9. 如图,在平面直角坐标系中,$A(2,3)$、$B(m,-2)$两点在反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象上.
(1)求k与m的值；
(2)连接BO并延长,交反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象于点C.若一次函数的图象经过A、C两点,求这个一次函数的表达式.

9. (1) $k=6,m=-3$ (2) $y=-x+5$

【分析】
首先，根据反比例函数图象上的点满足函数解析式，代入A点坐标求出k的值，再代入B点坐标求出m的值；其次，利用反比例函数图象关于原点对称的性质，得到点C与点B关于原点对称，从而求出C点坐标；最后，用待定系数法，将A、C两点坐标代入一次函数解析式，求解出一次函数的表达式。
【解析】
(1) 因为点$A(2,3)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，将A点坐标代入解析式得：
$3=\frac{k}{2}$，解得$k=6$，所以反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$。
又因为点$B(m,-2)$在该反比例函数图象上，代入得：
$-2=\frac{6}{m}$，解得$m=-3$。
(2) 反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象关于原点对称，因此点B与点C关于原点对称。已知$B(-3,-2)$，则点C的坐标为$(3,2)$。
设经过A、C两点的一次函数表达式为$y=ax+b$，将$A(2,3)$、$C(3,2)$代入得方程组：
$\begin{cases}2a + b = 3 \\3a + b = 2 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得：$a=-1$。
将$a=-1$代入$2a + b=3$，得：$2×(-1)+b=3$，解得$b=5$。
所以这个一次函数的表达式为$y=-x+5$。
【答案】
(1) $k=6$，$m=-3$；(2) $y=-x+5$
【知识点】
反比例函数性质，待定系数法，关于原点对称的点的坐标
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的基础综合题，考查反比例函数图象上点的特征、反比例函数的对称性及一次函数表达式的求解，思路清晰，步骤明确，属于基础题型。
【难度系数】
0.3

10. 如图,$A(4,3)$是反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$在第一象限的图象上一点,连接OA,过点A作$AB// x$轴,截取$AB=OA$(点B在点A的右侧),连接OB,交反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$在第一象限的图象于点P,连接AP.求:
(1)反比例函数的表达式；
(2)点B的坐标；
(3)$△ OAP$的面积.

10. (1) $y=\frac{12}{x}$ (2) $(9,3)$ (3) 5

【分析】
本题分三小问逐步求解：
(1) 求反比例函数表达式，利用点在函数图象上的性质，将已知点A的坐标代入解析式计算k值；
(2) 求点B坐标，由AB平行x轴得B的纵坐标与A相同，计算OA长度，结合AB=OA得到AB的长度，进而确定B的横坐标；
(3) 求△OAP的面积，先求直线OB的解析式，联立反比例函数解析式求出P点坐标，再用坐标法计算三角形面积。
【解析】
(1) 因为点$A(4,3)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，将$A(4,3)$代入得：$k=4×3=12$，所以反比例函数的表达式为$y=\frac{12}{x}$；
(2) 因为$AB// x$轴，所以点$B$的纵坐标与$A$相同，为$3$；$OA$的长度为$\sqrt{4^2+3^2}=5$，又$AB=OA=5$，点$B$在点$A$右侧，所以点$B$的横坐标为$4+5=9$，故$B$的坐标为$(9,3)$；
(3) 设直线$OB$的解析式为$y=mx$，将$B(9,3)$代入得：$3=9m$，解得$m=\frac{1}{3}$，所以直线$OB$的解析式为$y=\frac{1}{3}x$；
联立$\begin{cases}y=\frac{1}{3}x \\ y=\frac{12}{x}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=6 \\ y=2\end{cases}$（第一象限取正解），即$P(6,2)$；
计算$△ OAP$的面积，利用坐标公式：$S_{△ OAP}=\frac{1}{2}|x_A y_P - x_P y_A|=\frac{1}{2}|4×2 -6×3|=\frac{1}{2}|8-18|=5$。
【答案】
(1) $y=\frac{12}{x}$；(2) $(9,3)$；(3) $5$
【知识点】
反比例函数、一次函数、三角形面积
【点评】
本题综合考查反比例函数与几何图形的结合，需掌握函数解析式的求法、两点间距离及坐标法求三角形面积，是常见的数形结合题型。
【难度系数】
0.5

11. 如图,一次函数$y=-2x+2$与函数 $y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象交于点$A(-1,m)$.
(1)求m的值和函数 $y=\frac{k}{x}(x＜0)$的表达式；
(2)将直线$y=-2x+2$向下平移$h(h＞0)$个单位长度后得到直线$y=ax+b$,若直线$y=ax+b$与函数 $y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象的交点为$B(n,2)$,求h的值,并结合图象求当$x＜0$时,不等式$\frac{k}{x}＜ax+b$的解集.

11. (1) $m=4. y=-\frac{4}{x}(x＜0)$ (2) $h=4. x＜-2$

【分析】
本题分为两小问，第(1)问利用“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”，先将点A代入一次函数求出m，再将点A代入反比例函数求出k，进而得到反比例函数表达式；第(2)问先利用点B在反比例函数上求出n，再根据一次函数平移规律“上加下减”得到平移后的直线解析式，将点B代入平移后的直线解析式求出h，最后结合两个函数的图象，找出$x＜0$时反比例函数图象在直线图象下方对应的x范围，即为不等式的解集。
【解析】
(1) 因为点$A(-1,m)$在一次函数$y=-2x+2$的图象上，将$x=-1$代入$y=-2x+2$，得：
$m=-2×(-1)+2=4$，故点A坐标为$(-1,4)$。
又因为点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上，将$A(-1,4)$代入$y=\frac{k}{x}$，得：
$4=\frac{k}{-1}$，解得$k=-4$，因此反比例函数表达式为$y=-\frac{4}{x}(x＜0)$。
(2) 因为点$B(n,2)$在反比例函数$y=-\frac{4}{x}(x＜0)$的图象上，将$B(n,2)$代入$y=-\frac{4}{x}$，得：
$2=-\frac{4}{n}$，解得$n=-2$，故点B坐标为$(-2,2)$。
直线$y=-2x+2$向下平移$h(h＞0)$个单位后，根据平移规律“上加下减”，平移后的直线解析式为$y=-2x+2-h$。
将$B(-2,2)$代入平移后的直线解析式，得：
$2=-2×(-2)+2-h$，解得$h=4$。
观察图象，当$x＜0$时，反比例函数$y=-\frac{4}{x}$与平移后的直线交于$B(-2,2)$和$A(-1,4)$，当$x＜-2$时，反比例函数图象在直线下方，故不等式$\frac{k}{x}＜ax+b$的解集为$x＜-2$。
【答案】
(1) $m=4$，$y=-\frac{4}{x}(x＜0)$；(2) $h=4$，$x＜-2$
【知识点】
一次函数平移、反比例函数解析式、函数与不等式
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，考查了函数图象上点的坐标特征、一次函数平移规律及利用图象解不等式，解题关键是掌握函数图象与解析式的对应关系，结合图象分析解集。
【难度系数】
0.5