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1. 下列现象中,属于平移的有(填序号)。
①水平拉动抽屉的过程;②火箭从点火开始垂直上升;③小朋友荡秋千;④看到平面镜中自己的像;⑤汽车雨刮器的运动。
①水平拉动抽屉的过程;②火箭从点火开始垂直上升;③小朋友荡秋千;④看到平面镜中自己的像;⑤汽车雨刮器的运动。
答案
①②
解析
首先明确平移的定义：在平面内，将一个图形沿某一固定方向移动一定距离，图形的形状、大小、运动方向都不发生改变，这样的图形运动叫做平移。逐个分析各现象：
①水平拉动抽屉的过程，抽屉沿水平方向移动，形状、大小、方向均未改变，符合平移特征，属于平移；
②火箭从点火开始垂直上升，火箭沿竖直方向向上移动，形状、大小、方向均未改变，符合平移特征，属于平移；
③小朋友荡秋千是绕固定支点做圆弧摆动，属于旋转，不属于平移；
④平面镜中成像属于轴对称变换，没有发生图形沿固定方向的整体位移，不属于平移；
⑤汽车雨刮器的运动是绕固定轴转动，属于旋转，不属于平移。
综上符合平移定义的是①②。
①水平拉动抽屉的过程，抽屉沿水平方向移动，形状、大小、方向均未改变，符合平移特征，属于平移；
②火箭从点火开始垂直上升，火箭沿竖直方向向上移动，形状、大小、方向均未改变，符合平移特征，属于平移；
③小朋友荡秋千是绕固定支点做圆弧摆动，属于旋转，不属于平移；
④平面镜中成像属于轴对称变换，没有发生图形沿固定方向的整体位移，不属于平移；
⑤汽车雨刮器的运动是绕固定轴转动，属于旋转，不属于平移。
综上符合平移定义的是①②。
2.某大厅重新装修后,计划在主楼梯上铺设一种红地毯。已知这种地毯每平方米的售价为50元,主楼梯道宽为2 m,其侧面如图所示。买地毯至少需要元。
答案
1000
解析
利用平移的性质，将所有水平方向的台阶面向下平移，可得所有水平台阶的长度之和等于水平总长度6m；将所有竖直方向的台阶面向左平移，可得所有竖直台阶的高度之和等于竖直总高度4m。因此地毯的总长度为 $6 + 4 = 10\ \mathrm{m}$。
已知主楼梯道宽为2m，因此地毯的总面积为 $10 × 2 = 20\ \mathrm{m}^2$。
结合地毯每平方米售价为50元，可得买地毯的总费用为 $20 × 50 = 1000$ 元。
已知主楼梯道宽为2m，因此地毯的总面积为 $10 × 2 = 20\ \mathrm{m}^2$。
结合地毯每平方米售价为50元，可得买地毯的总费用为 $20 × 50 = 1000$ 元。
3.如图,在平面直角坐标系中,动点 P 从原点 O 出发,水平向左平移 1 个单位长度,再竖直向下平移 2 个单位长度得到点 $ P_1(-1,-2) $;接着水平向右平移 2 个单位长度,再竖直向上平移 4 个单位长度得到点 $ P_2 $;接着水平向左平移 3 个单位长度,再竖直向下平移 6 个单位长度得到点 $ P_3 $;接着水平向右平移 4 个单位长度,再竖直向上平移 8 个单位长度得到点 $ P_4 $……按此做法进行下去,则点 $ P_{2026} $的坐标为。
答案
$(1013,2026)$
解析
我们先依次计算前几个点的坐标，寻找坐标变化规律：
1. 已知$P_1(-1,-2)$：
点$P_2$由$P_1$向右平移2个单位、向上平移4个单位得到，因此$x=-1+2=1$，$y=-2+4=2$，即$P_2(1,2)$；
点$P_3$由$P_2$向左平移3个单位、向下平移6个单位得到，因此$x=1-3=-2$，$y=2-6=-4$，即$P_3(-2,-4)$；
点$P_4$由$P_3$向右平移4个单位、向上平移8个单位得到，因此$x=-2+4=2$，$y=-4+8=4$，即$P_4(2,4)$；
2. 总结偶数下标的点的规律：
设偶数下标$n=2k$（$k$为正整数）：
水平方向总位移：$(-1+2)+(-3+4)+\dots+[-(2k-1)+2k] = k$，即横坐标为$k$；
竖直方向总位移：$(-2+4)+(-6+8)+\dots+[-2(2k-1)+2·2k] = 2k$，即纵坐标为$2k$；
3. 代入计算$P_{2026}$：
2026是偶数，令$2k=2026$，解得$k=1013$，因此横坐标为1013，纵坐标为$2×1013=2026$。
1. 已知$P_1(-1,-2)$：
点$P_2$由$P_1$向右平移2个单位、向上平移4个单位得到，因此$x=-1+2=1$，$y=-2+4=2$，即$P_2(1,2)$；
点$P_3$由$P_2$向左平移3个单位、向下平移6个单位得到，因此$x=1-3=-2$，$y=2-6=-4$，即$P_3(-2,-4)$；
点$P_4$由$P_3$向右平移4个单位、向上平移8个单位得到，因此$x=-2+4=2$，$y=-4+8=4$，即$P_4(2,4)$；
2. 总结偶数下标的点的规律：
设偶数下标$n=2k$（$k$为正整数）：
水平方向总位移：$(-1+2)+(-3+4)+\dots+[-(2k-1)+2k] = k$，即横坐标为$k$；
竖直方向总位移：$(-2+4)+(-6+8)+\dots+[-2(2k-1)+2·2k] = 2k$，即纵坐标为$2k$；
3. 代入计算$P_{2026}$：
2026是偶数，令$2k=2026$，解得$k=1013$，因此横坐标为1013，纵坐标为$2×1013=2026$。
4. 如图,在平面直角坐标系中,已知点$A(0,1),B(2,0),C(4,3)$。
(1)在平面直角坐标系中画出$△ ABC$,并求出$△ ABC$的面积。
(2)若点$D$与点$C$关于原点对称,则点$D$的坐标为________。
(3)已知$P$为$x$轴上的一个动点,当$|PC-PA|$的值最大时,在图中画出此时点$P$的位置,并直接写出点$P$的坐标。
(1)在平面直角坐标系中画出$△ ABC$,并求出$△ ABC$的面积。
(2)若点$D$与点$C$关于原点对称,则点$D$的坐标为________。
(3)已知$P$为$x$轴上的一个动点,当$|PC-PA|$的值最大时,在图中画出此时点$P$的位置,并直接写出点$P$的坐标。
答案
(1) 绘制出的△ABC符合要求，△ABC的面积为$\boldsymbol{4}$；
(2) $\boldsymbol{(-4,-3)}$；
(3) 延长AC交x轴得到点P，点P的坐标为$\boldsymbol{(-2,0)}$。
(2) $\boldsymbol{(-4,-3)}$；
(3) 延长AC交x轴得到点P，点P的坐标为$\boldsymbol{(-2,0)}$。
解析
(1) 先在给定平面直角坐标系中描出点A(0,1)、B(2,0)、C(4,3)，顺次连接三点即可得到△ABC。使用割补法计算面积：构造完全包含△ABC的长为4、高为3的矩形，矩形总面积为$4×3=12$，减去矩形内不属于△ABC的三个直角三角形的面积：
$S_1=\frac{1}{2}×2×1=1$，$S_2=\frac{1}{2}×2×3=3$，$S_3=\frac{1}{2}×4×2=4$，
因此$S_{△ ABC}=12-1-3-4=4$。
(2) 根据关于原点对称的点的坐标性质：两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数，已知C(4,3)，可得点D的坐标。
(3) 根据三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，对x轴上任意动点P，都有$|PC-PA|\le AC$，当且仅当A、P、C三点共线时，$|PC-PA|=AC$，取得最大值。设直线AC的解析式为$y=kx+b$，将A(0,1)、C(4,3)代入，解得$k=\frac{1}{2}$，$b=1$，即直线AC解析式为$y=\frac{1}{2}x+1$，令$y=0$解得$x=-2$，该交点即为所求点P。
$S_1=\frac{1}{2}×2×1=1$，$S_2=\frac{1}{2}×2×3=3$，$S_3=\frac{1}{2}×4×2=4$，
因此$S_{△ ABC}=12-1-3-4=4$。
(2) 根据关于原点对称的点的坐标性质：两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数，已知C(4,3)，可得点D的坐标。
(3) 根据三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，对x轴上任意动点P，都有$|PC-PA|\le AC$，当且仅当A、P、C三点共线时，$|PC-PA|=AC$，取得最大值。设直线AC的解析式为$y=kx+b$，将A(0,1)、C(4,3)代入，解得$k=\frac{1}{2}$，$b=1$，即直线AC解析式为$y=\frac{1}{2}x+1$，令$y=0$解得$x=-2$，该交点即为所求点P。
