登录
12. 阅读下面的材料：
已知函数$y=f(x)$,对于自变量x的取值范围内的任意$x_{1}$、$x_{2}$.
(1)若$x_{1}＜x_{2}$,都有$f(x_{1})＜f(x_{2})$,则称$f(x)$是增函数；
(2)若$x_{1}＜x_{2}$,都有$f(x_{1})＞f(x_{2})$,则称$f(x)$是减函数.
已知函数$y=f(x)$,对于自变量x的取值范围内的任意$x_{1}$、$x_{2}$.
(1)若$x_{1}＜x_{2}$,都有$f(x_{1})＜f(x_{2})$,则称$f(x)$是增函数；
(2)若$x_{1}＜x_{2}$,都有$f(x_{1})＞f(x_{2})$,则称$f(x)$是减函数.
答案
解：设反比例函数为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，在其图象所在的一个象限内取任意两个自变量的值$x_1$、$x_2$，且$x_1＜x_2$。
1. 当$k＞0$时：
$f(x_1)-f(x_2)=\frac{k}{x_1}-\frac{k}{x_2}=\frac{k(x_2-x_1)}{x_1x_2}$
因为$x_1$、$x_2$在同一象限，所以$x_1x_2＞0$，又$x_1＜x_2$，则$x_2-x_1＞0$，$k＞0$，
所以$\frac{k(x_2-x_1)}{x_1x_2}＞0$，即$f(x_1)-f(x_2)＞0$，$f(x_1)＞f(x_2)$，
根据定义，当$k＞0$时，反比例函数$y=\frac{k}{x}$在每个象限内是减函数。
2. 当$k＜0$时：
$f(x_1)-f(x_2)=\frac{k}{x_1}-\frac{k}{x_2}=\frac{k(x_2-x_1)}{x_1x_2}$
因为$x_1$、$x_2$在同一象限，所以$x_1x_2＞0$，$x_1＜x_2$则$x_2-x_1＞0$，$k＜0$，
所以$\frac{k(x_2-x_1)}{x_1x_2}＜0$，即$f(x_1)-f(x_2)＜0$，$f(x_1)＜f(x_2)$，
根据定义，当$k＜0$时，反比例函数$y=\frac{k}{x}$在每个象限内是增函数。
综上，当$k＞0$时，反比例函数$y=\frac{k}{x}$在每个象限内是减函数；当$k＜0$时，反比例函数$y=\frac{k}{x}$在每个象限内是增函数。
1. 当$k＞0$时：
$f(x_1)-f(x_2)=\frac{k}{x_1}-\frac{k}{x_2}=\frac{k(x_2-x_1)}{x_1x_2}$
因为$x_1$、$x_2$在同一象限，所以$x_1x_2＞0$，又$x_1＜x_2$，则$x_2-x_1＞0$，$k＞0$，
所以$\frac{k(x_2-x_1)}{x_1x_2}＞0$，即$f(x_1)-f(x_2)＞0$，$f(x_1)＞f(x_2)$，
根据定义，当$k＞0$时，反比例函数$y=\frac{k}{x}$在每个象限内是减函数。
2. 当$k＜0$时：
$f(x_1)-f(x_2)=\frac{k}{x_1}-\frac{k}{x_2}=\frac{k(x_2-x_1)}{x_1x_2}$
因为$x_1$、$x_2$在同一象限，所以$x_1x_2＞0$，$x_1＜x_2$则$x_2-x_1＞0$，$k＜0$，
所以$\frac{k(x_2-x_1)}{x_1x_2}＜0$，即$f(x_1)-f(x_2)＜0$，$f(x_1)＜f(x_2)$，
根据定义，当$k＜0$时，反比例函数$y=\frac{k}{x}$在每个象限内是增函数。
综上，当$k＞0$时，反比例函数$y=\frac{k}{x}$在每个象限内是减函数；当$k＜0$时，反比例函数$y=\frac{k}{x}$在每个象限内是增函数。
解析
【分析】要判断反比例函数的增减性，需依据增、减函数的定义：在函数自变量取值范围内，若$x_1＜x_2$时，$f(x_1)$与$f(x_2)$的大小关系确定函数类型。解题时，先设反比例函数的一般形式，在其同一象限内取满足$x_1＜x_2$的两个自变量值，通过计算$f(x_1)-f(x_2)$，结合$k$的正负分析差值符号，最终根据定义得出结论。
【解析】设反比例函数为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，在其图象所在的一个象限内取任意两个自变量的值$x_1$、$x_2$，且$x_1＜x_2$。
1. 当$k＞0$时：
$f(x_1)-f(x_2)=\frac{k}{x_1}-\frac{k}{x_2}=\frac{k(x_2-x_1)}{x_1x_2}$
因为$x_1$、$x_2$在同一象限，所以$x_1x_2＞0$，又$x_1＜x_2$，则$x_2-x_1＞0$，$k＞0$，
所以$\frac{k(x_2-x_1)}{x_1x_2}＞0$，即$f(x_1)-f(x_2)＞0$，$f(x_1)＞f(x_2)$，
根据定义，当$k＞0$时，反比例函数$y=\frac{k}{x}$在每个象限内是减函数。
2. 当$k＜0$时：
$f(x_1)-f(x_2)=\frac{k}{x_1}-\frac{k}{x_2}=\frac{k(x_2-x_1)}{x_1x_2}$
因为$x_1$、$x_2$在同一象限，所以$x_1x_2＞0$，$x_1＜x_2$则$x_2-x_1＞0$，$k＜0$，
所以$\frac{k(x_2-x_1)}{x_1x_2}＜0$，即$f(x_1)-f(x_2)＜0$，$f(x_1)＜f(x_2)$，
根据定义，当$k＜0$时，反比例函数$y=\frac{k}{x}$在每个象限内是增函数。
综上，当$k＞0$时，反比例函数$y=\frac{k}{x}$在每个象限内是减函数；当$k＜0$时，反比例函数$y=\frac{k}{x}$在每个象限内是增函数。
【答案】当$k＞0$时，反比例函数$y=\frac{k}{x}$在每个象限内是减函数；当$k＜0$时，反比例函数$y=\frac{k}{x}$在每个象限内是增函数。
【知识点】反比例函数性质，函数的增减性
【点评】本题通过代数推导验证反比例函数的增减性，核心是理解增、减函数的定义，结合反比例函数的符号特征分析差值，是对函数性质的基础应用考查。
【难度系数】0.5
【解析】设反比例函数为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，在其图象所在的一个象限内取任意两个自变量的值$x_1$、$x_2$，且$x_1＜x_2$。
1. 当$k＞0$时：
$f(x_1)-f(x_2)=\frac{k}{x_1}-\frac{k}{x_2}=\frac{k(x_2-x_1)}{x_1x_2}$
因为$x_1$、$x_2$在同一象限，所以$x_1x_2＞0$，又$x_1＜x_2$，则$x_2-x_1＞0$，$k＞0$，
所以$\frac{k(x_2-x_1)}{x_1x_2}＞0$，即$f(x_1)-f(x_2)＞0$，$f(x_1)＞f(x_2)$，
根据定义，当$k＞0$时，反比例函数$y=\frac{k}{x}$在每个象限内是减函数。
2. 当$k＜0$时：
$f(x_1)-f(x_2)=\frac{k}{x_1}-\frac{k}{x_2}=\frac{k(x_2-x_1)}{x_1x_2}$
因为$x_1$、$x_2$在同一象限，所以$x_1x_2＞0$，$x_1＜x_2$则$x_2-x_1＞0$，$k＜0$，
所以$\frac{k(x_2-x_1)}{x_1x_2}＜0$，即$f(x_1)-f(x_2)＜0$，$f(x_1)＜f(x_2)$，
根据定义，当$k＜0$时，反比例函数$y=\frac{k}{x}$在每个象限内是增函数。
综上，当$k＞0$时，反比例函数$y=\frac{k}{x}$在每个象限内是减函数；当$k＜0$时，反比例函数$y=\frac{k}{x}$在每个象限内是增函数。
【答案】当$k＞0$时，反比例函数$y=\frac{k}{x}$在每个象限内是减函数；当$k＜0$时，反比例函数$y=\frac{k}{x}$在每个象限内是增函数。
【知识点】反比例函数性质，函数的增减性
【点评】本题通过代数推导验证反比例函数的增减性，核心是理解增、减函数的定义，结合反比例函数的符号特征分析差值，是对函数性质的基础应用考查。
【难度系数】0.5
例题:证明函数$f(x)=\frac{6}{x}(x＞0)$是减函数.
证明:设$0＜x_{1}＜x_{2}$,则$f(x_{1})-f(x_{2})=\frac{6}{x_{1}}-\frac{6}{x_{2}}=\frac{6x_{2}-6x_{1}}{x_{1}x_{2}}=\frac{6(x_{2}-x_{1})}{x_{1}x_{2}}$.
$\because0＜x_{1}＜x_{2}$,$\therefore x_{2}-x_{1}＞0$,$x_{1}x_{2}＞0$.$\therefore\frac{6(x_{2}-x_{1})}{x_{1}x_{2}}＞0$,即$f(x_{1})-f(x_{2})＞0$.
$\therefore f(x_{1})＞f(x_{2})$.$\therefore$函数$f(x)=\frac{6}{x}(x＞0)$是减函数.
根据上述材料,解答下列问题:
已知函数$f(x)=\frac{1}{x^{2}}+x(x＜0)$,例如:$f(-2)=\frac{1}{(-2)^{2}}+(-2)=-\frac{7}{4}$.
(1)计算:$f(-3)=$
(2)猜想:函数$f(x)=\frac{1}{x^{2}}+x(x＜0)$是
(3)请仿照例题,证明(2)中的猜想.
证明:设$0＜x_{1}＜x_{2}$,则$f(x_{1})-f(x_{2})=\frac{6}{x_{1}}-\frac{6}{x_{2}}=\frac{6x_{2}-6x_{1}}{x_{1}x_{2}}=\frac{6(x_{2}-x_{1})}{x_{1}x_{2}}$.
$\because0＜x_{1}＜x_{2}$,$\therefore x_{2}-x_{1}＞0$,$x_{1}x_{2}＞0$.$\therefore\frac{6(x_{2}-x_{1})}{x_{1}x_{2}}＞0$,即$f(x_{1})-f(x_{2})＞0$.
$\therefore f(x_{1})＞f(x_{2})$.$\therefore$函数$f(x)=\frac{6}{x}(x＞0)$是减函数.
根据上述材料,解答下列问题:
已知函数$f(x)=\frac{1}{x^{2}}+x(x＜0)$,例如:$f(-2)=\frac{1}{(-2)^{2}}+(-2)=-\frac{7}{4}$.
(1)计算:$f(-3)=$
$-\frac{26}{9}$
,$f(-4)=$$-\frac{63}{16}$
；(2)猜想:函数$f(x)=\frac{1}{x^{2}}+x(x＜0)$是
增
函数(填“增”或“减”)；(3)请仿照例题,证明(2)中的猜想.
答案
12. (1) $-\frac{26}{9}$ $-\frac{63}{16}$ (2) 增 (3) 略
解析
【分析】
本题分为三部分：第一问直接将给定的x值代入函数解析式计算函数值；第二问通过计算的函数值变化规律或仿照例题思路初步猜想函数增减性；第三问仿照例题的定义法，通过设区间内任意两个自变量，作差变形后判断差的符号，进而证明函数的增减性。
【解析】
(1) 计算函数值：
当x=-3时，$f(-3)=\frac{1}{(-3)^2}+(-3)=\frac{1}{9}-3=\frac{1-27}{9}=-\frac{26}{9}$；
当x=-4时，$f(-4)=\frac{1}{(-4)^2}+(-4)=\frac{1}{16}-4=\frac{1-64}{16}=-\frac{63}{16}$；
(2) 猜想增减性：
由(1)知，当x=-4时，$f(-4)=-\frac{63}{16}$；当x=-3时，$f(-3)=-\frac{26}{9}$，因为$-4＜-3＜0$，且$f(-4)＜f(-3)$，即自变量增大时函数值增大，故猜想函数是增函数；
(3) 证明猜想：
设$x_1$、$x_2$是区间$(-∞,0)$上的任意两个实数，且$x_1＜x_2＜0$，
则$f(x_1)-f(x_2)=(\frac{1}{x_1^2}+x_1)-(\frac{1}{x_2^2}+x_2)$
$=(\frac{1}{x_1^2}-\frac{1}{x_2^2})+(x_1-x_2)$
$=\frac{x_2^2-x_1^2}{x_1^2x_2^2}+(x_1-x_2)$
$=\frac{(x_2-x_1)(x_2+x_1)}{x_1^2x_2^2}+(x_1-x_2)$
$=(x_2-x_1)(\frac{x_1+x_2}{x_1^2x_2^2}-1)$
∵$x_1＜x_2＜0$，
∴$x_2-x_1＞0$，$x_1+x_2＜0$，$x_1^2x_2^2＞0$，
∴$\frac{x_1+x_2}{x_1^2x_2^2}＜0$，
∴$\frac{x_1+x_2}{x_1^2x_2^2}-1＜0$，
∴$f(x_1)-f(x_2)=(x_2-x_1)×负数＜0$，
即$f(x_1)＜f(x_2)$，
∴函数$f(x)=\frac{1}{x^2}+x(x＜0)$是增函数。
【答案】
(1) $-\frac{26}{9}$；$-\frac{63}{16}$ (2) 增 (3) 证明略
【知识点】
函数增减性、函数值计算
【点评】
本题考查函数增减性的判断，核心是利用定义法（作差法）证明函数增减性，步骤清晰，属于基础题型，需掌握作差变形及符号判断的方法。
【难度系数】
0.5
本题分为三部分：第一问直接将给定的x值代入函数解析式计算函数值；第二问通过计算的函数值变化规律或仿照例题思路初步猜想函数增减性；第三问仿照例题的定义法，通过设区间内任意两个自变量，作差变形后判断差的符号，进而证明函数的增减性。
【解析】
(1) 计算函数值：
当x=-3时，$f(-3)=\frac{1}{(-3)^2}+(-3)=\frac{1}{9}-3=\frac{1-27}{9}=-\frac{26}{9}$；
当x=-4时，$f(-4)=\frac{1}{(-4)^2}+(-4)=\frac{1}{16}-4=\frac{1-64}{16}=-\frac{63}{16}$；
(2) 猜想增减性：
由(1)知，当x=-4时，$f(-4)=-\frac{63}{16}$；当x=-3时，$f(-3)=-\frac{26}{9}$，因为$-4＜-3＜0$，且$f(-4)＜f(-3)$，即自变量增大时函数值增大，故猜想函数是增函数；
(3) 证明猜想：
设$x_1$、$x_2$是区间$(-∞,0)$上的任意两个实数，且$x_1＜x_2＜0$，
则$f(x_1)-f(x_2)=(\frac{1}{x_1^2}+x_1)-(\frac{1}{x_2^2}+x_2)$
$=(\frac{1}{x_1^2}-\frac{1}{x_2^2})+(x_1-x_2)$
$=\frac{x_2^2-x_1^2}{x_1^2x_2^2}+(x_1-x_2)$
$=\frac{(x_2-x_1)(x_2+x_1)}{x_1^2x_2^2}+(x_1-x_2)$
$=(x_2-x_1)(\frac{x_1+x_2}{x_1^2x_2^2}-1)$
∵$x_1＜x_2＜0$，
∴$x_2-x_1＞0$，$x_1+x_2＜0$，$x_1^2x_2^2＞0$，
∴$\frac{x_1+x_2}{x_1^2x_2^2}＜0$，
∴$\frac{x_1+x_2}{x_1^2x_2^2}-1＜0$，
∴$f(x_1)-f(x_2)=(x_2-x_1)×负数＜0$，
即$f(x_1)＜f(x_2)$，
∴函数$f(x)=\frac{1}{x^2}+x(x＜0)$是增函数。
【答案】
(1) $-\frac{26}{9}$；$-\frac{63}{16}$ (2) 增 (3) 证明略
【知识点】
函数增减性、函数值计算
【点评】
本题考查函数增减性的判断，核心是利用定义法（作差法）证明函数增减性，步骤清晰，属于基础题型，需掌握作差变形及符号判断的方法。
【难度系数】
0.5
13. 如图,$A(-4,\frac{1}{2})$、$B(-1,2)$是一次函数$y_{1}=ax+b(a≠0)$的图象与函数$y_{2}=\frac{m}{x}(m≠0,x＜0)$的图象的两个交点,$AC⊥ x$轴于点C,$BD⊥ y$轴于点D.
(1)在第二象限内,当$y_{1}-y_{2}＞0$时,x的取值范围是
(2)求一次函数的表达式及m的值.
(3)P是线段AB上一点,连接PC、PD.若$△ PCA$和$△ PDB$的面积相等,求点P的坐标.
(4)若在y轴上存在点Q,使得QC-QB的值最大,则该最大值为
(1)在第二象限内,当$y_{1}-y_{2}＞0$时,x的取值范围是
$-4＜x＜-1$
。(2)求一次函数的表达式及m的值.
(3)P是线段AB上一点,连接PC、PD.若$△ PCA$和$△ PDB$的面积相等,求点P的坐标.
(4)若在y轴上存在点Q,使得QC-QB的值最大,则该最大值为
$\sqrt{13}$
,此时点Q的坐标为$(0,\frac{8}{3})$
。答案
13. (1) $-4＜x＜-1$ (2) $m=-2. y_{1}=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$
(3) $(-\frac{5}{2},\frac{5}{4})$ (4) $\sqrt{13}$ $(0,\frac{8}{3})$
(3) $(-\frac{5}{2},\frac{5}{4})$ (4) $\sqrt{13}$ $(0,\frac{8}{3})$
解析
【分析】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，解题思路如下：
1. 第(1)问：$y_1-y_2＞0$即一次函数值大于反比例函数值，结合两函数交点A、B的横坐标，在第二象限内，一次函数图像在反比例函数图像上方时x的范围就是A、B横坐标之间的区间。
2. 第(2)问：求一次函数表达式，将A、B两点坐标代入$y_1=ax+b$，解二元一次方程组；求m，利用反比例函数上点的坐标特征（$xy=m$），将B点代入反比例函数计算m。
3. 第(3)问：设P在线段AB上，坐标为$(x, \frac{1}{2}x+\frac{5}{2})$，分别用坐标法计算$△ PCA$和$△ PDB$的面积，令两面积相等，解方程得x，进而得到P点坐标。
4. 第(4)问：根据“三角形两边之差小于第三边”，当Q在直线BC与y轴交点时，$QC-QB$最大，最大值为BC的长度，先求BC距离，再求直线BC与y轴交点即Q点坐标。
【解析】
(1) 观察图像，在第二象限内，一次函数$y_1$与反比例函数$y_2$的交点为$A(-4,\frac{1}{2})$、$B(-1,2)$，当$y_1＞y_2$时，x的取值范围是$-4＜x＜-1$。
(2) 将$A(-4,\frac{1}{2})$、$B(-1,2)$代入$y_1=ax+b$，得方程组：
$\begin{cases} -4a + b = \frac{1}{2} \\ -a + b = 2 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程：$3a=\frac{3}{2}$，解得$a=\frac{1}{2}$，代入$-a + b=2$得$b=\frac{5}{2}$，故一次函数表达式为$y_1=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$。
将$B(-1,2)$代入$y_2=\frac{m}{x}$，得$m=(-1)×2=-2$。
(3) 设点P的坐标为$(x, \frac{1}{2}x+\frac{5}{2})$（$-4＜x＜-1$）。
$AC⊥x$轴，$C(-4,0)$，$△ PCA$的底$AC=\frac{1}{2}$，高为$x-(-4)=x+4$，面积$S_1=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×(x+4)=\frac{1}{4}(x+4)$。
$BD⊥y$轴，$D(0,2)$，$△ PDB$的底$BD=1$，高为$2-(\frac{1}{2}x+\frac{5}{2})=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$，面积$S_2=\frac{1}{2}×1×(-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2})=-\frac{1}{4}(x+1)$。
由$S_1=S_2$，得$\frac{1}{4}(x+4)=-\frac{1}{4}(x+1)$，解得$x=-\frac{5}{2}$，代入$y_1$得$y=\frac{5}{4}$，故$P(-\frac{5}{2},\frac{5}{4})$。
(4) 根据三角形三边关系，$QC-QB≤BC$，当Q在直线BC与y轴交点时，等号成立，最大值为BC的长度。
$B(-1,2)$，$C(-4,0)$，$BC=\sqrt{(-1+4)^2+(2-0)^2}=\sqrt{13}$。
直线BC的斜率$k=\frac{0-2}{-4+1}=\frac{2}{3}$，方程为$y=\frac{2}{3}(x+4)$，令$x=0$得$y=\frac{8}{3}$，故$Q(0,\frac{8}{3})$。
【答案】
(1) $-4＜x＜-1$；(2) $m=-2$，$y_1=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$；(3) $(-\frac{5}{2},\frac{5}{4})$；(4) $\sqrt{13}$，$(0,\frac{8}{3})$
【知识点】
一次函数表达式、反比例函数性质、三角形面积、最值问题
【点评】
本题综合考查一次函数与反比例函数的应用，涉及函数表达式求解、三角形面积计算、几何最值问题，需结合图像和几何性质分析，关键是利用坐标法计算面积和三角形三边关系，属于中等难度的综合题。
【难度系数】
0.5
本题是一次函数与反比例函数的综合题，解题思路如下：
1. 第(1)问：$y_1-y_2＞0$即一次函数值大于反比例函数值，结合两函数交点A、B的横坐标，在第二象限内，一次函数图像在反比例函数图像上方时x的范围就是A、B横坐标之间的区间。
2. 第(2)问：求一次函数表达式，将A、B两点坐标代入$y_1=ax+b$，解二元一次方程组；求m，利用反比例函数上点的坐标特征（$xy=m$），将B点代入反比例函数计算m。
3. 第(3)问：设P在线段AB上，坐标为$(x, \frac{1}{2}x+\frac{5}{2})$，分别用坐标法计算$△ PCA$和$△ PDB$的面积，令两面积相等，解方程得x，进而得到P点坐标。
4. 第(4)问：根据“三角形两边之差小于第三边”，当Q在直线BC与y轴交点时，$QC-QB$最大，最大值为BC的长度，先求BC距离，再求直线BC与y轴交点即Q点坐标。
【解析】
(1) 观察图像，在第二象限内，一次函数$y_1$与反比例函数$y_2$的交点为$A(-4,\frac{1}{2})$、$B(-1,2)$，当$y_1＞y_2$时，x的取值范围是$-4＜x＜-1$。
(2) 将$A(-4,\frac{1}{2})$、$B(-1,2)$代入$y_1=ax+b$，得方程组：
$\begin{cases} -4a + b = \frac{1}{2} \\ -a + b = 2 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程：$3a=\frac{3}{2}$，解得$a=\frac{1}{2}$，代入$-a + b=2$得$b=\frac{5}{2}$，故一次函数表达式为$y_1=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$。
将$B(-1,2)$代入$y_2=\frac{m}{x}$，得$m=(-1)×2=-2$。
(3) 设点P的坐标为$(x, \frac{1}{2}x+\frac{5}{2})$（$-4＜x＜-1$）。
$AC⊥x$轴，$C(-4,0)$，$△ PCA$的底$AC=\frac{1}{2}$，高为$x-(-4)=x+4$，面积$S_1=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×(x+4)=\frac{1}{4}(x+4)$。
$BD⊥y$轴，$D(0,2)$，$△ PDB$的底$BD=1$，高为$2-(\frac{1}{2}x+\frac{5}{2})=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$，面积$S_2=\frac{1}{2}×1×(-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2})=-\frac{1}{4}(x+1)$。
由$S_1=S_2$，得$\frac{1}{4}(x+4)=-\frac{1}{4}(x+1)$，解得$x=-\frac{5}{2}$，代入$y_1$得$y=\frac{5}{4}$，故$P(-\frac{5}{2},\frac{5}{4})$。
(4) 根据三角形三边关系，$QC-QB≤BC$，当Q在直线BC与y轴交点时，等号成立，最大值为BC的长度。
$B(-1,2)$，$C(-4,0)$，$BC=\sqrt{(-1+4)^2+(2-0)^2}=\sqrt{13}$。
直线BC的斜率$k=\frac{0-2}{-4+1}=\frac{2}{3}$，方程为$y=\frac{2}{3}(x+4)$，令$x=0$得$y=\frac{8}{3}$，故$Q(0,\frac{8}{3})$。
【答案】
(1) $-4＜x＜-1$；(2) $m=-2$，$y_1=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$；(3) $(-\frac{5}{2},\frac{5}{4})$；(4) $\sqrt{13}$，$(0,\frac{8}{3})$
【知识点】
一次函数表达式、反比例函数性质、三角形面积、最值问题
【点评】
本题综合考查一次函数与反比例函数的应用，涉及函数表达式求解、三角形面积计算、几何最值问题，需结合图像和几何性质分析，关键是利用坐标法计算面积和三角形三边关系，属于中等难度的综合题。
【难度系数】
0.5
