1. 我们知道$|a|$的几何意义是:数轴上表示数$a$的点与原点的距离,即$|a|=|a-0|$.这个结论可以推广为:
①$|a-b|$表示在数轴上表示数$a,b$的两点间的距离;
②$|a+b|$表示在数轴上表示数$a,-b$的两点间的距离.
根据以上结论探究:
(1)$|5-2|$表示5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离,所以$|5-2|=$;$|5+2|$表示5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离,所以$|5+2|=$.
(2)数轴上表示数$x$的点在1与5之间移动时,$|x-1|+|x-5|$的值是一个固定的值,为.
(3)当式子$|x+1|+|x-2|+|x-3|$取最小值时,求出$x$的值.

1. (1)3 7 解析:由数轴可得5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离为3,则|5-2|=3,同理得|5+2|=7.
(2)4 解析:|x-1|+|x-5|等价于表示数x的点到表示数1的点和表示数5的点的距离和,当表示数x的点在1与5之间移动时,距离和即为表示数1的点到表示数5的点的距离,由数轴可得为4.
(3)当x=2时,式子|x+1|+|x-2|+|x-3|取得最小值.

2. (2026·连云港期中)综合与探究
问题情境:如图①,数轴上有四点A,B,C,D,它们表示的数分别是-5,6,1,-2.

易知点A,B间的距离可以表示为|(-5)-6|,
点A,D间的距离可以表示为|(-5)-(-2)|,
点B,C间的距离可以表示为|6-1|.
【数学思考】
(1)若A,B两点在数轴上表示的数分别是-10和1,A,B两点间的距离可以表示为.
【深入探究】
(2)如图②,若点M,N在数轴上表示的数分别为-4,3,点P在数轴上表示的数为x,x为整数且满足条件|x-(-4)|+|x-3|=9,求3|x|+5的值.

(3)如图③,某工厂流水线C—D(点C表示的数为-4,点D表示的数为1)上依次排列的6个工作台(包括点C,D).每个工作台只有一名工人,现要在流水线上设置一个工具台方便工人拿取工具,工具台表示的数为整数,假如设置工具台的位置刚好使这6名工人到工具台的路程之和最小,请直接写出这个最小路程之和.

2. (1)|-10-1| 解析:由题意可得A,B两点间的距离可以表示为两点所表示数的差,即|-10-1|.
(2)由(1)可知,点P,M之间的距离为|x-(-4)|,点P,N之间的距离为|x-3|,所以点P到点M,N的距离和为9.因为M,N两点之间的距离为7,所以点P不在M,N之间.由数轴可得,要使得点P到点M,N的距离和为9,则点P应位于点M左侧一个单位长度,或点N右侧一个单位长度,即点P在数轴上表示的数为-5或4.当点P表示的数为-5时,3|x|+5=15+5=20,当点P表示的数为4时,3|x|+5=12+5=17.综上所述,3|x|+5的值为17或20.
(3)最小路程之和为9. 解析:当工具台设置在表示的数为-4的点时,6名工作人员所走的路程和为0+1+2+3+4+5=15.当工具台设置在表示的数为-3的点时,6名工作人员所走的路程和为1+0+1+2+3+4=11.当工具台设置在表示的数为-2的点时,6名工作人员所走的路程和为2+1+0+1+2+3=9.当工具台设置在表示的数为-1的点时,6名工作人员所走的路程和为3+2+1+0+1+2=9.当工具台设置在表示的数为0的点时,6名工作人员所走的路程和为4+3+2+1+0+1=11.当工具台设置在表示的数为1的点时,6名工作人员所走的路程和为5+4+3+2+1+0=15.所以当工具台设置在表示的数为-2或-1的点的位置时,6名工人所走的路程之和最小,最小路程之和为9.