5=-19$，与表格中第三组的$y=-15$不符；
当$x=5$时，$y=-6×5+5=-25$，与表格中第四组的y值一致。
综上，第三组数据记录错误。
【答案】
C
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数的实际应用
【点评】
本题属于一次函数实际应用的基础题型，解题核心是掌握待定系数法求函数解析式的方法，再通过代入计算验证数据是否符合函数关系，计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.7
6. 某校要组建无人机社团，今年计划采购 A、B 两种型号的无人机共 40 架. 其中 A 型无人机的抗损耐用率为 80%，B 型无人机的抗损耐用率为 95%. 已知采购 10 架 A 型、30 架 B 型无人机需要 11 000 元；采购 20 架 A 型、20 架 B 型无人机需要 10 000 元.（注：无人机的抗损耐用率指无人机在遭受碰撞或摔落等意外情况后仍能正常使用的比例）
(1)采购每架 A 型无人机和每架 B 型无人机各需要多少元？
(2)社团要求这两种无人机的总抗损耐用率不低于 85%，请问：如何购买可以使得采购费用最低？
(1)采购每架 A 型无人机和每架 B 型无人机各需要多少元？
(2)社团要求这两种无人机的总抗损耐用率不低于 85%，请问：如何购买可以使得采购费用最低？
答案
(1)设每架A型无人机x元,每架B型无人机y元.根据题意,得$\begin{cases} 10x+30y=11\ 000,\\ 20x+20y=10\ 000, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=200,\\ y=300, \end{cases}$答:每架A型无人机200元,每架B型无人机300元.
(2)设采购A型无人机a架,则采购B型无人机(40-a)架.根据题意,得$\dfrac{0.8a+0.95(40-a)}{40}≥ 0.85$,解得$a≤ \dfrac{80}{3}\approx 26.67$.设采购费用为w元,则w=200a+300(40-a)=12 000-100a.
∵-100＜0,
∴w随a的增大而减小.
∵a为正整数,
∴当a=26时,w取得最小值,最小值为12 000-100×26=9 400(元),此时40-a=14.答:当采购A型无人机26架,B型无人机14架时采购费用最低.
(2)设采购A型无人机a架,则采购B型无人机(40-a)架.根据题意,得$\dfrac{0.8a+0.95(40-a)}{40}≥ 0.85$,解得$a≤ \dfrac{80}{3}\approx 26.67$.设采购费用为w元,则w=200a+300(40-a)=12 000-100a.
∵-100＜0,
∴w随a的增大而减小.
∵a为正整数,
∴当a=26时,w取得最小值,最小值为12 000-100×26=9 400(元),此时40-a=14.答:当采购A型无人机26架,B型无人机14架时采购费用最低.
解析
【分析】
(1)第一问求解A、B型无人机的单价，题干给出了两种采购方案的总费用，存在两个明确的等量关系：10架A型费用+30架B型费用=11000元，20架A型费用+20架B型费用=10000元，因此可以设两个未知数，列二元一次方程组求解。
(2)第二问求费用最低的采购方案，先设采购A型无人机a架，则B型为(40-a)架，首先根据总抗损耐用率不低于85%的要求列不等式，求出a的取值范围；再将总采购费用表示为关于a的一次函数，结合一次函数的增减性和a为正整数的隐含条件，即可找到使费用最低的采购方案。
【解析】
(1)设每架A型无人机x元，每架B型无人机y元。
根据题意，得$\begin{cases} 10x+30y=11000\\ 20x+20y=10000 \end{cases}$
化简第二个方程得$x+y=500$，即$x=500-y$，代入第一个方程：
$10(500-y)+30y=11000$
解得$y=300$，则$x=500-300=200$。
(2)设采购A型无人机a架，则采购B型无人机$(40-a)$架，采购总费用为w元。
根据总抗损耐用率要求，列不等式：
$\dfrac{0.8a+0.95(40-a)}{40}≥ 0.85$
解得$a≤ \dfrac{80}{3}\approx 26.67$。
采购费用$w=200a+300(40-a)=12000-100a$，
$\because -100＜0$，$\therefore w$随$a$的增大而减小。
$\because a$为正整数，$\therefore a$取最大正整数26时，$w$取得最小值，
最小值为$12000-100×26=9400$元，此时$40-a=14$。
【答案】
(1)每架A型无人机200元，每架B型无人机300元；
(2)采购A型无人机26架，B型无人机14架时采购费用最低。
【知识点】
二元一次方程组应用、一元一次不等式应用、一次函数最值应用
【点评】
本题以社团采购的实际场景为载体，综合考查了方程、不等式与一次函数的结合应用，解题核心是准确提取题干中的等量、不等关系，同时注意实际问题中未知数需取正整数的隐含要求，侧重考查学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
(1)第一问求解A、B型无人机的单价，题干给出了两种采购方案的总费用，存在两个明确的等量关系：10架A型费用+30架B型费用=11000元，20架A型费用+20架B型费用=10000元，因此可以设两个未知数，列二元一次方程组求解。
(2)第二问求费用最低的采购方案，先设采购A型无人机a架，则B型为(40-a)架，首先根据总抗损耐用率不低于85%的要求列不等式，求出a的取值范围；再将总采购费用表示为关于a的一次函数，结合一次函数的增减性和a为正整数的隐含条件，即可找到使费用最低的采购方案。
【解析】
(1)设每架A型无人机x元，每架B型无人机y元。
根据题意，得$\begin{cases} 10x+30y=11000\\ 20x+20y=10000 \end{cases}$
化简第二个方程得$x+y=500$，即$x=500-y$，代入第一个方程：
$10(500-y)+30y=11000$
解得$y=300$，则$x=500-300=200$。
(2)设采购A型无人机a架，则采购B型无人机$(40-a)$架，采购总费用为w元。
根据总抗损耐用率要求，列不等式：
$\dfrac{0.8a+0.95(40-a)}{40}≥ 0.85$
解得$a≤ \dfrac{80}{3}\approx 26.67$。
采购费用$w=200a+300(40-a)=12000-100a$，
$\because -100＜0$，$\therefore w$随$a$的增大而减小。
$\because a$为正整数，$\therefore a$取最大正整数26时，$w$取得最小值，
最小值为$12000-100×26=9400$元，此时$40-a=14$。
【答案】
(1)每架A型无人机200元，每架B型无人机300元；
(2)采购A型无人机26架，B型无人机14架时采购费用最低。
【知识点】
二元一次方程组应用、一元一次不等式应用、一次函数最值应用
【点评】
本题以社团采购的实际场景为载体，综合考查了方程、不等式与一次函数的结合应用，解题核心是准确提取题干中的等量、不等关系，同时注意实际问题中未知数需取正整数的隐含要求，侧重考查学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
7. (2024·无锡)某校积极开展劳动教育,两次购买 A、B 两种型号的劳动用品,购买记录如下表.
(1)求 A、B 两种型号劳动用品的单价.
(2)若该校计划再次购买 A、B 两种型号的劳动用品共 40 件,其中 A 型劳动用品购买数量不少于 10 件且不多于 25 件.该校购买这 40 件劳动用品至少需要多少元?(注:A、B 两种型号劳动用品的单价保持不变)
(1)求 A、B 两种型号劳动用品的单价.
(2)若该校计划再次购买 A、B 两种型号的劳动用品共 40 件,其中 A 型劳动用品购买数量不少于 10 件且不多于 25 件.该校购买这 40 件劳动用品至少需要多少元?(注:A、B 两种型号劳动用品的单价保持不变)
答案
(1)设A种型号劳动用品的单价为x元,B种型号劳动用品的单价为y元.根据题意,得$\begin{cases} 20x+25y=1\ 150,\\ 10x+20y=800, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=20,\\ y=30. \end{cases}$答:A种型号劳动用品的单价为20元,B种型号劳动用品的单价为30元.
(2)设购买A种型号劳动用品a(10≤a≤25)件,则购买B种型号劳动用品(40-a)件,设购买这40件劳动用品需要W元,则W=20a+30(40-a)=-10a+1 200.
∵-10＜0,
∴W随a的增大而减小,
∴当a=25时,W取得最小值,最小值为-10×25+1 200=950(元).答:该校购买这40件劳动用品至少需要950元.
(2)设购买A种型号劳动用品a(10≤a≤25)件,则购买B种型号劳动用品(40-a)件,设购买这40件劳动用品需要W元,则W=20a+30(40-a)=-10a+1 200.
∵-10＜0,
∴W随a的增大而减小,
∴当a=25时,W取得最小值,最小值为-10×25+1 200=950(元).答:该校购买这40件劳动用品至少需要950元.
解析
【分析】
(1) 要求A、B两种型号劳动用品的单价，存在两个未知量，可设两个未知数，结合表格中两次购买的数量、总金额的等量关系，列出二元一次方程组即可求解。
(2) 要求购买40件劳动用品的最少费用，可先设购买A型劳动用品的数量为a件，结合总数量表示出B型的数量，再根据单价列出总费用关于a的一次函数表达式，结合a的取值范围，利用一次函数的增减性即可求出费用最小值。
【解析】
(1) 设A种型号劳动用品的单价为x元，B种型号劳动用品的单价为y元，根据题意得：
$\begin{cases} 20x+25y=1150\\ 10x+20y=800 \end{cases}$
将第二个方程两边同乘2得$20x+40y=1600$，减去第一个方程得$15y=450$，解得$y=30$，将$y=30$代入$10x+20y=800$，解得$x=20$。
即方程组的解为$\begin{cases} x=20\\ y=30 \end{cases}$。
(2) 设购买A种型号劳动用品$a(10≤ a≤25)$件，则购买B种型号劳动用品$(40-a)$件，设购买总费用为W元，可得：
$W=20a+30(40-a)=-10a+1200$
$\because -10＜0$，$\therefore W$随a的增大而减小，因此当a取最大值25时，W取得最小值。
代入$a=25$得：$W=-10×25+1200=950$（元）。
【答案】
(1) A型劳动用品单价为20元，B型劳动用品单价为30元；
(2) 购买这40件劳动用品至少需要950元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一次函数的实际应用；一次函数的增减性
【点评】
本题结合生活购买场景，综合考查二元一次方程组和一次函数的相关知识，解题关键是从表格提取有效信息建立方程和函数关系，熟练运用一次函数增减性结合自变量取值范围求最值，贴近生活实用性强。
【难度系数】
0.7
(1) 要求A、B两种型号劳动用品的单价，存在两个未知量，可设两个未知数，结合表格中两次购买的数量、总金额的等量关系，列出二元一次方程组即可求解。
(2) 要求购买40件劳动用品的最少费用，可先设购买A型劳动用品的数量为a件，结合总数量表示出B型的数量，再根据单价列出总费用关于a的一次函数表达式，结合a的取值范围，利用一次函数的增减性即可求出费用最小值。
【解析】
(1) 设A种型号劳动用品的单价为x元，B种型号劳动用品的单价为y元，根据题意得：
$\begin{cases} 20x+25y=1150\\ 10x+20y=800 \end{cases}$
将第二个方程两边同乘2得$20x+40y=1600$，减去第一个方程得$15y=450$，解得$y=30$，将$y=30$代入$10x+20y=800$，解得$x=20$。
即方程组的解为$\begin{cases} x=20\\ y=30 \end{cases}$。
(2) 设购买A种型号劳动用品$a(10≤ a≤25)$件，则购买B种型号劳动用品$(40-a)$件，设购买总费用为W元，可得：
$W=20a+30(40-a)=-10a+1200$
$\because -10＜0$，$\therefore W$随a的增大而减小，因此当a取最大值25时，W取得最小值。
代入$a=25$得：$W=-10×25+1200=950$（元）。
【答案】
(1) A型劳动用品单价为20元，B型劳动用品单价为30元；
(2) 购买这40件劳动用品至少需要950元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一次函数的实际应用；一次函数的增减性
【点评】
本题结合生活购买场景，综合考查二元一次方程组和一次函数的相关知识，解题关键是从表格提取有效信息建立方程和函数关系，熟练运用一次函数增减性结合自变量取值范围求最值，贴近生活实用性强。
【难度系数】
0.7
