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7. 如图，CD是△ABC的中线，E，F分别是AC，DC的中点.若EF＝3，则BD的长为（
A.6
B.5
C.4
D.3
A
）A.6
B.5
C.4
D.3
答案
7.A
解析
【分析】
解题时首先观察线段EF的端点位置：E、F分别是AC、DC的中点，可判断EF是△ADC的中位线，结合三角形中位线定理即可求出AD的长度；再根据CD是△ABC的中线，可知D是AB中点，BD与AD长度相等，即可求出BD的长。
【解析】
1. 求AD的长度：
在△ADC中，
∵E是AC的中点，F是DC的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，可得$EF=\frac{1}{2}AD$。
已知$EF=3$，代入得$AD=2EF=2×3=6$。
2. 求BD的长度：
∵CD是△ABC的中线，
∴D是AB的中点，即$BD=AD$，
∴$BD=6$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形中位线定理，三角形中线的定义
【点评】
本题是基础几何题，解题核心是先识别出三角形的中位线，利用中位线性质求出相关线段长度，再结合中线的性质得到所求线段长度，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察线段EF的端点位置：E、F分别是AC、DC的中点，可判断EF是△ADC的中位线，结合三角形中位线定理即可求出AD的长度；再根据CD是△ABC的中线，可知D是AB中点，BD与AD长度相等，即可求出BD的长。
【解析】
1. 求AD的长度：
在△ADC中，
∵E是AC的中点，F是DC的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，可得$EF=\frac{1}{2}AD$。
已知$EF=3$，代入得$AD=2EF=2×3=6$。
2. 求BD的长度：
∵CD是△ABC的中线，
∴D是AB的中点，即$BD=AD$，
∴$BD=6$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形中位线定理，三角形中线的定义
【点评】
本题是基础几何题，解题核心是先识别出三角形的中位线，利用中位线性质求出相关线段长度，再结合中线的性质得到所求线段长度，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
8.如图,将长方形纸条ABCD折叠,折痕为EF,折叠后点C,D分别落在点$C'$,$D'$处,$D'E$与BF交于点G.若$∠ BGD' = 30°$,则$∠ α$的度数是 (
A.$30°$
B.$45°$
C.$74°$
D.$75°$
D
)A.$30°$
B.$45°$
C.$74°$
D.$75°$
答案
8.D
解析
【分析】
解题时首先利用长方形对边平行的性质，得到内错角相等的关系；再结合折叠的性质，明确折叠前后对应角相等，折痕平分折叠形成的角；最后结合对顶角相等和三角形内角和定理，建立角度之间的数量关系，列式计算即可求出∠α的度数。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AD//BC，
∴ ∠DEF = ∠EFB（两直线平行，内错角相等）。
由折叠的性质可得：∠D'EF = ∠DEF = α，
∴ ∠EFB = α。
∵ ∠BGD'与∠EGF是对顶角，
∴ ∠EGF = ∠BGD' = 30°。
在△EGF中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠GEF + ∠EFG + ∠EGF = 180°，
即 $α + α + 30° = 180°$，
解得 $α = 75°$。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心考察折叠变换和平行线、三角形相关性质的结合应用，解题的关键是找准折叠前后相等的角，结合平行线的角关系建立等式求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用长方形对边平行的性质，得到内错角相等的关系；再结合折叠的性质，明确折叠前后对应角相等，折痕平分折叠形成的角；最后结合对顶角相等和三角形内角和定理，建立角度之间的数量关系，列式计算即可求出∠α的度数。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AD//BC，
∴ ∠DEF = ∠EFB（两直线平行，内错角相等）。
由折叠的性质可得：∠D'EF = ∠DEF = α，
∴ ∠EFB = α。
∵ ∠BGD'与∠EGF是对顶角，
∴ ∠EGF = ∠BGD' = 30°。
在△EGF中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠GEF + ∠EFG + ∠EGF = 180°，
即 $α + α + 30° = 180°$，
解得 $α = 75°$。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心考察折叠变换和平行线、三角形相关性质的结合应用，解题的关键是找准折叠前后相等的角，结合平行线的角关系建立等式求解。
【难度系数】
0.7
9.若函数$y=(m^2 - 4)x^2 + (m - 2)x + m + 2$是以$x$为自变量的一次函数，则$m=$
-2
。答案
9.-2
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确一次函数的定义：形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数，核心特征是自变量x的最高次数为1，且一次项系数不能为0。因此我们需要满足两个条件：一是原函数中的二次项系数为0，消去二次项；二是剩余的一次项系数不为0，保证是一次函数，结合两个条件求解m的取值即可。
【解析】
∵ 函数$y=(m^2 - 4)x^2 + (m - 2)x + m + 2$是一次函数
∴ 需同时满足以下两个条件：
1. 二次项系数为0，即：
$m^2 - 4 = 0$
解得 $m = 2$ 或 $m = -2$
2. 一次项系数不为0，即：
$m - 2 ≠ 0$
解得 $m ≠ 2$
综上，同时满足两个条件的m值为$m=-2$
【答案】
-2
【知识点】
一次函数的定义；一元二次方程求解；一元一次不等式求解
【点评】
本题是一次函数定义的基础应用题型，解题的核心是抓住一次函数“最高次项次数为1、一次项系数不为0”的特征，易错点是容易忽略一次项系数不为0的限制条件，错误得出m=2的答案。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需明确一次函数的定义：形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数，核心特征是自变量x的最高次数为1，且一次项系数不能为0。因此我们需要满足两个条件：一是原函数中的二次项系数为0，消去二次项；二是剩余的一次项系数不为0，保证是一次函数，结合两个条件求解m的取值即可。
【解析】
∵ 函数$y=(m^2 - 4)x^2 + (m - 2)x + m + 2$是一次函数
∴ 需同时满足以下两个条件：
1. 二次项系数为0，即：
$m^2 - 4 = 0$
解得 $m = 2$ 或 $m = -2$
2. 一次项系数不为0，即：
$m - 2 ≠ 0$
解得 $m ≠ 2$
综上，同时满足两个条件的m值为$m=-2$
【答案】
-2
【知识点】
一次函数的定义；一元二次方程求解；一元一次不等式求解
【点评】
本题是一次函数定义的基础应用题型，解题的核心是抓住一次函数“最高次项次数为1、一次项系数不为0”的特征，易错点是容易忽略一次项系数不为0的限制条件，错误得出m=2的答案。
【难度系数】
0.7
10.《九章算术》是中国古代重要的数学著作，书中有一道题，其大意为：现有走路慢的人先走10里，令走路快的人去追，追到100里时，已经领先走路慢的人20里。问走路快的人走到多少里时就已经追上走路慢的人？设走路快的人走到x里时就已经追上走路慢的人，则可列方程：
$\frac{100}{70}=\frac{x}{x-10}$
。答案
10.$\frac{100}{70}=\frac{x}{x-10}$
解析
【分析】
本题属于行程追及问题，解题核心是两人速度恒定，相同时间内的路程比等于速度比，为固定值。首先先推导快慢两人的速度比：先计算快的走100里时，相同时间内慢的走的路程，得到速度比；再分析快的追上慢的时，两人在相同时间内的路程，利用速度比不变列方程即可。
【解析】
第一步：求两人的速度比
当走路快的人走了100里时，领先慢的20里，此时慢的一共走的路程为：$100-20=80$（里）
已知慢的先走了10里，因此在快的走100里的这段相同时间内，慢的走的路程为：$80-10=70$（里）
相同时间内路程比等于速度比，因此快、慢两人的速度比为$\frac{100}{70}$。
第二步：根据追及情况列方程
设走路快的人走到$x$里时追上慢的，追上时两人位置相同，因此慢的总路程也为$x$里，减去慢的先走的10里，可得在快的走$x$里的这段相同时间内，慢的走的路程为$(x-10)$里。
由于两人速度比不变，可列等式：$\frac{100}{70}=\frac{x}{x-10}$
【答案】
$\frac{100}{70}=\frac{x}{x-10}$
【知识点】
行程追及问题；分式方程应用；路程速度时间关系
【点评】
本题结合中国古代数学著作设置情境，考查行程问题的核心规律，解题的关键是抓住速度不变时，相同时间内两人的路程比为定值这一要点，同时要准确梳理追及状态下两人的路程关系。
【难度系数】
0.6
本题属于行程追及问题，解题核心是两人速度恒定，相同时间内的路程比等于速度比，为固定值。首先先推导快慢两人的速度比：先计算快的走100里时，相同时间内慢的走的路程，得到速度比；再分析快的追上慢的时，两人在相同时间内的路程，利用速度比不变列方程即可。
【解析】
第一步：求两人的速度比
当走路快的人走了100里时，领先慢的20里，此时慢的一共走的路程为：$100-20=80$（里）
已知慢的先走了10里，因此在快的走100里的这段相同时间内，慢的走的路程为：$80-10=70$（里）
相同时间内路程比等于速度比，因此快、慢两人的速度比为$\frac{100}{70}$。
第二步：根据追及情况列方程
设走路快的人走到$x$里时追上慢的，追上时两人位置相同，因此慢的总路程也为$x$里，减去慢的先走的10里，可得在快的走$x$里的这段相同时间内，慢的走的路程为$(x-10)$里。
由于两人速度比不变，可列等式：$\frac{100}{70}=\frac{x}{x-10}$
【答案】
$\frac{100}{70}=\frac{x}{x-10}$
【知识点】
行程追及问题；分式方程应用；路程速度时间关系
【点评】
本题结合中国古代数学著作设置情境，考查行程问题的核心规律，解题的关键是抓住速度不变时，相同时间内两人的路程比为定值这一要点，同时要准确梳理追及状态下两人的路程关系。
【难度系数】
0.6
11.如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，点E在AC上，AD=AE=BE，∠D=105°，则∠BAC的度数是
$25°$
。答案
11.$25°$
解析
【分析】
解题时首先利用平行四边形的性质得到对应角、对应边的等量关系，再结合已知的边相等条件，得到两个等腰三角形；接着设∠BAC为未知数x，利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形外角的性质，将△ABC中另外两个内角用含x的式子表示，最后根据三角形内角和为180°列方程求解即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠ABC = ∠D = 105°，AD = BC，
∵ AD = AE = BE，
∴ AE = BE，BC = BE，
设∠BAC = x，
∵ AE = BE，
∴ ∠ABE = ∠BAC = x，
由三角形外角性质可得，∠BEC = ∠BAC + ∠ABE = 2x，
∵ BC = BE，
∴ ∠BCE = ∠BEC = 2x，即∠ACB = 2x，
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
∠BAC + ∠ACB + ∠ABC = 180°，
代入得：$x + 2x + 105° = 180°$，
解得：$3x = 75°$，$x = 25°$。
【答案】
$25°$
【知识点】
平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，需要结合多个几何性质推导角的数量关系，渗透了方程思想，掌握平行四边形和等腰三角形的基本性质是解题的前提。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用平行四边形的性质得到对应角、对应边的等量关系，再结合已知的边相等条件，得到两个等腰三角形；接着设∠BAC为未知数x，利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形外角的性质，将△ABC中另外两个内角用含x的式子表示，最后根据三角形内角和为180°列方程求解即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠ABC = ∠D = 105°，AD = BC，
∵ AD = AE = BE，
∴ AE = BE，BC = BE，
设∠BAC = x，
∵ AE = BE，
∴ ∠ABE = ∠BAC = x，
由三角形外角性质可得，∠BEC = ∠BAC + ∠ABE = 2x，
∵ BC = BE，
∴ ∠BCE = ∠BEC = 2x，即∠ACB = 2x，
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
∠BAC + ∠ACB + ∠ABC = 180°，
代入得：$x + 2x + 105° = 180°$，
解得：$3x = 75°$，$x = 25°$。
【答案】
$25°$
【知识点】
平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，需要结合多个几何性质推导角的数量关系，渗透了方程思想，掌握平行四边形和等腰三角形的基本性质是解题的前提。
【难度系数】
0.7
12.如图，在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$AC = 8$，$BC = 6$，$D$为$AB$的中点，过点$D$作$ED ⊥ AB$交$AC$于点$E$，则$AE$的长为________。
答案
12.$\frac{25}{4}$
解析
【分析】
首先从已知条件入手，△ABC是直角三角形，已知两条直角边长度，可先通过勾股定理求出斜边AB的长度；D是AB中点且ED⊥AB，可得∠ADE=∠C=90°，结合公共角∠A可判定△ADE与△ACB相似，利用相似三角形对应边成比例即可求出AE的长度，也可利用线段垂直平分线的性质结合勾股定理列方程求解，两种方法均符合学段知识要求。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$，
∵D是AB的中点，
∴$AD=\frac{1}{2}AB=5$，
∵ED⊥AB，
∴∠ADE=90°=∠C，
又
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
代入数值得：$\frac{AE}{10}=\frac{5}{8}$，
解得：$AE=\frac{10×5}{8}=\frac{25}{4}$。
【答案】
$\frac{25}{4}$
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于直角三角形的基础综合题，解题的关键是先求出斜边AB的长度，再结合图形特征选择合适的定理建立等量关系计算，能有效考查学生对基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.65
首先从已知条件入手，△ABC是直角三角形，已知两条直角边长度，可先通过勾股定理求出斜边AB的长度；D是AB中点且ED⊥AB，可得∠ADE=∠C=90°，结合公共角∠A可判定△ADE与△ACB相似，利用相似三角形对应边成比例即可求出AE的长度，也可利用线段垂直平分线的性质结合勾股定理列方程求解，两种方法均符合学段知识要求。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$，
∵D是AB的中点，
∴$AD=\frac{1}{2}AB=5$，
∵ED⊥AB，
∴∠ADE=90°=∠C，
又
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
代入数值得：$\frac{AE}{10}=\frac{5}{8}$，
解得：$AE=\frac{10×5}{8}=\frac{25}{4}$。
【答案】
$\frac{25}{4}$
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于直角三角形的基础综合题，解题的关键是先求出斜边AB的长度，再结合图形特征选择合适的定理建立等量关系计算，能有效考查学生对基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.65
13.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为点E,过点C作CF⊥BD,垂足为点F.
(1)求证:AE=CF;
(2)若∠AOE=70°,∠EAD=3∠EAO,求∠BCA的度数.
(1)求证:AE=CF;
(2)若∠AOE=70°,∠EAD=3∠EAO,求∠BCA的度数.
答案
13.(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC.
∵AE⊥BD,CF⊥BD，
∴∠AEO=∠CFO=90°.
又
∵∠AOE=∠COF，
∴△AEO≌△CFO(AAS).
∴AE=CF.
(2)解:
∵AE⊥BD，
∴∠AEO=90°.
∵∠AOE=70°，
∴∠EAO=90°−∠AOE=20°.
∵∠EAD=3∠EAO，
∴∠EAD=3×20°=60°.
∴∠DAC=∠DAE−∠EAO=60°−20°=40°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC.
∴∠BCA=∠DAC=40°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC.
∵AE⊥BD,CF⊥BD，
∴∠AEO=∠CFO=90°.
又
∵∠AOE=∠COF，
∴△AEO≌△CFO(AAS).
∴AE=CF.
(2)解:
∵AE⊥BD，
∴∠AEO=90°.
∵∠AOE=70°，
∴∠EAO=90°−∠AOE=20°.
∵∠EAD=3∠EAO，
∴∠EAD=3×20°=60°.
∴∠DAC=∠DAE−∠EAO=60°−20°=40°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC.
∴∠BCA=∠DAC=40°.
解析
【分析】
(1) 要证明线段AE=CF，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。首先利用平行四边形对角线互相平分的性质得到OA=OC，再结合AE、CF都垂直于BD得到一组直角相等，加上对顶角相等，即可用AAS判定△AEO和△CFO全等，进而得到AE=CF。
(2) 先在Rt△AEO中，根据直角三角形两锐角互余求出∠EAO的度数，再结合∠EAD和∠EAO的倍数关系求出∠EAD，进而计算出∠DAC的度数，最后利用平行四边形对边平行、内错角相等的性质，即可得到∠BCA的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC。
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO=∠CFO=90°。
又
∵∠AOE=∠COF，
∴△AEO≌△CFO(AAS)。
∴AE=CF。
(2) 解：
∵AE⊥BD，
∴∠AEO=90°。
∵∠AOE=70°，
∴∠EAO=90°−∠AOE=20°。
∵∠EAD=3∠EAO，
∴∠EAD=3×20°=60°。
∴∠DAC=∠EAD−∠EAO=60°−20°=40°。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC。
∴∠BCA=∠DAC=40°。
【答案】
(1) 已证得AE=CF；(2) ∠BCA=40°
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质
【点评】
本题是平行四边形章节的常规题型，综合考查了全等三角形的判定、角度计算和平行线的性质，解题的核心是熟练掌握平行四边形的相关性质，找准图形中相等的边、角关系。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明线段AE=CF，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。首先利用平行四边形对角线互相平分的性质得到OA=OC，再结合AE、CF都垂直于BD得到一组直角相等，加上对顶角相等，即可用AAS判定△AEO和△CFO全等，进而得到AE=CF。
(2) 先在Rt△AEO中，根据直角三角形两锐角互余求出∠EAO的度数，再结合∠EAD和∠EAO的倍数关系求出∠EAD，进而计算出∠DAC的度数，最后利用平行四边形对边平行、内错角相等的性质，即可得到∠BCA的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC。
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO=∠CFO=90°。
又
∵∠AOE=∠COF，
∴△AEO≌△CFO(AAS)。
∴AE=CF。
(2) 解：
∵AE⊥BD，
∴∠AEO=90°。
∵∠AOE=70°，
∴∠EAO=90°−∠AOE=20°。
∵∠EAD=3∠EAO，
∴∠EAD=3×20°=60°。
∴∠DAC=∠EAD−∠EAO=60°−20°=40°。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC。
∴∠BCA=∠DAC=40°。
【答案】
(1) 已证得AE=CF；(2) ∠BCA=40°
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质
【点评】
本题是平行四边形章节的常规题型，综合考查了全等三角形的判定、角度计算和平行线的性质，解题的核心是熟练掌握平行四边形的相关性质，找准图形中相等的边、角关系。
【难度系数】
0.7
