13.(★★★)【问题提出】
学习了等腰三角形的性质后,课本上有这
样一道习题,要求证明等腰三角形底边上的一
点到两腰的距离和为定值,我们可以利用垂线
段当作三角形的高,利用等面积法进行证明。
我们继续对“等腰三角形底边延长线上的一点
到腰的距离与腰的关系”进行研究。
【初步思考】

我们不妨将问题用符号语
言表示为:如图,在等腰$△ ABC$
中,$AB=AC$,点$D$在直线$BC$
上,分为以下三种情况进行研
究:点$D$在底边$BC$上;点$D$在$BC$的延长线
上;点$D$在$CB$的延长线上。
【深入探究】
第一种情况:若$D$是底边$BC$上的任意一
点,$DE⊥AB$于点$E$,$DF⊥AC$于点$F$,求证:
$DE+DF$等于一腰上的高。
第二种情况:若$D$是底边$CB$延长线上的
任意一点,$DE⊥AB$交$AB$的延长线于点$E$,
$DF⊥AC$于点$F$,$DE+DF$还为定值吗? 如果不
为定值,探究$DE,DF$与等腰三角形一腰上的
高的关系。
第三种情况:若$D$是底边$BC$延长线上的
任意一点,$DE⊥AB$于点$E$,$DF⊥AC$交$AC$的
延长线于点$F$,$DE+DF$还为定值吗? 如果不
为定值,探究$DE,DF$与等腰三角形一腰上的
高的关系。
请完成第一种情况的证明,然后在第二种
情况和第三种情况中选择一种情况,画出图
形,并完成证明。
【结论】
根据你探究的结果,你能归纳出等腰三角
形的一个性质吗?

第一种情况证明：
证明：过点$ C $作$ CG ⊥ AB $于点$ G $，连接$ AD $。
因为$ S_{△ ABC} = S_{△ ABD} + S_{△ ACD} $，
且$ S_{△ ABD} = \frac{1}{2}AB · DE $，$ S_{△ ACD} = \frac{1}{2}AC · DF $，$ S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AB · CG $，
又$ AB = AC $，
所以$ \frac{1}{2}AB · CG = \frac{1}{2}AB · DE + \frac{1}{2}AB · DF $，
两边同时除以$ \frac{1}{2}AB $，得$ CG = DE + DF $，
即$ DE + DF $等于一腰上的高。
---
第二种情况（点$ D $在$ CB $延长线上）：
画图：等腰$ △ ABC $中，$ AB=AC $，点$ D $在$ CB $的延长线上，$ DE ⊥ AB $交$ AB $的延长线于$ E $，$ DF ⊥ AC $于$ F $，过$ C $作$ CG ⊥ AB $于$ G $。
证明：连接$ AD $，
因为$ S_{△ ACD} = S_{△ ABD} + S_{△ ABC} $，
且$ S_{△ ACD} = \frac{1}{2}AC · DF $，$ S_{△ ABD} = \frac{1}{2}AB · DE $，$ S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AB · CG $，
又$ AB = AC $，
所以$ \frac{1}{2}AB · DF = \frac{1}{2}AB · DE + \frac{1}{2}AB · CG $，
两边同时除以$ \frac{1}{2}AB $，得$ DF = DE + CG $，
即$ DF - DE $等于一腰上的高，$ DE + DF $不为定值。
---
结论：
等腰三角形底边所在直线上的一点到两腰的距离：当点在底边上时，距离之和等于一腰上的高；当点在底边的延长线上时，距离之差等于一腰上的高。

14.(★★)如图,$∠A+$

$∠B+∠C+∠D+∠E+$
$∠F+∠G$的度数为
°。

解：连接CF，
∵∠D + ∠G + ∠DGC = ∠DCF + ∠GFC + ∠FHC，
又∵∠DGC = ∠FHC，
∴∠D + ∠G = ∠DCF + ∠GFC，
∴∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F + ∠G
= ∠A + ∠B + ∠BCD + ∠DCF + ∠GFC + ∠EFC + ∠E
= ∠A + ∠B + ∠BCF + ∠CFE + ∠E，
∵五边形ABCFE的内角和为$(5-2)×180°=540°$，
∴∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F + ∠G = 540°。