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5. 甲、乙在一段长2 000 m的直线公路上进行跑步练习，起跑时甲在起点，乙在甲的前面，若甲、乙同时起跑至甲到达终点的过程中，甲、乙之间的距离y(单位:m)与时间x(单位:s)之间的函数关系如图所示.现有下列说法:①甲的速度为5 m/s;②100 s时甲追上乙;③经过50 s时甲、乙相距50 m;④甲到终点时，乙距离终点300 m.其中正确的说法有 (
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
A
)A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
5. A 解析:由图象可知,起跑时甲在起点,乙在甲的前面,甲、乙之间的距离为 100 m,100 s 时,甲、乙之间的距离为0 m,说明甲的速度快,100 s 时甲追上乙,故②正确;经过400 s,甲先到达终点,
∴甲的速度为 2 000÷400=5(m/s),故①正确;100 s 时甲追上相距 100 m 的乙,说明甲每秒比乙多跑 1 m,
∴经过 50 s,甲比乙多跑 50 m,则甲、乙相距 50 m,故③正确;从甲、乙相遇到甲到达终点,经过了 300 s,则甲比乙多跑了 300 m,即甲到终点时,乙距离终点 300 m,故④正确.综上所述,正确的说法有①②③④,共4个.
∴甲的速度为 2 000÷400=5(m/s),故①正确;100 s 时甲追上相距 100 m 的乙,说明甲每秒比乙多跑 1 m,
∴经过 50 s,甲比乙多跑 50 m,则甲、乙相距 50 m,故③正确;从甲、乙相遇到甲到达终点,经过了 300 s,则甲比乙多跑了 300 m,即甲到终点时,乙距离终点 300 m,故④正确.综上所述,正确的说法有①②③④,共4个.
解析
【分析】
解题时首先明确函数图象的横、纵坐标分别代表跑步时间和甲乙两人的距离，先从图象提取关键信息：初始时乙领先甲100m，100s时两人距离为0，400s时甲到达2000m的终点。接下来先计算甲的速度，再根据追及过程算出甲乙的速度差，最后逐一验证4个说法是否正确即可。
【解析】
1. 验证①：已知公路总长2000m，甲400s到达终点，根据速度公式$v=\frac{s}{t}$，甲的速度为$2000÷400=5m/s$，故①正确。
2. 验证②：由图象可知，当$x=100s$时，甲乙的距离$y=0$，说明此时甲追上乙，故②正确。
3. 验证③：100s时甲追上原本领先100m的乙，可得甲乙的速度差为$100÷100=1m/s$。经过50s时，甲比乙多跑$50×1=50m$，此时两人相距$100-50=50m$，故③正确。
4. 验证④：乙的速度为$5-1=4m/s$，甲到达终点时共经过400s，乙跑过的路程为$4×400=1600m$，加上乙起跑时领先的100m，乙一共前进了$1600+100=1700m$，距离终点还有$2000-1700=300m$，故④正确。
综上，①②③④共4个说法均正确。
【答案】
A
【知识点】
一次函数图象应用，行程问题计算，图象信息提取
【点评】
本题是函数与行程结合的典型应用题，解题核心是准确读取图象中的关键时间、距离信息，结合行程问题的基本公式（速度、路程、时间的关系）逐步推导判断即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确函数图象的横、纵坐标分别代表跑步时间和甲乙两人的距离，先从图象提取关键信息：初始时乙领先甲100m，100s时两人距离为0，400s时甲到达2000m的终点。接下来先计算甲的速度，再根据追及过程算出甲乙的速度差，最后逐一验证4个说法是否正确即可。
【解析】
1. 验证①：已知公路总长2000m，甲400s到达终点，根据速度公式$v=\frac{s}{t}$，甲的速度为$2000÷400=5m/s$，故①正确。
2. 验证②：由图象可知，当$x=100s$时，甲乙的距离$y=0$，说明此时甲追上乙，故②正确。
3. 验证③：100s时甲追上原本领先100m的乙，可得甲乙的速度差为$100÷100=1m/s$。经过50s时，甲比乙多跑$50×1=50m$，此时两人相距$100-50=50m$，故③正确。
4. 验证④：乙的速度为$5-1=4m/s$，甲到达终点时共经过400s，乙跑过的路程为$4×400=1600m$，加上乙起跑时领先的100m，乙一共前进了$1600+100=1700m$，距离终点还有$2000-1700=300m$，故④正确。
综上，①②③④共4个说法均正确。
【答案】
A
【知识点】
一次函数图象应用，行程问题计算，图象信息提取
【点评】
本题是函数与行程结合的典型应用题，解题核心是准确读取图象中的关键时间、距离信息，结合行程问题的基本公式（速度、路程、时间的关系）逐步推导判断即可。
【难度系数】
0.7
6. 甲骑电动车从 A 地驶向 B 地,甲行驶 2 min 后,乙骑摩托车沿同一直路从 A 地驶向 B地,已知乙的速度是甲速度的 2 倍. 在整个行驶过程中,甲离 A 地的距离 y(单位:m)与时间 x(单位:min)之间的函数关系如图所示.
(1)乙行驶
(2)在图中画出乙离 A 地距离$y_2$(单位:m)与时间 x(单位:min)之间的函数图象.(工具不限)
(3)已知 A、B 两地的距离为 3 500 m,乙追到甲时距离 B 地还有 2 000 m,当乙在行驶途中与甲相距不超过 500 m 时,x 的取值范围为
(1)乙行驶
2
min 后追上甲.(2)在图中画出乙离 A 地距离$y_2$(单位:m)与时间 x(单位:min)之间的函数图象.(工具不限)
(3)已知 A、B 两地的距离为 3 500 m,乙追到甲时距离 B 地还有 2 000 m,当乙在行驶途中与甲相距不超过 500 m 时,x 的取值范围为
$\frac{8}{3}≤ x≤ \frac{16}{3}$
.答案
6. (1)2 解析:设甲的速度为 v m/min,则乙的速度为 2v m/min,乙行驶 t min 后追上甲.根据题意,得(t+2)v=2vt,解得 t=2,
∴乙行驶 2 min 后追上甲.
(2)当0≤x≤2时,y₂=0,当x=2+2=4时,两图象相交,据此画出乙离 A 地距离 y₂ 与时间 x 之间的函数图象如图所示.
(3)$\frac{8}{3}≤ x≤ \frac{16}{3}$ 解析:甲的速度为(3 500-2 000)÷4=375(m/min),则乙的速度为 375×2=750(m/min),甲到达 B 地的时间为 3 500÷375=$\frac{28}{3}$(min),乙到达 B 地的时间为 2+3 500÷750=$\frac{20}{3}$(min),
∴甲离 A 地的距离 y 与时间 x 之间的函数表达式为 y=375x$(0≤ x≤ \frac{28}{3})$,乙离 A 地的距离 y₂ 与时间 x 之间的函数表达式为 y₂=750(x-2)=750x-1500$(2≤ x≤ \frac{20}{3})$.当乙在行驶途中与甲相距不超过 500 m 时,|750x-1 500-375x|≤500,解得$\frac{8}{3}≤ x≤ \frac{16}{3}$.
解析
【分析】
(1) 属于追及问题，追上时两人离A地的路程相等。设甲速度为v，乙行驶t min后追上甲，此时甲总行驶时长为(t+2)min，根据路程相等列方程即可求解t。
(2) 乙在甲出发2min后才出发，因此0≤x≤2时乙的路程为0；由(1)可知乙行驶2min后追上甲，即x=4min时两函数图象相交，且乙速度更快，图象斜率大于甲的图象斜率，以此特征画图即可。
(3) 先根据追上时的路程条件求出甲、乙的速度，再分别写出甲乙路程关于时间的函数解析式，两人相距不超过500m即两个函数值的差的绝对值≤500，解不等式同时结合自变量的有效范围即可得到x的取值区间。
【解析】
(1) 设甲的速度为$v\ \mathrm{m/min}$，乙的速度为$2v\ \mathrm{m/min}$，乙行驶$t\ \mathrm{min}$后追上甲。
追上时两人路程相等，此时甲总行驶时长为$(t+2)\mathrm{min}$，列方程：
$v(t+2)=2vt$
约去非零的v得$t+2=2t$，解得$t=2$。
(2) 0≤x≤2时乙未出发，$y_2=0$；x=4min时乙追上甲，两图象相交，乙的速度更大、图象斜率更大，先于甲到达B地，图象如下：
(3) 乙追上甲时x=4min，此时甲行驶的路程为$3500-2000=1500\ \mathrm{m}$，因此甲的速度为$1500÷4=375\ \mathrm{m/min}$，乙的速度为$375×2=750\ \mathrm{m/min}$。
甲走完全程的时间为$3500÷375=\frac{28}{3}\mathrm{min}$，甲的函数为$y=375x(0\le x\le\frac{28}{3})$；
乙走完全程的时间为$3500÷750=\frac{14}{3}\mathrm{min}$，到达终点时$x=2+\frac{14}{3}=\frac{20}{3}\mathrm{min}$，乙的函数为$y_2=750(x-2)=750x-1500(2\le x\le\frac{20}{3})$。
两人相距不超过500m即$\left|y_2-y\right|\le500$，代入得：
$\left|750x-1500-375x\right|\le500$，即$\left|375x-1500\right|\le500$
去绝对值得$-500\le375x-1500\le500$
解得$\frac{8}{3}\le x\le\frac{16}{3}$，该区间在乙的行驶时间范围内，符合要求。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$
(2)
(3) $\boldsymbol{\frac{8}{3}≤ x≤ \frac{16}{3}}$
【知识点】
一次函数的应用，行程追及问题，解一元一次不等式
【点评】
本题结合实际行程场景考查一次函数的应用，需要学生结合图象梳理运动过程，建立函数模型求解，同时要注意自变量的取值范围限制，对读图能力和方程、不等式的应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 属于追及问题，追上时两人离A地的路程相等。设甲速度为v，乙行驶t min后追上甲，此时甲总行驶时长为(t+2)min，根据路程相等列方程即可求解t。
(2) 乙在甲出发2min后才出发，因此0≤x≤2时乙的路程为0；由(1)可知乙行驶2min后追上甲，即x=4min时两函数图象相交，且乙速度更快，图象斜率大于甲的图象斜率，以此特征画图即可。
(3) 先根据追上时的路程条件求出甲、乙的速度，再分别写出甲乙路程关于时间的函数解析式，两人相距不超过500m即两个函数值的差的绝对值≤500，解不等式同时结合自变量的有效范围即可得到x的取值区间。
【解析】
(1) 设甲的速度为$v\ \mathrm{m/min}$，乙的速度为$2v\ \mathrm{m/min}$，乙行驶$t\ \mathrm{min}$后追上甲。
追上时两人路程相等，此时甲总行驶时长为$(t+2)\mathrm{min}$，列方程：
$v(t+2)=2vt$
约去非零的v得$t+2=2t$，解得$t=2$。
(2) 0≤x≤2时乙未出发，$y_2=0$；x=4min时乙追上甲，两图象相交，乙的速度更大、图象斜率更大，先于甲到达B地，图象如下：
(3) 乙追上甲时x=4min，此时甲行驶的路程为$3500-2000=1500\ \mathrm{m}$，因此甲的速度为$1500÷4=375\ \mathrm{m/min}$，乙的速度为$375×2=750\ \mathrm{m/min}$。
甲走完全程的时间为$3500÷375=\frac{28}{3}\mathrm{min}$，甲的函数为$y=375x(0\le x\le\frac{28}{3})$；
乙走完全程的时间为$3500÷750=\frac{14}{3}\mathrm{min}$，到达终点时$x=2+\frac{14}{3}=\frac{20}{3}\mathrm{min}$，乙的函数为$y_2=750(x-2)=750x-1500(2\le x\le\frac{20}{3})$。
两人相距不超过500m即$\left|y_2-y\right|\le500$，代入得：
$\left|750x-1500-375x\right|\le500$，即$\left|375x-1500\right|\le500$
去绝对值得$-500\le375x-1500\le500$
解得$\frac{8}{3}\le x\le\frac{16}{3}$，该区间在乙的行驶时间范围内，符合要求。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$
(2)
(3) $\boldsymbol{\frac{8}{3}≤ x≤ \frac{16}{3}}$
【知识点】
一次函数的应用，行程追及问题，解一元一次不等式
【点评】
本题结合实际行程场景考查一次函数的应用，需要学生结合图象梳理运动过程，建立函数模型求解，同时要注意自变量的取值范围限制，对读图能力和方程、不等式的应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
7. 无人快递车在某市的城市道路上已正式“上岗”.现有一条笔直的路上依次有 A、B、C 三个快递网点,甲车由 A 网点驶往 B 网点,乙车由 C 网点驶往 A 网点,两车同时出发,匀速行驶.如图是甲、乙两车分别距离 B 网点的路程 $ y_1、y_2 $(单位:km)与乙车行驶时间 $ x $(单位:h)之间的函数图象.结合图象信息,解答下列问题:
(1)甲车的速度是
(2)求图象中线段 DF 的函数表达式,并写出自变量 $ x $ 的取值范围.
(3)当两车距 B 网点的路程之和是 360 km 时,此时乙车的行驶时间为
(1)甲车的速度是
70
km/h.(2)求图象中线段 DF 的函数表达式,并写出自变量 $ x $ 的取值范围.
(3)当两车距 B 网点的路程之和是 360 km 时,此时乙车的行驶时间为
$\frac{18}{13}\ \mathrm{h或8 h}$
.答案
7. (1)70
(2)乙车的速度为 120÷2=60(km/h),2+420÷60=9(h),
∴F(9,420),y₂=60(x-2)=60x-120,
∴线段 DF 的函数表达式为 y₂=60x-120,自变量 x 的取值范围为2≤x≤9.
(3)$\frac{18}{13}$ h或8 h 解析:y₂=120-60x(0≤x≤2),y₁=420-70x(0≤x≤6).当0≤x≤2时,当两车距 B 网点的路程之和是 360 km 时,得 420-70x+120-60x=360,解得x=$\frac{18}{13}$;当2＜x≤6时,当两车距 B 网点的路程之和是 360 km 时,得 420-70x+60x-120=360,解得x=-6(舍去);当6＜x≤9时,当两车距 B 网点的路程之和是 360 km 时,得 60x-120=360,解得x=8.综上所述,当两车距 B 网点的路程之和是 360 km 时,此时乙车的行驶时间为$\frac{18}{13}$ h或8 h.
(2)乙车的速度为 120÷2=60(km/h),2+420÷60=9(h),
∴F(9,420),y₂=60(x-2)=60x-120,
∴线段 DF 的函数表达式为 y₂=60x-120,自变量 x 的取值范围为2≤x≤9.
(3)$\frac{18}{13}$ h或8 h 解析:y₂=120-60x(0≤x≤2),y₁=420-70x(0≤x≤6).当0≤x≤2时,当两车距 B 网点的路程之和是 360 km 时,得 420-70x+120-60x=360,解得x=$\frac{18}{13}$;当2＜x≤6时,当两车距 B 网点的路程之和是 360 km 时,得 420-70x+60x-120=360,解得x=-6(舍去);当6＜x≤9时,当两车距 B 网点的路程之和是 360 km 时,得 60x-120=360,解得x=8.综上所述,当两车距 B 网点的路程之和是 360 km 时,此时乙车的行驶时间为$\frac{18}{13}$ h或8 h.
解析
【分析】
1. 第(1)问：观察图象可知，甲车从距离B网点420km的A网点出发，6小时后到达B网点，根据“速度=路程÷时间”即可直接求出甲车速度。
2. 第(2)问：先根据乙车前2小时行驶120km的信息求出乙车速度，再计算乙车从B网点行驶到A网点的总时长，得到F点坐标，结合D点坐标(2,0)，用待定系数法即可求出线段DF的函数表达式，自变量范围由D、F两点的横坐标确定。
3. 第(3)问：需分三个时间段讨论：①0≤x≤2时，乙车未到达B网点，y₁、y₂均为到B网点的剩余路程，两者相加等于360列方程求解；②2＜x≤6时，乙车驶过B网点往A行驶，y₂为离开B网点的路程，y₁仍为到B网点的剩余路程，相加等于360列方程，舍去不符合范围的解；③6＜x≤9时，甲车已到达B网点，y₁=0，仅y₂等于360列方程求解，最终汇总所有符合条件的解即可。
【解析】
(1) 由图象可知，甲车6小时行驶420km，因此甲车速度为 $420÷6=70\ \mathrm{km/h}$。
(2) 首先求乙车速度：乙车2小时行驶120km，速度为 $120÷2=60\ \mathrm{km/h}$。
乙车从B网点到A网点的路程为420km，所需时间为 $420÷60=7\ \mathrm{h}$，因此到达A网点的总时间为 $2+7=9\ \mathrm{h}$，即F点坐标为$(9,420)$。
设线段DF的函数表达式为 $y=kx+b\ (k≠0)$，将$D(2,0)$、$F(9,420)$代入得：
$\begin{cases}2k+b=0 \\9k+b=420\end{cases}$
解得 $k=60,b=-120$，因此线段DF的函数表达式为 $y=60x-120$，自变量x的取值范围是 $2≤ x≤9$。
(3) 分三段讨论：
① 当 $0≤ x≤2$ 时，$y_1=420-70x$，$y_2=120-60x$，由题意列方程：
$420-70x+120-60x=360$
整理得 $13x=18$，解得 $x=\frac{18}{13}$，符合取值范围。
② 当 $2＜x≤6$ 时，$y_1=420-70x$，$y_2=60x-120$，由题意列方程：
$420-70x+60x-120=360$
整理得 $-x=60$，解得 $x=-6$，不符合取值范围，舍去。
③ 当 $6＜x≤9$ 时，甲车已到达B网点，$y_1=0$，$y_2=60x-120$，由题意列方程：
$60x-120=360$
解得 $x=8$，符合取值范围。
综上，两车距B网点路程之和为360km时，乙车的行驶时间为$\frac{18}{13}\ \mathrm{h}$或$8\ \mathrm{h}$。
【答案】
(1) $70$
(2) $y=60x-120\ (2≤ x≤9)$
(3) $\frac{18}{13}\ \mathrm{h}$或$8\ \mathrm{h}$
【知识点】
一次函数实际应用；待定系数法求解析式；分段函数讨论
【点评】
本题结合生活实际场景考查一次函数在行程问题中的应用，解题核心是准确读取图象的路程、时间信息，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，求解路程和的问题时要注意根据不同行驶阶段的函数关系分类讨论，避免漏解、错解。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问：观察图象可知，甲车从距离B网点420km的A网点出发，6小时后到达B网点，根据“速度=路程÷时间”即可直接求出甲车速度。
2. 第(2)问：先根据乙车前2小时行驶120km的信息求出乙车速度，再计算乙车从B网点行驶到A网点的总时长，得到F点坐标，结合D点坐标(2,0)，用待定系数法即可求出线段DF的函数表达式，自变量范围由D、F两点的横坐标确定。
3. 第(3)问：需分三个时间段讨论：①0≤x≤2时，乙车未到达B网点，y₁、y₂均为到B网点的剩余路程，两者相加等于360列方程求解；②2＜x≤6时，乙车驶过B网点往A行驶，y₂为离开B网点的路程，y₁仍为到B网点的剩余路程，相加等于360列方程，舍去不符合范围的解；③6＜x≤9时，甲车已到达B网点，y₁=0，仅y₂等于360列方程求解，最终汇总所有符合条件的解即可。
【解析】
(1) 由图象可知，甲车6小时行驶420km，因此甲车速度为 $420÷6=70\ \mathrm{km/h}$。
(2) 首先求乙车速度：乙车2小时行驶120km，速度为 $120÷2=60\ \mathrm{km/h}$。
乙车从B网点到A网点的路程为420km，所需时间为 $420÷60=7\ \mathrm{h}$，因此到达A网点的总时间为 $2+7=9\ \mathrm{h}$，即F点坐标为$(9,420)$。
设线段DF的函数表达式为 $y=kx+b\ (k≠0)$，将$D(2,0)$、$F(9,420)$代入得：
$\begin{cases}2k+b=0 \\9k+b=420\end{cases}$
解得 $k=60,b=-120$，因此线段DF的函数表达式为 $y=60x-120$，自变量x的取值范围是 $2≤ x≤9$。
(3) 分三段讨论：
① 当 $0≤ x≤2$ 时，$y_1=420-70x$，$y_2=120-60x$，由题意列方程：
$420-70x+120-60x=360$
整理得 $13x=18$，解得 $x=\frac{18}{13}$，符合取值范围。
② 当 $2＜x≤6$ 时，$y_1=420-70x$，$y_2=60x-120$，由题意列方程：
$420-70x+60x-120=360$
整理得 $-x=60$，解得 $x=-6$，不符合取值范围，舍去。
③ 当 $6＜x≤9$ 时，甲车已到达B网点，$y_1=0$，$y_2=60x-120$，由题意列方程：
$60x-120=360$
解得 $x=8$，符合取值范围。
综上，两车距B网点路程之和为360km时，乙车的行驶时间为$\frac{18}{13}\ \mathrm{h}$或$8\ \mathrm{h}$。
【答案】
(1) $70$
(2) $y=60x-120\ (2≤ x≤9)$
(3) $\frac{18}{13}\ \mathrm{h}$或$8\ \mathrm{h}$
【知识点】
一次函数实际应用；待定系数法求解析式；分段函数讨论
【点评】
本题结合生活实际场景考查一次函数在行程问题中的应用，解题核心是准确读取图象的路程、时间信息，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，求解路程和的问题时要注意根据不同行驶阶段的函数关系分类讨论，避免漏解、错解。
【难度系数】
0.6
