引入零指数幂、负整数指数幂后，正整数指数幂的运算性质在指数是整数时仍然适用，即 $ a^m · a^n = $，$ a^m ÷ a^n = $，$ (a^m)^n = $，$ (ab)^n = $($ a ≠ 0 $，$ m $，$ n $ 都是)。

知识点 $ a^{m + n} $ $ a^{m - n} $ $ a^{mn} $ $ a^nb^n $ 整数

【分析】本题考查整数指数幂的运算性质，需明确引入零指数幂、负整数指数幂后，正整数指数幂的运算性质可扩展到整数指数，回忆各幂运算对应的公式，同时注意底数的限制条件及指数的范围。
【解析】根据整数指数幂的运算规则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，故$a^m·a^n=a^{m+n}$；同底数幂相除，底数不变，指数相减，故$a^m÷a^n=a^{m-n}$；幂的乘方，底数不变，指数相乘，故$(a^m)^n=a^{mn}$；积的乘方，等于各因式分别乘方再相乘，故$(ab)^n=a^nb^n$；其中要求$a≠0$，m、n都是整数。
【答案】$a^{m+n}$；$a^{m-n}$；$a^{mn}$；$a^nb^n$；整数
【知识点】整数指数幂运算性质
【点评】本题为基础概念题，考察整数指数幂运算性质的记忆，是幂运算的核心基础内容，难度较低。
【难度系数】0.9

例 1 计算：
(1) $ x^7 ÷ x^{-2} · x^{-3} $；
(2) $ (x^{-2})^3 ÷ (x^2)^{-4} $。

(1)
$x^7 ÷ x^{-2} · x^{-3}$
$= x^{7 - (-2)} · x^{-3}$
$= x^{7 + 2} · x^{-3}$
$= x^9 · x^{-3}$
$= x^{9 + (-3)}$
$= x^6$
(2)
$(x^{-2})^3 ÷ (x^2)^{-4}$
$= x^{-2×3} ÷ x^{2×(-4)}$
$= x^{-6} ÷ x^{-8}$
$= x^{-6 - (-8)}$
$= x^{-6 + 8}$
$= x^2$

【分析】本题考查整数指数幂的运算，解题思路：①牢记整数指数幂的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；②运算时先处理幂的乘方，再按从左到右顺序计算乘除，重点注意指数的符号，避免运算错误。
【解析】
(1) $x^7 ÷ x^{-2} · x^{-3}$
$= x^{7 - (-2)} · x^{-3}$（同底数幂相除，底数不变，指数相减）
$= x^{7 + 2} · x^{-3}$
$= x^9 · x^{-3}$
$= x^{9 + (-3)}$（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）
$= x^6$
(2) $(x^{-2})^3 ÷ (x^2)^{-4}$
$= x^{-2×3} ÷ x^{2×(-4)}$（幂的乘方，底数不变，指数相乘）
$= x^{-6} ÷ x^{-8}$
$= x^{-6 - (-8)}$（同底数幂相除，底数不变，指数相减）
$= x^{-6 + 8}$
$= x^2$
【答案】(1) $x^6$；(2) $x^2$
【知识点】整数指数幂运算，同底数幂的乘除，幂的乘方
【点评】本题是整数指数幂的基础运算题，核心考查对幂的相关运算法则的掌握，运算时需注意指数符号的处理，属于学生应熟练掌握的基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8

【变式训练 1】计算：
(1) $ 3^4 × 3^{-4} ÷ 3^2 $；
(2) $ 2^{-6} × (-4)^3 $。

变式训练 1 (1) $ \dfrac{1}{9} $ (2) $ -1 $

(1) $3^4 × 3^{-4} ÷ 3^2 = 3^{4 + (-4) - 2} = 3^{-2} = \dfrac{1}{3^2} = \dfrac{1}{9}$
(2) $2^{-6} × (-4)^3 = 2^{-6} × (-2^2)^3 = 2^{-6} × (-2^6) = -2^{-6 + 6} = -2^0 = -1$

例 2 计算：$ (-2)^{-2} × (\frac{1}{2})^{-3} ÷ 2^0 × (-\frac{1}{2})^4 $。

【解】原式$=\frac{1}{(-2)^2}×\frac{1}{(\frac{1}{2})^3}÷1×(-\frac{1}{2})^4$
$=\frac{1}{4}×8÷1×\frac{1}{16}$
$=2×\frac{1}{16}$
$=\frac{1}{8}$

【分析】这道题是含负整数指数幂、零指数幂的有理数混合运算，解题思路是：先根据负整数指数幂法则（$a^{-p}=\frac{1}{a^p},a≠0$）和零指数幂法则（$a^0=1,a≠0$），将所有指数幂转化为正整数指数幂，再按照从左到右的顺序依次进行乘除运算，最后化简得到结果。
【解析】原式$=\frac{1}{(-2)^2}×\frac{1}{(\frac{1}{2})^3}÷1×(-\frac{1}{2})^4$
$=\frac{1}{4}×8÷1×\frac{1}{16}$
$=2×\frac{1}{16}$
$=\frac{1}{8}$
【答案】$\frac{1}{8}$
【知识点】负整数指数幂、零指数幂、有理数的乘除运算
【点评】本题考查指数幂的基本运算规则，核心是正确运用负整数指数幂和零指数幂的定义转化式子，再按运算顺序计算，属于基础运算题，难度较低。
【难度系数】0.6

【变式训练 2】计算：$ 3^{-2} × (-\frac{1}{3})^{-3} + 5^{-4} × 0.2^{-5} $。
同步训练
基础巩固

变式训练 2 2

$3^{-2} × (-\frac{1}{3})^{-3} + 5^{-4} × 0.2^{-5}$
$=\frac{1}{3^{2}} × \frac{1}{(-\frac{1}{3})^{3}} + \frac{1}{5^{4}} × \frac{1}{0.2^{5}}$
$=\frac{1}{9} × (-27) + \frac{1}{5^{4}} × 5^{5}$
$=-3 + 5$
$=2$