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三、解答题.
已知雅美服装厂现有A种布料70 m，B种布料52 m，现计划用这两种布料生产M、N两种型号的时装共80套. 已知做一套M型号的时装需用A种布料1.1 m，B种布料0.4 m，可获利50元；做一套N型号的时装需用A种布料0.6 m，B种布料0.9 m，可获利45元. 设生产M型号的时装套数为x，用这批布料生产两种型号的时装所获得的总利润为y元.
(1)求y(元)与x(套)的函数表达式，并求出自变量的取值范围；
(2)当M型号的时装为多少套时，能使该厂所获利润最大？最大利润是多少？
已知雅美服装厂现有A种布料70 m，B种布料52 m，现计划用这两种布料生产M、N两种型号的时装共80套. 已知做一套M型号的时装需用A种布料1.1 m，B种布料0.4 m，可获利50元；做一套N型号的时装需用A种布料0.6 m，B种布料0.9 m，可获利45元. 设生产M型号的时装套数为x，用这批布料生产两种型号的时装所获得的总利润为y元.
(1)求y(元)与x(套)的函数表达式，并求出自变量的取值范围；
(2)当M型号的时装为多少套时，能使该厂所获利润最大？最大利润是多少？
答案
(1)$y=5x+3\ 600,x=40,41,42,43,44$
(2)当M型号的时装为44套时,能使该厂所获利润最大,最大利润是3 820元。
(2)当M型号的时装为44套时,能使该厂所获利润最大,最大利润是3 820元。
解析
【分析】
(1) 求总利润y与x的函数表达式时，总利润等于M型号时装总利润加N型号时装总利润，已知M型号为x套，则N型号为(80-x)套，分别乘以对应单利相加化简即可得到表达式；求自变量取值范围时，需满足两个限制条件：生产两种时装消耗的A种布料总量不超过70m，消耗的B种布料总量不超过52m，同时x为非负整数、(80-x)也为非负整数，据此列不等式组求解即可。
(2) 所得函数为一次函数，根据一次函数的增减性，结合x的取值范围，即可找到使利润最大的x值，代入函数表达式即可算出最大利润。
【解析】
(1) 设生产M型号时装x套，则生产N型号时装$(80-x)$套。
总利润$y=50x+45(80-x)$，化简得：
$y=50x+3600-45x=5x+3600$
根据布料使用限制列不等式组：
① A种布料使用总量不超过70m：
$1.1x+0.6(80-x)≤70$
$0.5x+48≤70$
解得$x≤44$
② B种布料使用总量不超过52m：
$0.4x+0.9(80-x)≤52$
$-0.5x+72≤52$
解得$x≥40$
结合x为非负整数，得自变量取值为$x=40,41,42,43,44$。
(2) 一次函数$y=5x+3600$中，$k=5＞0$，因此y随x的增大而增大。
在x的取值范围内，最大值为44，因此当$x=44$时，y取最大值：
$y=5×44+3600=3820$（元）
【答案】
(1)$y=5x+3600$，自变量x的取值为40,41,42,43,44；
(2)当M型号的时装为44套时，能使该厂所获利润最大，最大利润是3820元。
【知识点】
一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数增减性
【点评】
本题是典型的一次函数最优方案类问题，解题的核心是结合实际生产的资源限制求出自变量的取值范围，再利用一次函数的增减性求解最值，解题时需注意自变量的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
(1) 求总利润y与x的函数表达式时，总利润等于M型号时装总利润加N型号时装总利润，已知M型号为x套，则N型号为(80-x)套，分别乘以对应单利相加化简即可得到表达式；求自变量取值范围时，需满足两个限制条件：生产两种时装消耗的A种布料总量不超过70m，消耗的B种布料总量不超过52m，同时x为非负整数、(80-x)也为非负整数，据此列不等式组求解即可。
(2) 所得函数为一次函数，根据一次函数的增减性，结合x的取值范围，即可找到使利润最大的x值，代入函数表达式即可算出最大利润。
【解析】
(1) 设生产M型号时装x套，则生产N型号时装$(80-x)$套。
总利润$y=50x+45(80-x)$，化简得：
$y=50x+3600-45x=5x+3600$
根据布料使用限制列不等式组：
① A种布料使用总量不超过70m：
$1.1x+0.6(80-x)≤70$
$0.5x+48≤70$
解得$x≤44$
② B种布料使用总量不超过52m：
$0.4x+0.9(80-x)≤52$
$-0.5x+72≤52$
解得$x≥40$
结合x为非负整数，得自变量取值为$x=40,41,42,43,44$。
(2) 一次函数$y=5x+3600$中，$k=5＞0$，因此y随x的增大而增大。
在x的取值范围内，最大值为44，因此当$x=44$时，y取最大值：
$y=5×44+3600=3820$（元）
【答案】
(1)$y=5x+3600$，自变量x的取值为40,41,42,43,44；
(2)当M型号的时装为44套时，能使该厂所获利润最大，最大利润是3820元。
【知识点】
一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数增减性
【点评】
本题是典型的一次函数最优方案类问题，解题的核心是结合实际生产的资源限制求出自变量的取值范围，再利用一次函数的增减性求解最值，解题时需注意自变量的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
细胞分裂
某分子生物学家研究了一种奇怪的孢子:每个孢子每小时分裂成3个同样大小的孢子.一小时后,这3个新孢子中的每一个又分裂成3个,这一过程连续不断.
一天下午,生物学家在一容器里放入一个孢子.到了晚上12点,孢子正好充满了容器.
请问:在什么时候孢子正好装满容器的$\frac{1}{3}$?
某分子生物学家研究了一种奇怪的孢子:每个孢子每小时分裂成3个同样大小的孢子.一小时后,这3个新孢子中的每一个又分裂成3个,这一过程连续不断.
一天下午,生物学家在一容器里放入一个孢子.到了晚上12点,孢子正好充满了容器.
请问:在什么时候孢子正好装满容器的$\frac{1}{3}$?
答案
解：
设从放入孢子到晚上12点，一共经过了$k$小时。
根据分裂规律，每小时孢子数量变为原来的3倍，$k$小时后孢子总数为$3^k$，即容器的总容量对应孢子数量为$3^k$。
当孢子装满容器的$\frac{1}{3}$时，对应的孢子总数为：
$\frac{1}{3} × 3^k = 3^{k-1}$
对比分裂规律可知，孢子数为$3^{k-1}$对应的时刻，是放入孢子后第$k-1$小时，比晚上12点早1小时。
答：孢子正好装满容器的$\frac{1}{3}$的时间是晚上11点。
设从放入孢子到晚上12点，一共经过了$k$小时。
根据分裂规律，每小时孢子数量变为原来的3倍，$k$小时后孢子总数为$3^k$，即容器的总容量对应孢子数量为$3^k$。
当孢子装满容器的$\frac{1}{3}$时，对应的孢子总数为：
$\frac{1}{3} × 3^k = 3^{k-1}$
对比分裂规律可知，孢子数为$3^{k-1}$对应的时刻，是放入孢子后第$k-1$小时，比晚上12点早1小时。
答：孢子正好装满容器的$\frac{1}{3}$的时间是晚上11点。
解析
【分析】
解题时首先要明确孢子的分裂规律：每经过1小时，孢子数量会变为原来的3倍，即后一小时的孢子总量=前一小时孢子总量×3，反过来前一小时的孢子总量就是后一小时的$\frac{1}{3}$。已知晚上12点孢子刚好充满容器，我们可以利用该规律逆向推导：装满容器$\frac{1}{3}$的时刻，再过1小时孢子数量乘3就刚好装满容器，因此该时刻比晚上12点早1小时；也可以通过设总时长为参数，用乘方表示对应时刻的孢子数量，通过数量关系推导时间。
【解析】
设从放入孢子到晚上12点，一共经过了$k$小时。
根据分裂规律，每小时孢子数量变为原来的3倍，$k$小时后孢子总数为$3^k$，即容器的总容量对应孢子数量为$3^k$。
当孢子装满容器的$\frac{1}{3}$时，对应的孢子总数为：
$\frac{1}{3} × 3^k = 3^{k-1}$
对比分裂规律可知，孢子数为$3^{k-1}$对应的时刻，是放入孢子后第$k-1$小时，比晚上12点早1小时。
【答案】
晚上11点
【知识点】
乘方应用 规律探究 逆向推理
【点评】
这道题不需要计算总时长等复杂数值，只要抓住孢子每小时数量变为原来3倍的核心规律，无论是正向用乘方推导还是逆向推理都能快速得出答案，能够有效锻炼逻辑思维能力，避免陷入复杂计算的误区。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确孢子的分裂规律：每经过1小时，孢子数量会变为原来的3倍，即后一小时的孢子总量=前一小时孢子总量×3，反过来前一小时的孢子总量就是后一小时的$\frac{1}{3}$。已知晚上12点孢子刚好充满容器，我们可以利用该规律逆向推导：装满容器$\frac{1}{3}$的时刻，再过1小时孢子数量乘3就刚好装满容器，因此该时刻比晚上12点早1小时；也可以通过设总时长为参数，用乘方表示对应时刻的孢子数量，通过数量关系推导时间。
【解析】
设从放入孢子到晚上12点，一共经过了$k$小时。
根据分裂规律，每小时孢子数量变为原来的3倍，$k$小时后孢子总数为$3^k$，即容器的总容量对应孢子数量为$3^k$。
当孢子装满容器的$\frac{1}{3}$时，对应的孢子总数为：
$\frac{1}{3} × 3^k = 3^{k-1}$
对比分裂规律可知，孢子数为$3^{k-1}$对应的时刻，是放入孢子后第$k-1$小时，比晚上12点早1小时。
【答案】
晚上11点
【知识点】
乘方应用 规律探究 逆向推理
【点评】
这道题不需要计算总时长等复杂数值，只要抓住孢子每小时数量变为原来3倍的核心规律，无论是正向用乘方推导还是逆向推理都能快速得出答案，能够有效锻炼逻辑思维能力，避免陷入复杂计算的误区。
【难度系数】
0.7
