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1.(★)下列命题中,正确的个数有 （）
①1 的算术平方根是 1;②$(-1)^2$的算术平方根是－1;③一个数的算术平方根等于它本身,这个数只能是零;④－4 没有算术平方根.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①1 的算术平方根是 1;②$(-1)^2$的算术平方根是－1;③一个数的算术平方根等于它本身,这个数只能是零;④－4 没有算术平方根.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
逐个判断命题：①1的算术平方根是1，正确；②$(-1)^2=1$，其算术平方根是1，不是-1，错误；③算术平方根等于本身的数是0和1，错误；④负数没有算术平方根，正确。正确的命题共2个。
2.(★)下列说法中,不正确的是 （）
A.8 的立方根是 2
B.－8 的立方根是－2
C.0 的立方根是 0
D.$\sqrt[3]{a^2}$的立方根是$a^2$
A.8 的立方根是 2
B.－8 的立方根是－2
C.0 的立方根是 0
D.$\sqrt[3]{a^2}$的立方根是$a^2$
答案
D
解析
根据立方根的定义，逐一分析选项：A选项，2³=8，故8的立方根是2，正确；B选项，(-2)³=-8，故-8的立方根是-2，正确；C选项，0³=0，故0的立方根是0，正确；D选项，$\sqrt[3]{a^2}$的立方根为$\sqrt[3]{\sqrt[3]{a^2}}=a^{\frac{2}{3}}$，不是a²，错误。题目要求选不正确的，因此选D。
3. (★)$\sqrt{(-2)^2}$的化简结果是 （）
A.2
B.$-2$
C.2或$-2$
D.4
A.2
B.$-2$
C.2或$-2$
D.4
答案
A
解析
先计算(-2)²=4，再根据算术平方根的定义，√4表示4的算术平方根，结果为非负数，因此√4=2，对应选项A。
4.(★★)若$2m-4$与$3m-1$是同一个数的平方根,则$m$的值是 ()
A.$-3$
B.$1$
C.$-3$或$1$
D.$-1$
A.$-3$
B.$1$
C.$-3$或$1$
D.$-1$
答案
C
解析
根据平方根的性质，同一个数的平方根有两种情况：①两个平方根相等；②两个平方根互为相反数。
情况1：若$2m - 4 = 3m - 1$，解得$m = -3$；
情况2：若$2m - 4 + 3m - 1 = 0$，解得$5m = 5$，即$m = 1$；
综上，$m$的值为$-3$或$1$。
情况1：若$2m - 4 = 3m - 1$，解得$m = -3$；
情况2：若$2m - 4 + 3m - 1 = 0$，解得$5m = 5$，即$m = 1$；
综上，$m$的值为$-3$或$1$。
5. (★★★)下列说法:①如果$b$是$a$的三次幂,那么$b$的立方根是$a$;②任何正数都有两个立方根,它们互为相反数;③负数没有立方根;④如果$a$是$b$的立方根,那么$ab≥ 0$.其中正确的有 （）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
根据立方根的定义和性质分析：①若$b=a^3$，则$b$的立方根是$a$，正确；②正数只有1个立方根，错误；③负数有立方根，错误；④若$a$是$b$的立方根，则$b=a^3$，故$ab=a^4≥0$，正确。正确的有2个。
6. (★★★)若$\sqrt{x+3}=4$，则$\sqrt[3]{(x-10)^3}$的值是 （）
A.3
B.$-3$
C.$-9$
D.51
A.3
B.$-3$
C.$-9$
D.51
答案
A
解析
根据平方根的定义，由$\sqrt{x+3}=4$，两边平方得$x+3=16$，解得$x=13$。再根据立方根的性质$\sqrt[3]{a^3}=a$，可得$\sqrt[3]{(x-10)^3}=x-10$，代入$x=13$，得$13-10=3$，对应选项A。
7. (★★)若$\sqrt{x}=1.2$，则$x=$；若$\sqrt{x^2}=5$，则$x=$。
答案
解：
因为$\sqrt{x}=1.2$，两边同时平方，得$x=(1.2)^2=1.44$；
因为$\sqrt{x^2}=5$，根据平方根的性质，可知$|x|=5$，所以$x=\pm5$。
答案依次为：1.44；±5
因为$\sqrt{x}=1.2$，两边同时平方，得$x=(1.2)^2=1.44$；
因为$\sqrt{x^2}=5$，根据平方根的性质，可知$|x|=5$，所以$x=\pm5$。
答案依次为：1.44；±5
8. (★★) $\sqrt[3]{-27}=$ ，它的倒数是 ，它的绝对值是 .
答案
解：
因为$(-3)^3 = -27$，所以$\sqrt[3]{-27} = -3$；
$-3$的倒数是$\frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$；
$-3$的绝对值是$|-3| = 3$。
答案依次为：$-3$；$-\frac{1}{3}$；$3$。
因为$(-3)^3 = -27$，所以$\sqrt[3]{-27} = -3$；
$-3$的倒数是$\frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$；
$-3$的绝对值是$|-3| = 3$。
答案依次为：$-3$；$-\frac{1}{3}$；$3$。
9.(★★)$2\dfrac{1}{4}$的算术平方根是________，$(-8)^2$的平方根是________，$\sqrt{81}$的平方根是________.
答案
解：
1. 将带分数化为假分数：$2\dfrac{1}{4}=\dfrac{9}{4}$，算术平方根为非负平方根，故$\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{3}{2}$；
2. 计算$(-8)^2=64$，64的平方根为$\pm\sqrt{64}=\pm8$；
3. 先化简$\sqrt{81}=9$，9的平方根为$\pm\sqrt{9}=\pm3$。
答案依次为：$\dfrac{3}{2}$，$\pm8$，$\pm3$。
1. 将带分数化为假分数：$2\dfrac{1}{4}=\dfrac{9}{4}$，算术平方根为非负平方根，故$\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{3}{2}$；
2. 计算$(-8)^2=64$，64的平方根为$\pm\sqrt{64}=\pm8$；
3. 先化简$\sqrt{81}=9$，9的平方根为$\pm\sqrt{9}=\pm3$。
答案依次为：$\dfrac{3}{2}$，$\pm8$，$\pm3$。
10.(★★)某个数的立方根是它本身，这样的数有.
答案
解：设这个数为$ x $，根据题意得$\sqrt[3]{x} = x$，
两边同时立方，得$ x = x^3 $，
整理得$ x^3 - x = 0 $，
因式分解得$ x(x^2 - 1) = 0 $，即$ x(x - 1)(x + 1) = 0 $，
解得$ x = 0 $或$ x = 1 $或$ x = -1 $。
答：这样的数有$-1$，$0$，$1$。
两边同时立方，得$ x = x^3 $，
整理得$ x^3 - x = 0 $，
因式分解得$ x(x^2 - 1) = 0 $，即$ x(x - 1)(x + 1) = 0 $，
解得$ x = 0 $或$ x = 1 $或$ x = -1 $。
答：这样的数有$-1$，$0$，$1$。
11. (★★★)若$\sqrt{a+8}$与$(b-27)^2$互为相反数，则$\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}$的立方根为$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
解：因为$\sqrt{a+8}$与$(b-27)^2$互为相反数，所以$\sqrt{a+8} + (b-27)^2 = 0$。
又因为$\sqrt{a+8} ≥ 0$，$(b-27)^2 ≥ 0$，
所以$a + 8 = 0$，$b - 27 = 0$，
解得$a = -8$，$b = 27$。
则$\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{-8} - \sqrt[3]{27} = -2 - 3 = -5$，
所以$\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}$的立方根为$\sqrt[3]{-5}$，即$-\sqrt[3]{5}$。
又因为$\sqrt{a+8} ≥ 0$，$(b-27)^2 ≥ 0$，
所以$a + 8 = 0$，$b - 27 = 0$，
解得$a = -8$，$b = 27$。
则$\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{-8} - \sqrt[3]{27} = -2 - 3 = -5$，
所以$\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}$的立方根为$\sqrt[3]{-5}$，即$-\sqrt[3]{5}$。
