二、拓展性作业
1. 已知 $ 5^{a}=4 $，$ 5^{b}=25 $，$ 5^{c}=10 $，猜想 $ a $，$ b $，$ c $ 之间满足的等量关系，并说明你的理由。

1. 解：猜想：$ a + b = 2 c $。
理由：因为 $ 5 ^ { a + b } = 5 ^ { a } · 5 ^ { b } = 4 × 25 = 100 $，$ 5 ^ { 2 c } = ( 5 ^ { c } ) ^ { 2 } = 10 ^ { 2 } = 100 $，所以 $ a + b = 2 c $。

2. 问题：你能比较 $ 2024^{2025} $ 和 $ 2025^{2024} $ 的大小吗？
为了解决这个问题，我们写出它的一般形式，即比较 $ n^{n+1} $ 与 $ (n+1)^{n} $ 的大小( $ n $ 为正整数)，从分析 $ n=1 $，2，3，…的情形入手，通过归纳发现规律，猜想出结论。
(1)比较各组数的大小：① $ 1^{2} $ $ 2^{1} $；② $ 2^{3} $ $ 3^{2} $；③ $ 3^{4} $ $ 4^{3} $；④ $ 4^{5} $ $ 5^{4} $。
(2)由(1)猜想出 $ n^{n+1} $ 与 $ (n+1)^{n} $ 的大小关系是。
(3)由(2)可知：$ 2024^{2025} $ $ 2025^{2024} $。

2. (1) ① $ ＜ $ ② $ ＜ $ ③ $ ＞ $ ④ $ ＞ $
(2) 当 $ n = 1 $ 或 $ n = 2 $ 时，$ n ^ { n + 1 } ＜ ( n + 1 ) ^ { n } $；当 $ n ＞ 2 $ 时，$ n ^ { n + 1 } ＞ ( n + 1 ) ^ { n } $
(3) $ ＞ $

3. 规定两数 $ a $，$ b $ 之间的一种运算，记作 $ (a,b) $，如果 $ a^{c}=b $，那么 $ (a,b)=c $。例如，因为 $ 2^{3}=8 $，所以 $ (2,8)=3 $。
(1)根据上述规定填空：$ (5,125)= $，$ (-2,-32)= $；
(2)若 $ (4,5)=a $，$ (4,6)=b $，$ (4,30)=c $，试说明等式 $ a+b=c $ 成立的理由。

3. 解：(1) 3 5
(2) 因为 $ ( 4 , 5 ) = a $，$ ( 4 , 6 ) = b $，$ ( 4 , 30 ) = c $，
所以 $ 4 ^ { a } = 5 $，$ 4 ^ { b } = 6 $，$ 4 ^ { c } = 30 $，所以 $ 4 ^ { a } · 4 ^ { b } = 4 ^ { c } $，
所以 $ a + b = c $。

一、基础性作业
1. 下列计算正确的是()。
$A.(2b)^{3}· b^{3}=2b^{6}$　　
$B.(ab^{2})^{3}=a^{3}b^{6}$　　
$C.(a^{3})^{2}· a^{4}=a^{9} $　　
$D.(-2a)^{2}=-4a^{2}$　　

1. B

2. 若$(a^{m}b^{n})^{3}=a^{9}b^{15}$，则$m$，$n$的值分别为()。

A.$9$，$5$
B.$3$，$5$
C.$5$，$3$
D.$6$，$12$

2. B

3. 计算：
(1) $(2a)^{3}=$；
(2) $(-2a)^{3}=$；
(3) $(a^{2}b)^{3}=$；
(4) $(a^{3}b^{n})^{2}=$。

3. (1) $ 8a^{3} $ (2) $ -8a^{3} $ (3) $ a^{6}b^{3} $ (4) $ a^{6}b^{2n} $