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1. $ 2^{-3} ÷ 2^0 = $(
A.$ 2^{-3} $
B.$ 2^3 $
C.$ 2^2 $
D.1
A
)A.$ 2^{-3} $
B.$ 2^3 $
C.$ 2^2 $
D.1
答案
1. A
解析
$2^{-3} ÷ 2^0 = 2^{-3-0} = 2^{-3}$
A
A
2. 若 $ 2^m · 4^{2 - m} = 1 $，则 $ m $ 的值为(
A.0
B.1
C.2
D.4
D
)A.0
B.1
C.2
D.4
答案
2. D
解析
$2^m · 4^{2 - m} = 2^m · (2^2)^{2 - m} = 2^m · 2^{4 - 2m} = 2^{m + 4 - 2m} = 2^{4 - m}$
因为$2^{4 - m} = 1$，而$2^0 = 1$，所以$4 - m = 0$，解得$m = 4$
D
因为$2^{4 - m} = 1$，而$2^0 = 1$，所以$4 - m = 0$，解得$m = 4$
D
3. $ (mn) ÷ (mn)^0 = $(
A.1
B.$ mn $
C.$ (mn)^{-1} $
D.$ (mn)^2 $
B
)A.1
B.$ mn $
C.$ (mn)^{-1} $
D.$ (mn)^2 $
答案
3. B
解析
$(mn) ÷ (mn)^0 = (mn) ÷ 1 = mn$，答案选B。
4. 如果 $ (x + 9)^{-3} $ 有意义，那么 $ x $ 应满足的条件是
$ x \ne -9 $
；若 $ (a - b)^0 $ 有意义，则 $ a $，$ b $ 应满足的条件是$ a \ne b $
。答案
4. $ x \ne -9 $ $ a \ne b $
解析
【分析】
要使负整数指数幂和零指数幂有意义，需明确它们的定义中对底数的限制：负整数指数幂$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），零指数幂$a^0=1$（$a≠0$），两者的底数均不能为0，否则式子无意义。因此只需分别保证两个式子的底数不为0，即可求出对应的条件。
【解析】
1. 对于$(x + 9)^{-3}$：根据负整数指数幂的定义，需底数$x + 9≠0$，解得$x≠-9$；
2. 对于$(a - b)^0$：根据零指数幂的定义，需底数$a - b≠0$，解得$a≠b$。
【答案】
$x≠-9$；$a≠b$
【知识点】
负整数指数幂有意义的条件，零指数幂有意义的条件
【点评】
本题考查负整数指数幂和零指数幂有意义的基本条件，属于基础概念题，直接考查对指数幂定义中底数限制的掌握，是初中代数的核心基础知识点应用，难度较低。
【难度系数】
0.7
要使负整数指数幂和零指数幂有意义，需明确它们的定义中对底数的限制：负整数指数幂$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），零指数幂$a^0=1$（$a≠0$），两者的底数均不能为0，否则式子无意义。因此只需分别保证两个式子的底数不为0，即可求出对应的条件。
【解析】
1. 对于$(x + 9)^{-3}$：根据负整数指数幂的定义，需底数$x + 9≠0$，解得$x≠-9$；
2. 对于$(a - b)^0$：根据零指数幂的定义，需底数$a - b≠0$，解得$a≠b$。
【答案】
$x≠-9$；$a≠b$
【知识点】
负整数指数幂有意义的条件，零指数幂有意义的条件
【点评】
本题考查负整数指数幂和零指数幂有意义的基本条件，属于基础概念题，直接考查对指数幂定义中底数限制的掌握，是初中代数的核心基础知识点应用，难度较低。
【难度系数】
0.7
5. $ 2026^0 - 2^{-1} = $
$ \dfrac{1}{2} $
。答案
5. $ \dfrac{1}{2} $
解析
$2026^0 - 2^{-1} = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$
6. 已知 $ 3^m = 10 $，则 $ 3^{-2m} = $
$ \dfrac{1}{100} $
。答案
6. $ \dfrac{1}{100} $
解析
因为$3^m = 10$，所以$3^{-2m}=(3^m)^{-2}=10^{-2}=\dfrac{1}{10^2}=\dfrac{1}{100}$。
$\dfrac{1}{100}$
$\dfrac{1}{100}$
7. 将下列各式写成只含有正整数指数幂的形式：
(1) $ a^{-2}bc^{-1} $；
(2) $ 2(a - 1)^{-2}c^{-2} $；
(3) $ \frac{2}{3}(x - y)^{-3}(y - z)^2 $；
(4) $ -5x^2(y - z)^{-2} $。
能力提高
(1) $ a^{-2}bc^{-1} $；
(2) $ 2(a - 1)^{-2}c^{-2} $；
(3) $ \frac{2}{3}(x - y)^{-3}(y - z)^2 $；
(4) $ -5x^2(y - z)^{-2} $。
能力提高
答案
7. (1) $ \dfrac{b}{a^2c} $ (2) $ \dfrac{2}{(a - 1)^2c^2} $ (3) $ \dfrac{2(y - z)^2}{3(x - y)^3} $ (4) $ \dfrac{-5x^2}{(y - z)^2} $
解析
(3) $\dfrac{2(y - z)^2}{3(x - y)^3}$
8. 计算：
(1) $ a^7 · a^{-2} $；
(2) $ (a^{-2})^{-4} $；
(3) $ a^2b^2(a^{-2}b)^{-2} $；
(4) $ (\frac{2a}{b})^{-2} $。
(1) $ a^7 · a^{-2} $；
(2) $ (a^{-2})^{-4} $；
(3) $ a^2b^2(a^{-2}b)^{-2} $；
(4) $ (\frac{2a}{b})^{-2} $。
答案
8. (1) $ a^5 $ (2) $ a^8 $ (3) $ a^6 $ (4) $ \dfrac{b^2}{4a^2} $
解析
(1) $a^7 · a^{-2} = a^{7 + (-2)} = a^5$
(2) $(a^{-2})^{-4} = a^{(-2) × (-4)} = a^8$
(3) $a^2b^2(a^{-2}b)^{-2} = a^2b^2 · a^{(-2) × (-2)}b^{-2} = a^2b^2 · a^4b^{-2} = a^{2 + 4}b^{2 + (-2)} = a^6$
(4) $(\dfrac{2a}{b})^{-2} = \dfrac{(2a)^{-2}}{b^{-2}} = \dfrac{b^2}{(2a)^2} = \dfrac{b^2}{4a^2}$
(2) $(a^{-2})^{-4} = a^{(-2) × (-4)} = a^8$
(3) $a^2b^2(a^{-2}b)^{-2} = a^2b^2 · a^{(-2) × (-2)}b^{-2} = a^2b^2 · a^4b^{-2} = a^{2 + 4}b^{2 + (-2)} = a^6$
(4) $(\dfrac{2a}{b})^{-2} = \dfrac{(2a)^{-2}}{b^{-2}} = \dfrac{b^2}{(2a)^2} = \dfrac{b^2}{4a^2}$
9. 已知 $ 2^a = 2 $，$ 2^b = \frac{1}{2} $，求 $ 27^a ÷ 3^b $ 的值。
答案
9. 解:因为 $ 2^a = 2 $，所以 $ a = 1 $。
因为 $ 2^b = \dfrac{1}{2} $，所以 $ b = -1 $。
故 $ 27^a ÷ 3^b = 27^1 ÷ 3^{-1} = 27 ÷ \dfrac{1}{3} = 27 × 3 = 81 $。
因为 $ 2^b = \dfrac{1}{2} $，所以 $ b = -1 $。
故 $ 27^a ÷ 3^b = 27^1 ÷ 3^{-1} = 27 ÷ \dfrac{1}{3} = 27 × 3 = 81 $。
解析
【分析】先根据已知的指数等式，利用指数的定义求出$a$和$b$的值；再将所求式子代入$a$、$b$的值，结合负整数指数幂的运算规则计算结果。具体步骤：1. 由$2^a=2$求出$a$，由$2^b=\frac{1}{2}$求出$b$；2. 把$a$、$b$代入$27^a ÷ 3^b$，按运算规则计算。
【解析】解：因为$2^a = 2 = 2^1$，所以$a = 1$；因为$2^b = \frac{1}{2} = 2^{-1}$，所以$b = -1$。则$27^a ÷ 3^b = 27^1 ÷ 3^{-1} = 27 ÷ \frac{1}{3} = 27 × 3 = 81$。
【答案】81
【知识点】指数运算、负整数指数幂
【点评】本题是指数运算的基础题，核心是利用指数定义求参数，再代入计算，考查学生对基本指数运算规则的掌握，步骤清晰易懂。
【难度系数】0.8
【解析】解：因为$2^a = 2 = 2^1$，所以$a = 1$；因为$2^b = \frac{1}{2} = 2^{-1}$，所以$b = -1$。则$27^a ÷ 3^b = 27^1 ÷ 3^{-1} = 27 ÷ \frac{1}{3} = 27 × 3 = 81$。
【答案】81
【知识点】指数运算、负整数指数幂
【点评】本题是指数运算的基础题，核心是利用指数定义求参数，再代入计算，考查学生对基本指数运算规则的掌握，步骤清晰易懂。
【难度系数】0.8
