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1.（教材例题变式）如图，小王与小张先后从甲地出发前往8 km外的乙地，图中线段PA、OB分别反映了小王和小张骑行所走的路程S（单位：km）关于小张所用时间t（单位：min）的函数关系.根据图象的信息，小张比小王早到乙地的时间是 （
A.10 min
B.12 min
C.14 min
D.16 min
B
）A.10 min
B.12 min
C.14 min
D.16 min
答案
1. B 解析:小王的速度为(5-2)÷30=1/10(km/min),到达乙地所用时间为(8-2)÷1/10=60(min),小张的速度为5÷30=1/6(km/min),到达乙地所用时间为8÷1/6=48(min),60-48=12(min),
∴小张比小王早到乙地的时间是12 min.
∴小张比小王早到乙地的时间是12 min.
解析
【分析】
解题时首先明确函数图象的横、纵坐标含义：横轴t表示小张出发后的时间，纵轴s表示两人骑行的路程，线段PA对应小王的路程随时间的变化规律，OB对应小张的路程随时间的变化规律。首先从图象中提取已知的路程与对应时间，分别计算两人的骑行速度，再结合总路程8km，分别求出两人到达乙地时对应的小张出发的时间，最后作差即可得到小张比小王早到的时间。
【解析】
1. 计算小王的骑行速度：由图象信息可知，小张出发30min时，小王的骑行路程为5km，且小张出发时（t=0）小王已经骑行了2km，因此30min内小王骑行的路程为$5-2=3\mathrm{km}$，可得小王的速度为$v_王=\frac{3}{30}=\frac{1}{10}\mathrm{km/min}$。
2. 计算小王到达乙地对应的小张出发时间：小王到达乙地还需骑行的路程为$8-2=6\mathrm{km}$，所需时间为$6÷\frac{1}{10}=60\mathrm{min}$，即小王到达乙地时，小张已经出发了60min。
3. 计算小张的骑行速度：由图象可知小张出发30min时骑行了5km，因此小张的速度为$v_张=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}\mathrm{km/min}$。
4. 计算小张到达乙地的时间：小张骑行8km所需时间为$8÷\frac{1}{6}=48\mathrm{min}$。
5. 计算早到时间：$60-48=12\mathrm{min}$，即小张比小王早到乙地12min。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象应用，行程问题，函数实际意义
【点评】
本题是一次函数图象在行程问题中的典型应用，解题核心是准确从图象中提取时间、路程的对应信息，结合路程、速度、时间三者的关系计算即可，属于函数实际应用类的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确函数图象的横、纵坐标含义：横轴t表示小张出发后的时间，纵轴s表示两人骑行的路程，线段PA对应小王的路程随时间的变化规律，OB对应小张的路程随时间的变化规律。首先从图象中提取已知的路程与对应时间，分别计算两人的骑行速度，再结合总路程8km，分别求出两人到达乙地时对应的小张出发的时间，最后作差即可得到小张比小王早到的时间。
【解析】
1. 计算小王的骑行速度：由图象信息可知，小张出发30min时，小王的骑行路程为5km，且小张出发时（t=0）小王已经骑行了2km，因此30min内小王骑行的路程为$5-2=3\mathrm{km}$，可得小王的速度为$v_王=\frac{3}{30}=\frac{1}{10}\mathrm{km/min}$。
2. 计算小王到达乙地对应的小张出发时间：小王到达乙地还需骑行的路程为$8-2=6\mathrm{km}$，所需时间为$6÷\frac{1}{10}=60\mathrm{min}$，即小王到达乙地时，小张已经出发了60min。
3. 计算小张的骑行速度：由图象可知小张出发30min时骑行了5km，因此小张的速度为$v_张=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}\mathrm{km/min}$。
4. 计算小张到达乙地的时间：小张骑行8km所需时间为$8÷\frac{1}{6}=48\mathrm{min}$。
5. 计算早到时间：$60-48=12\mathrm{min}$，即小张比小王早到乙地12min。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象应用，行程问题，函数实际意义
【点评】
本题是一次函数图象在行程问题中的典型应用，解题核心是准确从图象中提取时间、路程的对应信息，结合路程、速度、时间三者的关系计算即可，属于函数实际应用类的常考题型。
【难度系数】
0.7
2. 某快递公司每天上午$9:30-10:30$为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量$y$（单位：件）与时间$x$（单位：$\min$）之间的函数图象如图所示，那么从$9:30$开始，经过________$\min$，两仓库快递件数相同
答案
2. 20 解析:设甲仓库的快件数量y(单位:件)与时间x(单位:min)之间的函数表达式为y₁=k₁x+40,根据题意,得60k₁+40=400,解得k₁=6,
∴y₁=6x+40.设乙仓库的快件数量y(单位:件)与时间x(单位:min)之间的函数表达式为y₂=k₂x+240,根据题意,得60k₂+240=0,解得k₂=-4,
∴y₂=-4x+240.联立{y=6x+40, y=-4x+240, 解得{x=20, y=160,
∴经过20 min,两仓库快递件数相同.
∴y₁=6x+40.设乙仓库的快件数量y(单位:件)与时间x(单位:min)之间的函数表达式为y₂=k₂x+240,根据题意,得60k₂+240=0,解得k₂=-4,
∴y₂=-4x+240.联立{y=6x+40, y=-4x+240, 解得{x=20, y=160,
∴经过20 min,两仓库快递件数相同.
解析
【分析】要解决两仓库快递件数相同的时间问题，首先观察到甲、乙两仓库的快件数量与时间均满足一次函数关系，解题思路为：①先从函数图像中提取已知点坐标，用待定系数法分别求出甲、乙两仓库快件数量随时间变化的一次函数解析式；②令两个函数的快件数量y相等，联立方程求解，得到的x值即为所求时间。
【解析】设甲仓库的快件数量y（单位：件）与时间x（单位：min）的函数表达式为$y_1 = k_1x + b_1$，
由图像可知，当$x=0$时，$y_1=40$；当$x=60$时，$y_1=400$，
代入得$\begin{cases}b_1=40 \\ 60k_1 + 40 = 400\end{cases}$，解得$k_1=6$，
因此$y_1 = 6x + 40$。
设乙仓库的快件数量y（单位：件）与时间x（单位：min）的函数表达式为$y_2 = k_2x + b_2$，
由图像可知，当$x=0$时，$y_2=240$；当$x=60$时，$y_2=0$，
代入得$\begin{cases}b_2=240 \\ 60k_2 + 240 = 0\end{cases}$，解得$k_2=-4$，
因此$y_2 = -4x + 240$。
当两仓库快递件数相同时，$y_1=y_2$，即$6x + 40 = -4x + 240$，
移项合并得$10x = 200$，解得$x=20$。
【答案】20
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；解一元一次方程
【点评】本题结合快递收发的实际场景考查一次函数的应用，解题核心是从函数图像中提取有效坐标信息，熟练运用待定系数法求出函数解析式，再通过函数值相等建立方程求解，属于一次函数应用的常规题型。
【难度系数】0.7
【解析】设甲仓库的快件数量y（单位：件）与时间x（单位：min）的函数表达式为$y_1 = k_1x + b_1$，
由图像可知，当$x=0$时，$y_1=40$；当$x=60$时，$y_1=400$，
代入得$\begin{cases}b_1=40 \\ 60k_1 + 40 = 400\end{cases}$，解得$k_1=6$，
因此$y_1 = 6x + 40$。
设乙仓库的快件数量y（单位：件）与时间x（单位：min）的函数表达式为$y_2 = k_2x + b_2$，
由图像可知，当$x=0$时，$y_2=240$；当$x=60$时，$y_2=0$，
代入得$\begin{cases}b_2=240 \\ 60k_2 + 240 = 0\end{cases}$，解得$k_2=-4$，
因此$y_2 = -4x + 240$。
当两仓库快递件数相同时，$y_1=y_2$，即$6x + 40 = -4x + 240$，
移项合并得$10x = 200$，解得$x=20$。
【答案】20
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；解一元一次方程
【点评】本题结合快递收发的实际场景考查一次函数的应用，解题核心是从函数图像中提取有效坐标信息，熟练运用待定系数法求出函数解析式，再通过函数值相等建立方程求解，属于一次函数应用的常规题型。
【难度系数】0.7
3. 如图，甲、乙两人以相同的路线前往距离单位10 km的培训中心参加学习.图中$l_{甲}$、$l_{乙}$分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程$s$（单位：km）随时间$t$（单位：min）变化的函数图象，乙出发后
8
min追上甲.答案
3. 8 解析:根据图象可知,乙在28 min时到达,甲在40 min时到达,设乙出发x min后追上甲,则有10/(28-8) ×x=10/40 ×(8+x),解得x=8.
解析
【分析】
本题是结合一次函数s-t图象的行程追及问题，解题思路如下：首先明确追及问题的核心等量关系：乙追上甲时，两人行驶的路程相等。其次从图象中提取关键信息：甲走完全程10km用时40min，可计算甲的行驶速度；乙比甲晚出发8min，走完全程用时28-8=20min，可计算乙的行驶速度。最后设乙出发x min后追上甲，此时甲的总行驶时长为(x+8)min，根据路程相等列方程求解即可。
【解析】
解：首先计算甲、乙两人的行驶速度：
甲的速度：$v_甲=\frac{10}{40}=0.25\ \mathrm{km/min}$
乙的速度：$v_乙=\frac{10}{28-8}=0.5\ \mathrm{km/min}$
设乙出发$x$ min后追上甲，此时甲一共行驶了$(x+8)$ min，追上时两人行驶路程相等，可列方程：
$0.5x = 0.25(x+8)$
解方程：
$0.5x = 0.25x + 2$
$0.25x = 2$
$x=8$
【答案】
8
【知识点】
一次函数图象的应用，行程追及问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题侧重考查从函数图象中提取有效信息的能力，解题关键是抓住追及问题中路程相等的核心等量关系列方程，只要能正确读取图象中的时间信息，即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
本题是结合一次函数s-t图象的行程追及问题，解题思路如下：首先明确追及问题的核心等量关系：乙追上甲时，两人行驶的路程相等。其次从图象中提取关键信息：甲走完全程10km用时40min，可计算甲的行驶速度；乙比甲晚出发8min，走完全程用时28-8=20min，可计算乙的行驶速度。最后设乙出发x min后追上甲，此时甲的总行驶时长为(x+8)min，根据路程相等列方程求解即可。
【解析】
解：首先计算甲、乙两人的行驶速度：
甲的速度：$v_甲=\frac{10}{40}=0.25\ \mathrm{km/min}$
乙的速度：$v_乙=\frac{10}{28-8}=0.5\ \mathrm{km/min}$
设乙出发$x$ min后追上甲，此时甲一共行驶了$(x+8)$ min，追上时两人行驶路程相等，可列方程：
$0.5x = 0.25(x+8)$
解方程：
$0.5x = 0.25x + 2$
$0.25x = 2$
$x=8$
【答案】
8
【知识点】
一次函数图象的应用，行程追及问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题侧重考查从函数图象中提取有效信息的能力，解题关键是抓住追及问题中路程相等的核心等量关系列方程，只要能正确读取图象中的时间信息，即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
4. 一艘游船从 A 港逆流开往 B 港,游船在静水中的行驶速度为 600 m/min,出发 2 min 后有一位游客的物品飘落在水面上,游客在游船出发 5 min 后发现遗失物品,游船随即掉头寻找,并在找回物品之后掉头继续前往 B 港.游船距离 A 港的距离 y(单位:m)与行驶时间 x(单位:min)的关系如图所示.
(1)水流的速度为
(2)求点 C 的坐标,并解释它的实际意义.
(3)若游船在出发 14 min 后到达 B 港,则 A 港与 B 港之间的距离为
(1)水流的速度为
100
m/min.(2)求点 C 的坐标,并解释它的实际意义.
(3)若游船在出发 14 min 后到达 B 港,则 A 港与 B 港之间的距离为
3400
m.答案
4. (1)100 解析:由图可得,游船逆流速度为 2 500÷5=500(m/min).
∵游船在静水中的行驶速度为 600 m/min,
∴水流速度为600-500=100(m/min).
(2)设点 C 的横坐标为 t,当游船行驶 2 min 时,行驶的路程为 500×2=1000(m),根据题意,得1 000-100(t-2)=2 500-(600+100)(t-5),解得 t=8,当t=8时,点 C 的纵坐标为 1 000-100×(8-2)=400,
∴点 C 的坐标为(8,400),实际意义为当游船行驶 8 min 时,找回遗失的物品,此时离 A 港 400 m.
(3)3 400 解析:由(2)可得,A 港与B 港之间的距离为 400+500×(14-8)=400+500×6=3 400(m).
∵游船在静水中的行驶速度为 600 m/min,
∴水流速度为600-500=100(m/min).
(2)设点 C 的横坐标为 t,当游船行驶 2 min 时,行驶的路程为 500×2=1000(m),根据题意,得1 000-100(t-2)=2 500-(600+100)(t-5),解得 t=8,当t=8时,点 C 的纵坐标为 1 000-100×(8-2)=400,
∴点 C 的坐标为(8,400),实际意义为当游船行驶 8 min 时,找回遗失的物品,此时离 A 港 400 m.
(3)3 400 解析:由(2)可得,A 港与B 港之间的距离为 400+500×(14-8)=400+500×6=3 400(m).
解析
【分析】
(1) 首先从函数图象读取信息：游船逆流行驶5min的路程是2500m，先算出逆流行驶的速度，再结合“逆流速度=静水速度-水流速度”，即可求出水流速度。
(2) 点C是游船掉头后和漂流物品的相遇点。首先计算出物品掉落时游船距离A港的距离，物品从掉落到被找到的这段时间里，一直顺着水流向A港漂流，而游船发现物品丢失后，从距离A港2500m的位置顺流行驶找物品，两者相遇时距离A港的距离相等，据此列方程求出相遇时间即C点的横坐标，再计算此时距离A港的距离得到纵坐标，最后说明实际意义即可。
(3) 游船找到物品后再次掉头逆流开往B港，从C点对应的时间到14min都是逆流行驶，用C点距离A港的距离加上这段时间逆流行驶的路程，即可求出A、B两港的距离。
【解析】
(1) 由图象可知，游船逆流5min行驶了2500m，
∴逆流行驶速度为：$2500 ÷ 5 = 500(\mathrm{m/min})$，
已知游船在静水中速度为600m/min，根据逆流速度=静水速度-水流速度，
可得水流速度为：$600 - 500 = 100(\mathrm{m/min})$。
(2) 设点C的横坐标为$t$，即游船行驶$t$ min时找回物品。
游船出发2min时物品掉落，此时游船距离A港的距离为：$500 × 2 = 1000(\mathrm{m})$，
从物品掉落到被找回，物品漂流的时间为$(t-2)\mathrm{min}$，漂流的路程为$100(t-2)\mathrm{m}$，此时物品距离A港的距离为$1000 - 100(t-2)$；
游船出发5min后掉头顺流行驶，顺流速度为$600 + 100 = 700(\mathrm{m/min})$，到找回物品时顺流行驶的时间为$(t-5)\mathrm{min}$，行驶的路程为$700(t-5)\mathrm{m}$，此时游船距离A港的距离为$2500 - 700(t-5)$。
两者相遇时距离A港的距离相等，列方程得：
$1000 - 100(t-2) = 2500 - 700(t-5)$
解得：$t=8$
将$t=8$代入计算纵坐标：$1000 - 100×(8-2) = 400$
∴点C的坐标为$(8,400)$，实际意义为游船行驶8min时找回遗失物品，此时距离A港400m。
(3) 游船找回物品后再次掉头逆流行驶，到14min时到达B港，逆流行驶的时间为$14 - 8 = 6(\mathrm{min})$，这段时间行驶的路程为$500 × 6 = 3000(\mathrm{m})$，
∴A、B两港的距离为：$400 + 3000 = 3400(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) 100
(2) 点C的坐标为$(8,400)$，实际意义为当游船行驶8min时，找回遗失的物品，此时离A港400m
(3) 3400
【知识点】
一次函数图象的应用，流水行船问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合函数图象考查行程类实际问题，解题的关键是准确读取图象中的路程、时间信息，理清不同行驶阶段的速度、时间、路程三者的关系，明确顺流、逆流速度的计算方法，结合相遇问题的等量关系列方程求解。
【难度系数】
0.6
(1) 首先从函数图象读取信息：游船逆流行驶5min的路程是2500m，先算出逆流行驶的速度，再结合“逆流速度=静水速度-水流速度”，即可求出水流速度。
(2) 点C是游船掉头后和漂流物品的相遇点。首先计算出物品掉落时游船距离A港的距离，物品从掉落到被找到的这段时间里，一直顺着水流向A港漂流，而游船发现物品丢失后，从距离A港2500m的位置顺流行驶找物品，两者相遇时距离A港的距离相等，据此列方程求出相遇时间即C点的横坐标，再计算此时距离A港的距离得到纵坐标，最后说明实际意义即可。
(3) 游船找到物品后再次掉头逆流开往B港，从C点对应的时间到14min都是逆流行驶，用C点距离A港的距离加上这段时间逆流行驶的路程，即可求出A、B两港的距离。
【解析】
(1) 由图象可知，游船逆流5min行驶了2500m，
∴逆流行驶速度为：$2500 ÷ 5 = 500(\mathrm{m/min})$，
已知游船在静水中速度为600m/min，根据逆流速度=静水速度-水流速度，
可得水流速度为：$600 - 500 = 100(\mathrm{m/min})$。
(2) 设点C的横坐标为$t$，即游船行驶$t$ min时找回物品。
游船出发2min时物品掉落，此时游船距离A港的距离为：$500 × 2 = 1000(\mathrm{m})$，
从物品掉落到被找回，物品漂流的时间为$(t-2)\mathrm{min}$，漂流的路程为$100(t-2)\mathrm{m}$，此时物品距离A港的距离为$1000 - 100(t-2)$；
游船出发5min后掉头顺流行驶，顺流速度为$600 + 100 = 700(\mathrm{m/min})$，到找回物品时顺流行驶的时间为$(t-5)\mathrm{min}$，行驶的路程为$700(t-5)\mathrm{m}$，此时游船距离A港的距离为$2500 - 700(t-5)$。
两者相遇时距离A港的距离相等，列方程得：
$1000 - 100(t-2) = 2500 - 700(t-5)$
解得：$t=8$
将$t=8$代入计算纵坐标：$1000 - 100×(8-2) = 400$
∴点C的坐标为$(8,400)$，实际意义为游船行驶8min时找回遗失物品，此时距离A港400m。
(3) 游船找回物品后再次掉头逆流行驶，到14min时到达B港，逆流行驶的时间为$14 - 8 = 6(\mathrm{min})$，这段时间行驶的路程为$500 × 6 = 3000(\mathrm{m})$，
∴A、B两港的距离为：$400 + 3000 = 3400(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) 100
(2) 点C的坐标为$(8,400)$，实际意义为当游船行驶8min时，找回遗失的物品，此时离A港400m
(3) 3400
【知识点】
一次函数图象的应用，流水行船问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合函数图象考查行程类实际问题，解题的关键是准确读取图象中的路程、时间信息，理清不同行驶阶段的速度、时间、路程三者的关系，明确顺流、逆流速度的计算方法，结合相遇问题的等量关系列方程求解。
【难度系数】
0.6
