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疑难点拨
若$m,n$是一元二次方程$x^{2}-5x+2=0$的两个实数根,则$m+(n-2)^{2}$的值为
点拨 本题结合根与系数的关系和完全平方公式利用整体代入的方法计算。
若$m,n$是一元二次方程$x^{2}-5x+2=0$的两个实数根,则$m+(n-2)^{2}$的值为
7
。点拨 本题结合根与系数的关系和完全平方公式利用整体代入的方法计算。
答案
7
解析
【分析】
要解决这个问题，首先利用一元二次方程根的定义，将n代入方程得到关于n的关系式，再通过完全平方公式展开目标式中的$(n-2)^2$，用得到的n的关系式替换后化简式子，最后结合韦达定理（根与系数的关系）求出两根之和，整体代入计算即可，无需分别求解方程的根。
【解析】
解：因为n是一元二次方程$x^2 -5x +2=0$的实数根，所以将$n$代入方程得：
$n^2 -5n +2=0$，整理得$n^2=5n -2$。
根据完全平方公式展开$(n-2)^2$：
$(n-2)^2 =n^2 -4n +4$，将$n^2=5n -2$代入上式：
$(n-2)^2=(5n -2)-4n +4 =n +2$。
因此原式$m + (n-2)^2 =m +n +2$。
根据韦达定理，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，本题中$a=1$，$b=-5$，所以两根之和$m +n =5$。
将$m +n=5$代入化简后的式子：$5 +2=7$。
【答案】
7
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；完全平方公式
【点评】
本题综合考查一元二次方程的根的性质、韦达定理与完全平方公式的应用，核心是运用整体代入的思想简化计算，避免求解方程的根，是代数求值类的常规题型，重点考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先利用一元二次方程根的定义，将n代入方程得到关于n的关系式，再通过完全平方公式展开目标式中的$(n-2)^2$，用得到的n的关系式替换后化简式子，最后结合韦达定理（根与系数的关系）求出两根之和，整体代入计算即可，无需分别求解方程的根。
【解析】
解：因为n是一元二次方程$x^2 -5x +2=0$的实数根，所以将$n$代入方程得：
$n^2 -5n +2=0$，整理得$n^2=5n -2$。
根据完全平方公式展开$(n-2)^2$：
$(n-2)^2 =n^2 -4n +4$，将$n^2=5n -2$代入上式：
$(n-2)^2=(5n -2)-4n +4 =n +2$。
因此原式$m + (n-2)^2 =m +n +2$。
根据韦达定理，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，本题中$a=1$，$b=-5$，所以两根之和$m +n =5$。
将$m +n=5$代入化简后的式子：$5 +2=7$。
【答案】
7
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；完全平方公式
【点评】
本题综合考查一元二次方程的根的性质、韦达定理与完全平方公式的应用，核心是运用整体代入的思想简化计算，避免求解方程的根，是代数求值类的常规题型，重点考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
1. 若$x_{1},x_{2}$是方程$x^{2}-6x+5=0$的两个根,则 (
A.$x_{1}+x_{2}=-6$
B.$x_{1}+x_{2}=6$
C.$x_{1}· x_{2}=-\frac{5}{6}$
D.$x_{1}· x_{2}=-5$
B
)A.$x_{1}+x_{2}=-6$
B.$x_{1}+x_{2}=6$
C.$x_{1}· x_{2}=-\frac{5}{6}$
D.$x_{1}· x_{2}=-5$
答案
1. B
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），解题思路为：先确定给定一元二次方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，再根据韦达定理计算两根之和与两根之积，最后对比选项得出正确答案。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），若方程的两根为$x_1$、$x_2$，则根与系数的关系为：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1·x_2 = \frac{c}{a}$。
本题中方程为$x^2 -6x +5=0$，其中$a=1$，$b=-6$，$c=5$。代入公式计算得：
$x_1 + x_2 = -\frac{-6}{1}=6$，$x_1·x_2 = \frac{5}{1}=5$。
对比选项：A选项$x_1+x_2=-6$错误；B选项$x_1+x_2=6$正确；C选项$x_1·x_2=-\frac{5}{6}$错误；D选项$x_1·x_2=-5$错误。因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题直接考查韦达定理的基本应用，属于一元二次方程章节的基础题型，只要牢记韦达定理公式即可快速解答，是各类考试中的常考送分题。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），解题思路为：先确定给定一元二次方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，再根据韦达定理计算两根之和与两根之积，最后对比选项得出正确答案。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），若方程的两根为$x_1$、$x_2$，则根与系数的关系为：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1·x_2 = \frac{c}{a}$。
本题中方程为$x^2 -6x +5=0$，其中$a=1$，$b=-6$，$c=5$。代入公式计算得：
$x_1 + x_2 = -\frac{-6}{1}=6$，$x_1·x_2 = \frac{5}{1}=5$。
对比选项：A选项$x_1+x_2=-6$错误；B选项$x_1+x_2=6$正确；C选项$x_1·x_2=-\frac{5}{6}$错误；D选项$x_1·x_2=-5$错误。因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题直接考查韦达定理的基本应用，属于一元二次方程章节的基础题型，只要牢记韦达定理公式即可快速解答，是各类考试中的常考送分题。
【难度系数】
0.8
2. 若$x=-3$是一元二次方程$x^{2}+3x+k=0$的一个根,则方程的另一个根及$k$的值分别是 (
A.$0,-2$
B.$0,0$
C.$-2,-2$
D.$-2,0$
B
)A.$0,-2$
B.$0,0$
C.$-2,-2$
D.$-2,0$
答案
2. B
解析
【分析】
已知一元二次方程的一个根，要求方程的另一个根及参数k的值，可利用一元二次方程根的定义：若一个数是方程的根，代入方程等式成立，先将已知根代入方程求出k；再解所得的一元二次方程，即可得到另一个根，最后对应选项选出答案。也可借助韦达定理（根与系数的关系）快速计算，两种方法均可行。
【解析】
步骤1：求参数k的值。因为$x=-3$是方程$x^2 + 3x + k = 0$的根，将$x=-3$代入方程得：
$(-3)^2 + 3×(-3) + k = 0$
计算得：$9 - 9 + k = 0$，解得$k=0$。
步骤2：求方程的另一个根。将$k=0$代入原方程，得：
$x^2 + 3x = 0$
因式分解得：$x(x + 3) = 0$
解得方程的根为$x=0$或$x=-3$，因此另一个根为$0$。
综上，方程的另一个根是$0$，$k$的值是$0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的根的定义；一元二次方程的解法
【点评】
本题考查一元二次方程的基础应用，通过代入根求参数、解方程得另一根，是一元二次方程相关的典型基础题，难度较低，能有效巩固学生对一元二次方程根的概念和解法的掌握。
【难度系数】
0.8
已知一元二次方程的一个根，要求方程的另一个根及参数k的值，可利用一元二次方程根的定义：若一个数是方程的根，代入方程等式成立，先将已知根代入方程求出k；再解所得的一元二次方程，即可得到另一个根，最后对应选项选出答案。也可借助韦达定理（根与系数的关系）快速计算，两种方法均可行。
【解析】
步骤1：求参数k的值。因为$x=-3$是方程$x^2 + 3x + k = 0$的根，将$x=-3$代入方程得：
$(-3)^2 + 3×(-3) + k = 0$
计算得：$9 - 9 + k = 0$，解得$k=0$。
步骤2：求方程的另一个根。将$k=0$代入原方程，得：
$x^2 + 3x = 0$
因式分解得：$x(x + 3) = 0$
解得方程的根为$x=0$或$x=-3$，因此另一个根为$0$。
综上，方程的另一个根是$0$，$k$的值是$0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的根的定义；一元二次方程的解法
【点评】
本题考查一元二次方程的基础应用，通过代入根求参数、解方程得另一根，是一元二次方程相关的典型基础题，难度较低，能有效巩固学生对一元二次方程根的概念和解法的掌握。
【难度系数】
0.8
3. 下列一元二次方程中两根之和为$-4$的是 (
A.$x^{2}-4x+4=0$
B.$x^{2}+2x-4=0$
C.$x^{2}+4x-5=0$
D.$x^{2}+4x+10=0$
C
)A.$x^{2}-4x+4=0$
B.$x^{2}+2x-4=0$
C.$x^{2}+4x-5=0$
D.$x^{2}+4x+10=0$
答案
3. C
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），解题思路：对于每个选项的一元二次方程，先确定二次项系数$a$、一次项系数$b$，利用韦达定理计算两根之和$-\frac{b}{a}$，同时需验证方程是否有实根（判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$），最终找到两根之和为$-4$的选项。
【解析】
根据韦达定理，一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0\ (a≠0)$的两根之和为$-\frac{b}{a}$，且方程有实根需满足$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，逐个分析选项：
选项A：$x^2 - 4x + 4 = 0$，$a=1$，$b=-4$，两根之和$-\frac{-4}{1}=4$，不符合；
选项B：$x^2 + 2x - 4 = 0$，$a=1$，$b=2$，两根之和$-\frac{2}{1}=-2$，不符合；
选项C：$x^2 + 4x - 5 = 0$，$a=1$，$b=4$，两根之和$-\frac{4}{1}=-4$，判别式$\Delta = 4^2 - 4×1×(-5)=36＞0$，方程有实根，符合要求；
选项D：$x^2 + 4x + 10 = 0$，判别式$\Delta = 4^2 - 4×1×10=-24＜0$，无实根，排除。
综上，答案为C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题，直接考查韦达定理的应用，解题时需牢记公式，同时注意验证方程是否有实根，避免误选无实根的选项，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），解题思路：对于每个选项的一元二次方程，先确定二次项系数$a$、一次项系数$b$，利用韦达定理计算两根之和$-\frac{b}{a}$，同时需验证方程是否有实根（判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$），最终找到两根之和为$-4$的选项。
【解析】
根据韦达定理，一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0\ (a≠0)$的两根之和为$-\frac{b}{a}$，且方程有实根需满足$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，逐个分析选项：
选项A：$x^2 - 4x + 4 = 0$，$a=1$，$b=-4$，两根之和$-\frac{-4}{1}=4$，不符合；
选项B：$x^2 + 2x - 4 = 0$，$a=1$，$b=2$，两根之和$-\frac{2}{1}=-2$，不符合；
选项C：$x^2 + 4x - 5 = 0$，$a=1$，$b=4$，两根之和$-\frac{4}{1}=-4$，判别式$\Delta = 4^2 - 4×1×(-5)=36＞0$，方程有实根，符合要求；
选项D：$x^2 + 4x + 10 = 0$，判别式$\Delta = 4^2 - 4×1×10=-24＜0$，无实根，排除。
综上，答案为C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题，直接考查韦达定理的应用，解题时需牢记公式，同时注意验证方程是否有实根，避免误选无实根的选项，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
4. 已知一元二次方程$x^{2}+4x-1=0$的两根分别为$m、n$,则$mn-m-n$的值是
3
。答案
4. 3
解析
【分析】
要解决该问题，需利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先求出两根的和与积，再对所求代数式变形后代入计算。具体思路：1. 根据方程确定系数，应用韦达定理得到两根之和$m+n$与两根之积$mn$；2. 将所求式子$mn - m -n$变形为$mn - (m + n)$，简化计算；3. 代入数值计算得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），若两根为$x_1$、$x_2$，则根与系数满足：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。
已知方程$x^2 + 4x -1 =0$的两根为$m、n$，其中$a=1$，$b=4$，$c=-1$，因此：
$m + n = -\frac{4}{1} = -4$，$mn = \frac{-1}{1} = -1$。
对所求式子变形：$mn - m -n = mn - (m + n)$。
代入数值计算：原式$= -1 - (-4) = -1 + 4 = 3$。
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；代数式求值
【点评】
本题为一元二次方程的基础题型，核心考查韦达定理的应用，通过变形所求代数式简化计算，避免了解方程求根的繁琐，是初中数学的常考知识点，难度较低。
【难度系数】
0.6
要解决该问题，需利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先求出两根的和与积，再对所求代数式变形后代入计算。具体思路：1. 根据方程确定系数，应用韦达定理得到两根之和$m+n$与两根之积$mn$；2. 将所求式子$mn - m -n$变形为$mn - (m + n)$，简化计算；3. 代入数值计算得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），若两根为$x_1$、$x_2$，则根与系数满足：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。
已知方程$x^2 + 4x -1 =0$的两根为$m、n$，其中$a=1$，$b=4$，$c=-1$，因此：
$m + n = -\frac{4}{1} = -4$，$mn = \frac{-1}{1} = -1$。
对所求式子变形：$mn - m -n = mn - (m + n)$。
代入数值计算：原式$= -1 - (-4) = -1 + 4 = 3$。
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；代数式求值
【点评】
本题为一元二次方程的基础题型，核心考查韦达定理的应用，通过变形所求代数式简化计算，避免了解方程求根的繁琐，是初中数学的常考知识点，难度较低。
【难度系数】
0.6
5. 设$x_{1}$与$x_{2}$为一元二次方程$\frac{1}{2}x^{2}+3x+2=0$的两根,则$(x_{1}-x_{2})^{2}$的值为
20
。答案
5. 20
解析
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题思路是：先利用韦达定理求出方程两根的和与积，再将所求的$(x_1 - x_2)^2$变形为含两根和与积的形式，最后代入计算即可。
【解析】对于一元二次方程$\frac{1}{2}x^2 +3x +2=0$，其中$a=\frac{1}{2}$，$b=3$，$c=2$。根据韦达定理：
两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{3}{\frac{1}{2}} = -6$，
两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$。
又因为代数式变形公式：$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$，将上述结果代入得：
$(x_1 - x_2)^2 = (-6)^2 - 4×4 = 36 - 16 = 20$。
【答案】20
【知识点】一元二次方程根与系数的关系，代数式恒等变形
【点评】本题是韦达定理的基础应用题型，核心在于掌握$(x_1 - x_2)^2$的变形技巧，属于必须熟练掌握的知识点，难度较低。
【难度系数】0.3
【解析】对于一元二次方程$\frac{1}{2}x^2 +3x +2=0$，其中$a=\frac{1}{2}$，$b=3$，$c=2$。根据韦达定理：
两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{3}{\frac{1}{2}} = -6$，
两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$。
又因为代数式变形公式：$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$，将上述结果代入得：
$(x_1 - x_2)^2 = (-6)^2 - 4×4 = 36 - 16 = 20$。
【答案】20
【知识点】一元二次方程根与系数的关系，代数式恒等变形
【点评】本题是韦达定理的基础应用题型，核心在于掌握$(x_1 - x_2)^2$的变形技巧，属于必须熟练掌握的知识点，难度较低。
【难度系数】0.3
6. 若一元二次方程$2x^{2}-4x-1=0$的两根为$m、n$,则$3m^{2}-4m+n^{2}$的值为
6
。答案
6. 6
解析
【分析】
本题需利用一元二次方程根的定义降次，结合韦达定理（根与系数的关系）求解。先根据方程根的定义得到m²、n²的表达式，对所求式子降次化简，再用韦达定理求出两根之和，代入化简后的式子即可得到结果。
【解析】
解：因为m是一元二次方程$2x^2 -4x -1=0$的根，将$x=m$代入方程得：
$2m^2 -4m -1=0$，整理得：$m^2=2m + \frac{1}{2}$；
同理，n是方程的根，故$n^2=2n + \frac{1}{2}$。
将$m^2=2m + \frac{1}{2}$、$n^2=2n + \frac{1}{2}$代入$3m^2 -4m +n^2$：
$\begin{aligned}&3(2m + \frac{1}{2}) -4m + (2n + \frac{1}{2})\\=&6m + \frac{3}{2} -4m +2n + \frac{1}{2}\\=&2m +2n +2\\=&2(m +n) +2\end{aligned}$
根据韦达定理，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，两根之和$m+n=-\frac{b}{a}$，本题中$a=2$，$b=-4$，则$m+n=\frac{4}{2}=2$。
将$m+n=2$代入得：$2×2 +2=6$。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程根的定义；韦达定理
【点评】
本题是一元二次方程的典型求值题，核心是利用根的定义降次，结合韦达定理简化计算，需掌握根的性质和韦达定理的应用，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题需利用一元二次方程根的定义降次，结合韦达定理（根与系数的关系）求解。先根据方程根的定义得到m²、n²的表达式，对所求式子降次化简，再用韦达定理求出两根之和，代入化简后的式子即可得到结果。
【解析】
解：因为m是一元二次方程$2x^2 -4x -1=0$的根，将$x=m$代入方程得：
$2m^2 -4m -1=0$，整理得：$m^2=2m + \frac{1}{2}$；
同理，n是方程的根，故$n^2=2n + \frac{1}{2}$。
将$m^2=2m + \frac{1}{2}$、$n^2=2n + \frac{1}{2}$代入$3m^2 -4m +n^2$：
$\begin{aligned}&3(2m + \frac{1}{2}) -4m + (2n + \frac{1}{2})\\=&6m + \frac{3}{2} -4m +2n + \frac{1}{2}\\=&2m +2n +2\\=&2(m +n) +2\end{aligned}$
根据韦达定理，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，两根之和$m+n=-\frac{b}{a}$，本题中$a=2$，$b=-4$，则$m+n=\frac{4}{2}=2$。
将$m+n=2$代入得：$2×2 +2=6$。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程根的定义；韦达定理
【点评】
本题是一元二次方程的典型求值题，核心是利用根的定义降次，结合韦达定理简化计算，需掌握根的性质和韦达定理的应用，难度适中。
【难度系数】
0.5
7. 已知$x_{1}、x_{2}$是方程$x^{2}-3x-1=0$的两个根,求下列代数式的值:
(1) $(x_{1}+2)(x_{2}+2)$;
(2) $(x_{1}-x_{2})^{2}$;
(3) $\frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{2}}{x_{1}}$。
(1) $(x_{1}+2)(x_{2}+2)$;
(2) $(x_{1}-x_{2})^{2}$;
(3) $\frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{2}}{x_{1}}$。
答案
7. (1) 9 (2) 13
(3) $-11$
(3) $-11$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），解题思路为：①先根据方程确定系数a、b、c，利用韦达定理求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$；②将待求代数式通过因式分解、配方等方式变形为含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式；③代入已求的两根和与积计算结果。
【解析】
对于方程$x^2 -3x -1=0$，由韦达定理得：$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=-1$。
(1) $(x_1+2)(x_2+2)=x_1x_2 +2x_1 +2x_2 +4 =x_1x_2 +2(x_1+x_2)+4$，代入得：$-1 +2×3 +4 =9$；
(2) $(x_1 -x_2)^2=(x_1+x_2)^2 -4x_1x_2$，代入得：$3^2 -4×(-1)=9+4=13$；
(3) $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1^2 +x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2 -2x_1x_2}{x_1x_2}$，代入得：$\frac{3^2 -2×(-1)}{-1}=\frac{11}{-1}=-11$。
【答案】
(1)9；(2)13；(3)-11
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式变形
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，核心是将所求代数式转化为两根和与积的形式，计算过程简单，适合巩固基础知识点。
【难度系数】
0.7
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），解题思路为：①先根据方程确定系数a、b、c，利用韦达定理求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$；②将待求代数式通过因式分解、配方等方式变形为含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式；③代入已求的两根和与积计算结果。
【解析】
对于方程$x^2 -3x -1=0$，由韦达定理得：$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=-1$。
(1) $(x_1+2)(x_2+2)=x_1x_2 +2x_1 +2x_2 +4 =x_1x_2 +2(x_1+x_2)+4$，代入得：$-1 +2×3 +4 =9$；
(2) $(x_1 -x_2)^2=(x_1+x_2)^2 -4x_1x_2$，代入得：$3^2 -4×(-1)=9+4=13$；
(3) $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1^2 +x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2 -2x_1x_2}{x_1x_2}$，代入得：$\frac{3^2 -2×(-1)}{-1}=\frac{11}{-1}=-11$。
【答案】
(1)9；(2)13；(3)-11
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式变形
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，核心是将所求代数式转化为两根和与积的形式，计算过程简单，适合巩固基础知识点。
【难度系数】
0.7
8. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+kx-1=0$,若方程的两根分别是$x_{1}、x_{2}$,且满足$x_{1}+x_{2}=x_{1}x_{2}$,则$k=$
1
。答案
8. 1
解析
【分析】
要解决这道题，需利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）。首先回忆韦达定理：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1、x_2$，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。本题中已知方程的两根满足$x_1+x_2=x_1x_2$，因此先根据韦达定理写出$x_1+x_2$和$x_1x_2$关于$k$的表达式，再代入等式求解$k$即可。
【解析】
已知方程$x^2+kx-1=0$是一元二次方程，且有两根$x_1、x_2$，根据韦达定理：
两根之和：$x_1+x_2=-\frac{k}{1}=-k$；
两根之积：$x_1x_2=\frac{-1}{1}=-1$。
由题中条件$x_1+x_2=x_1x_2$，代入得：
$-k=-1$，
解得$k=1$。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程章节的基础题型，直接考查韦达定理的应用，解题思路清晰，只要牢记韦达定理的公式就能快速解答，属于学生应掌握的基础知识点，难度较低。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）。首先回忆韦达定理：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1、x_2$，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。本题中已知方程的两根满足$x_1+x_2=x_1x_2$，因此先根据韦达定理写出$x_1+x_2$和$x_1x_2$关于$k$的表达式，再代入等式求解$k$即可。
【解析】
已知方程$x^2+kx-1=0$是一元二次方程，且有两根$x_1、x_2$，根据韦达定理：
两根之和：$x_1+x_2=-\frac{k}{1}=-k$；
两根之积：$x_1x_2=\frac{-1}{1}=-1$。
由题中条件$x_1+x_2=x_1x_2$，代入得：
$-k=-1$，
解得$k=1$。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程章节的基础题型，直接考查韦达定理的应用，解题思路清晰，只要牢记韦达定理的公式就能快速解答，属于学生应掌握的基础知识点，难度较低。
【难度系数】
0.8
9. 关于$x$的一元二次方程$x^{2}-mx+2m-1=0$的两个实数根分别是$x_{1}、x_{2}$,且$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=7$,则$m$的值是
-1
。答案
9. $-1$
解析
【分析】
要解决这道题，需结合一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）、完全平方公式变形，同时注意方程有两个实数根需满足判别式非负，避免增根。首先根据韦达定理写出两根和与积，将已知的两根平方和转化为含两根和、积的形式，列方程求解后，用判别式筛选符合条件的参数值。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - mx + 2m -1 =0$，其中$a=1$，$b=-m$，$c=2m -1$。
1. 由韦达定理得：$x_1 + x_2 = m$，$x_1x_2 = 2m -1$。
2. 利用完全平方公式变形：$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，代入得：
$x_1^2 + x_2^2 = m^2 - 2(2m -1) = m^2 -4m +2$。
3. 已知$x_1^2 + x_2^2 =7$，列方程：$m^2 -4m +2 =7$，整理为$m^2 -4m -5=0$，因式分解得$(m-5)(m+1)=0$，解得$m=5$或$m=-1$。
4. 检验判别式（方程有两个实根需$\Delta ≥0$）：
$\Delta = b^2 -4ac = (-m)^2 -4×1×(2m -1)=m^2 -8m +4$。
当$m=5$时，$\Delta=25 -40 +4=-11＜0$，舍去；
当$m=-1$时，$\Delta=1 +8 +4=13＞0$，符合条件。
综上，$m=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程根的判别式；完全平方公式
【点评】
本题综合考查韦达定理、根的判别式及公式变形，核心是利用完全平方公式转化两根平方和，易错点是忽略判别式导致增根，需注意检验根的存在性。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，需结合一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）、完全平方公式变形，同时注意方程有两个实数根需满足判别式非负，避免增根。首先根据韦达定理写出两根和与积，将已知的两根平方和转化为含两根和、积的形式，列方程求解后，用判别式筛选符合条件的参数值。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - mx + 2m -1 =0$，其中$a=1$，$b=-m$，$c=2m -1$。
1. 由韦达定理得：$x_1 + x_2 = m$，$x_1x_2 = 2m -1$。
2. 利用完全平方公式变形：$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，代入得：
$x_1^2 + x_2^2 = m^2 - 2(2m -1) = m^2 -4m +2$。
3. 已知$x_1^2 + x_2^2 =7$，列方程：$m^2 -4m +2 =7$，整理为$m^2 -4m -5=0$，因式分解得$(m-5)(m+1)=0$，解得$m=5$或$m=-1$。
4. 检验判别式（方程有两个实根需$\Delta ≥0$）：
$\Delta = b^2 -4ac = (-m)^2 -4×1×(2m -1)=m^2 -8m +4$。
当$m=5$时，$\Delta=25 -40 +4=-11＜0$，舍去；
当$m=-1$时，$\Delta=1 +8 +4=13＞0$，符合条件。
综上，$m=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程根的判别式；完全平方公式
【点评】
本题综合考查韦达定理、根的判别式及公式变形，核心是利用完全平方公式转化两根平方和，易错点是忽略判别式导致增根，需注意检验根的存在性。
【难度系数】
0.5
10. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(2m+1)x+m^{2}+m=0$。
(1) 求证:无论$m$取何值,方程都有两个不相等的实数根;
(2) 设该方程的两个实数根分别为$a、b$,若$(2a+b)(a+2b)=20$,求$m$的值。
(1) 求证:无论$m$取何值,方程都有两个不相等的实数根;
(2) 设该方程的两个实数根分别为$a、b$,若$(2a+b)(a+2b)=20$,求$m$的值。
答案
10. (1) 证明略. (2) m 的值为1或$-2$.
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需利用一元二次方程根的判别式证明方程总有两个不相等的实数根，核心思路是计算判别式并证明其恒大于0；第(2)问需结合韦达定理（根与系数的关系），将给定的两根代数式转化为含两根和与两根积的形式，进而求解m的值，最后验证解的合理性。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2-(2m+1)x+m^2+m=0$，其中$A=1$，$B=-(2m+1)$，$C=m^2+m$，
判别式$\Delta = B^2 - 4AC = [-(2m+1)]^2 - 4×1×(m^2+m)$
$=4m^2 +4m +1 -4m^2 -4m =1$，
因为$\Delta=1＞0$，所以无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根。
(2) 由韦达定理得，方程的两根$a、b$满足：
$a+b=2m+1$，$ab=m^2+m$，
对$(2a+b)(a+2b)$展开变形：
$(2a+b)(a+2b)=2a^2 +5ab +2b^2 =2(a^2 +b^2)+5ab=2[(a+b)^2 -2ab]+5ab=2(a+b)^2 +ab$，
将$a+b=2m+1$，$ab=m^2+m$代入上式，结合$(2a+b)(a+2b)=20$得：
$2(2m+1)^2 + (m^2+m)=20$，
展开并整理：$2(4m^2+4m+1)+m^2+m=20$，
$8m^2+8m+2 +m^2+m=20$，
$9m^2+9m -18=0$，
两边同除以9得：$m^2 +m -2=0$，
因式分解得：$(m+2)(m-1)=0$，
解得$m=1$或$m=-2$，
经检验，$m=1$和$m=-2$均满足原方程有两个不相等实数根的条件，故有效。
【答案】
$m$的值为1或$-2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，韦达定理，一元二次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程的常规基础题，综合考查了根的判别式和韦达定理的应用，要求学生熟练掌握公式并能灵活变形代数式，整体难度适中，是初中数学的核心考点题型。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第(1)问需利用一元二次方程根的判别式证明方程总有两个不相等的实数根，核心思路是计算判别式并证明其恒大于0；第(2)问需结合韦达定理（根与系数的关系），将给定的两根代数式转化为含两根和与两根积的形式，进而求解m的值，最后验证解的合理性。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2-(2m+1)x+m^2+m=0$，其中$A=1$，$B=-(2m+1)$，$C=m^2+m$，
判别式$\Delta = B^2 - 4AC = [-(2m+1)]^2 - 4×1×(m^2+m)$
$=4m^2 +4m +1 -4m^2 -4m =1$，
因为$\Delta=1＞0$，所以无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根。
(2) 由韦达定理得，方程的两根$a、b$满足：
$a+b=2m+1$，$ab=m^2+m$，
对$(2a+b)(a+2b)$展开变形：
$(2a+b)(a+2b)=2a^2 +5ab +2b^2 =2(a^2 +b^2)+5ab=2[(a+b)^2 -2ab]+5ab=2(a+b)^2 +ab$，
将$a+b=2m+1$，$ab=m^2+m$代入上式，结合$(2a+b)(a+2b)=20$得：
$2(2m+1)^2 + (m^2+m)=20$，
展开并整理：$2(4m^2+4m+1)+m^2+m=20$，
$8m^2+8m+2 +m^2+m=20$，
$9m^2+9m -18=0$，
两边同除以9得：$m^2 +m -2=0$，
因式分解得：$(m+2)(m-1)=0$，
解得$m=1$或$m=-2$，
经检验，$m=1$和$m=-2$均满足原方程有两个不相等实数根的条件，故有效。
【答案】
$m$的值为1或$-2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，韦达定理，一元二次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程的常规基础题，综合考查了根的判别式和韦达定理的应用，要求学生熟练掌握公式并能灵活变形代数式，整体难度适中，是初中数学的核心考点题型。
【难度系数】
0.6
