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三、解答题
8. 举世瞩目的港珠澳大桥东接香港，西接珠海、澳门，是世界上最长的跨海大桥. 如图1，香港口岸B至珠海口岸A约42 km，某一时刻，一辆穿梭巴士从B发车，沿港珠澳大桥开往A，6 min后，一辆小汽车也从B出发沿港珠澳大桥开往A，在小汽车出发的同时，一辆大客车从A出发开往B. 已知穿梭巴士的平均速度为60 km/h，大客车的平均速度为66 km/h.
（1）穿梭巴士出发多长时间与大客车相遇？
（2）已知全程的限速（不超过）是100 km/h，小汽车的速度在什么范围时才能在到达珠海口岸之前追上穿梭巴士？
8. 举世瞩目的港珠澳大桥东接香港，西接珠海、澳门，是世界上最长的跨海大桥. 如图1，香港口岸B至珠海口岸A约42 km，某一时刻，一辆穿梭巴士从B发车，沿港珠澳大桥开往A，6 min后，一辆小汽车也从B出发沿港珠澳大桥开往A，在小汽车出发的同时，一辆大客车从A出发开往B. 已知穿梭巴士的平均速度为60 km/h，大客车的平均速度为66 km/h.
（1）穿梭巴士出发多长时间与大客车相遇？
（2）已知全程的限速（不超过）是100 km/h，小汽车的速度在什么范围时才能在到达珠海口岸之前追上穿梭巴士？
答案
8.（1）设穿梭巴士出发$x$ h与大客车相遇，根据题意得$60x+66(x-\dfrac{6}{60})=42$，解得$x=\dfrac{27}{70}$
（2）设小汽车的速度是$y$ km/h，根据题意得$\begin{cases}(\dfrac{42}{60}-\dfrac{6}{60})y＞42,\\y≤100,\end{cases}$解得$70＜y≤100$
（2）设小汽车的速度是$y$ km/h，根据题意得$\begin{cases}(\dfrac{42}{60}-\dfrac{6}{60})y＞42,\\y≤100,\end{cases}$解得$70＜y≤100$
解析
【分析】
（1）第一问属于相遇问题，核心等量关系为：穿梭巴士行驶的路程+大客车行驶的路程=香港口岸到珠海口岸的总路程。解题时先统一时间单位，将6分钟换算为$\frac{6}{60}$h，设穿梭巴士出发$x$ h与大客车相遇，则大客车的行驶时间为$(x-\frac{6}{60})$h，结合两车速度分别表示出两者行驶的路程，根据路程和为42km列方程求解即可。
（2）第二问是追及结合限速的不等式问题，需要满足两个条件：①小汽车要在穿梭巴士到达珠海口岸前追上穿梭巴士，即小汽车在穿梭巴士剩余的行驶时间内走完的路程超过总路程42km；②小汽车速度不超过限速100km/h。先算出穿梭巴士走完全程的总时间，减去提前出发的6分钟得到小汽车可用的最长行驶时间，据此列不等式组求解即可。
【解析】
（1）解：设穿梭巴士出发$x$ h与大客车相遇。
已知6分钟=$\frac{6}{60}$h，相遇时大客车的行驶时间为$(x-\frac{6}{60})$h，根据路程和等于总路程列方程：
$60x+66(x-\dfrac{6}{60})=42$
展开得：$60x+66x-6.6=42$
合并同类项得：$126x=48.6$
解得：$x=\dfrac{27}{70}$
（2）解：设小汽车的速度是$y$ km/h。
穿梭巴士走完全程需要的时间为$\frac{42}{60}$h，小汽车最多可行驶的时间为$(\frac{42}{60}-\frac{6}{60})$h，要在到达珠海口岸前追上穿梭巴士且不超速，列不等式组：
$\begin{cases}(\dfrac{42}{60}-\dfrac{6}{60})y＞42\\y≤100\end{cases}$
解第一个不等式：$\frac{36}{60}y＞42$，即$0.6y＞42$，得$y＞70$
结合第二个不等式，解得$70＜y≤100$
【答案】
（1）穿梭巴士出发$\dfrac{27}{70}\ \mathrm{h}$与大客车相遇；
（2）小汽车的速度范围为$70＜y≤100\ \mathrm{km/h}$时才能在到达珠海口岸之前追上穿梭巴士。
【知识点】
行程问题基本公式，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用
【点评】
本题结合港珠澳大桥的真实背景命题，贴近生活，重点考查行程问题中的相遇、追及模型，解题时需要注意时间单位的统一，理清不同车辆的行驶时间差，是方程与不等式结合应用的典型习题，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
（1）第一问属于相遇问题，核心等量关系为：穿梭巴士行驶的路程+大客车行驶的路程=香港口岸到珠海口岸的总路程。解题时先统一时间单位，将6分钟换算为$\frac{6}{60}$h，设穿梭巴士出发$x$ h与大客车相遇，则大客车的行驶时间为$(x-\frac{6}{60})$h，结合两车速度分别表示出两者行驶的路程，根据路程和为42km列方程求解即可。
（2）第二问是追及结合限速的不等式问题，需要满足两个条件：①小汽车要在穿梭巴士到达珠海口岸前追上穿梭巴士，即小汽车在穿梭巴士剩余的行驶时间内走完的路程超过总路程42km；②小汽车速度不超过限速100km/h。先算出穿梭巴士走完全程的总时间，减去提前出发的6分钟得到小汽车可用的最长行驶时间，据此列不等式组求解即可。
【解析】
（1）解：设穿梭巴士出发$x$ h与大客车相遇。
已知6分钟=$\frac{6}{60}$h，相遇时大客车的行驶时间为$(x-\frac{6}{60})$h，根据路程和等于总路程列方程：
$60x+66(x-\dfrac{6}{60})=42$
展开得：$60x+66x-6.6=42$
合并同类项得：$126x=48.6$
解得：$x=\dfrac{27}{70}$
（2）解：设小汽车的速度是$y$ km/h。
穿梭巴士走完全程需要的时间为$\frac{42}{60}$h，小汽车最多可行驶的时间为$(\frac{42}{60}-\frac{6}{60})$h，要在到达珠海口岸前追上穿梭巴士且不超速，列不等式组：
$\begin{cases}(\dfrac{42}{60}-\dfrac{6}{60})y＞42\\y≤100\end{cases}$
解第一个不等式：$\frac{36}{60}y＞42$，即$0.6y＞42$，得$y＞70$
结合第二个不等式，解得$70＜y≤100$
【答案】
（1）穿梭巴士出发$\dfrac{27}{70}\ \mathrm{h}$与大客车相遇；
（2）小汽车的速度范围为$70＜y≤100\ \mathrm{km/h}$时才能在到达珠海口岸之前追上穿梭巴士。
【知识点】
行程问题基本公式，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用
【点评】
本题结合港珠澳大桥的真实背景命题，贴近生活，重点考查行程问题中的相遇、追及模型，解题时需要注意时间单位的统一，理清不同车辆的行驶时间差，是方程与不等式结合应用的典型习题，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
9. 某街道积极响应垃圾分类的号召，决定在街道内的所有小区安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱. 已知购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，购买3个温馨提示牌和2个垃圾箱共需450元.
（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元.
（2）该街道至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10 000元，请你列举出所有购买方案.
（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元.
（2）该街道至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10 000元，请你列举出所有购买方案.
答案
9.（1）设温馨提示牌的单价是$x$元，垃圾箱的单价是$y$元. 根据题意得$\begin{cases}2x+3y=550,\\3x+2y=450,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=50,\\y=150\end{cases}$
（2）设购买垃圾箱$m$个，则购买温馨提示牌（$100-m$）个，由题意得$\begin{cases}m≥48,\\150m+50(100-m)≤10\ 000,\end{cases}$解得$48≤ m≤50$. 又$\because m$为整数，$\therefore m=48,\ 49,\ 50$，$\therefore$购买方案有3种：①购买温馨提示牌52个，垃圾箱48个；②购买温馨提示牌51个，垃圾箱49个；③购买温馨提示牌50个，垃圾箱50个
（2）设购买垃圾箱$m$个，则购买温馨提示牌（$100-m$）个，由题意得$\begin{cases}m≥48,\\150m+50(100-m)≤10\ 000,\end{cases}$解得$48≤ m≤50$. 又$\because m$为整数，$\therefore m=48,\ 49,\ 50$，$\therefore$购买方案有3种：①购买温馨提示牌52个，垃圾箱48个；②购买温馨提示牌51个，垃圾箱49个；③购买温馨提示牌50个，垃圾箱50个
解析
【分析】
（1）第一问给出了两种购买组合的总费用，存在两个明确的等量关系，我们可以设温馨提示牌和垃圾箱的单价分别为x元、y元，根据“总价=单价×数量”列二元一次方程组，求解即可得到两个物品的单价。
（2）第二问有两个限制条件：一是垃圾箱数量不少于48个，二是购买100个物品的总费用不超过10000元。我们可以设购买垃圾箱m个，则温馨提示牌的数量为(100-m)个，根据两个限制条件列一元一次不等式组，求出m的取值范围，再结合m为正整数的特点，得到所有符合条件的m值，对应写出购买方案即可。
【解析】
（1）设温馨提示牌的单价是$x$元，垃圾箱的单价是$y$元。
根据题意得：
$\begin{cases}2x+3y=550\\3x+2y=450\end{cases}$
用加减消元法，将两个方程相加得$5x+5y=1000$，化简得$x+y=200$，即$x=200-y$，代入第一个方程得$2(200-y)+3y=550$，解得$y=150$，则$x=200-150=50$。
（2）设购买垃圾箱$m$个，则购买温馨提示牌$(100-m)$个。
根据题意得：
$\begin{cases}m≥48\\150m+50(100-m)≤10000\end{cases}$
解第二个不等式：$150m+5000-50m≤10000$，整理得$100m≤5000$，解得$m≤50$。
因此不等式组的解集为$48≤m≤50$，又因为$m$为整数，所以$m=48、49、50$，对应得到3种购买方案。
【答案】
（1）温馨提示牌单价是50元，垃圾箱单价是150元；
（2）共有3种购买方案：①购买温馨提示牌52个，垃圾箱48个；②购买温馨提示牌51个，垃圾箱49个；③购买温馨提示牌50个，垃圾箱50个。
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，方案设计
【点评】
本题结合垃圾分类的生活热点考查方程与不等式的实际应用，解题核心是找准题目中的等量关系和不等关系，正确列出方程组与不等式组，同时要注意结合实际意义取整数解，能够有效锻炼学生的信息提取能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）第一问给出了两种购买组合的总费用，存在两个明确的等量关系，我们可以设温馨提示牌和垃圾箱的单价分别为x元、y元，根据“总价=单价×数量”列二元一次方程组，求解即可得到两个物品的单价。
（2）第二问有两个限制条件：一是垃圾箱数量不少于48个，二是购买100个物品的总费用不超过10000元。我们可以设购买垃圾箱m个，则温馨提示牌的数量为(100-m)个，根据两个限制条件列一元一次不等式组，求出m的取值范围，再结合m为正整数的特点，得到所有符合条件的m值，对应写出购买方案即可。
【解析】
（1）设温馨提示牌的单价是$x$元，垃圾箱的单价是$y$元。
根据题意得：
$\begin{cases}2x+3y=550\\3x+2y=450\end{cases}$
用加减消元法，将两个方程相加得$5x+5y=1000$，化简得$x+y=200$，即$x=200-y$，代入第一个方程得$2(200-y)+3y=550$，解得$y=150$，则$x=200-150=50$。
（2）设购买垃圾箱$m$个，则购买温馨提示牌$(100-m)$个。
根据题意得：
$\begin{cases}m≥48\\150m+50(100-m)≤10000\end{cases}$
解第二个不等式：$150m+5000-50m≤10000$，整理得$100m≤5000$，解得$m≤50$。
因此不等式组的解集为$48≤m≤50$，又因为$m$为整数，所以$m=48、49、50$，对应得到3种购买方案。
【答案】
（1）温馨提示牌单价是50元，垃圾箱单价是150元；
（2）共有3种购买方案：①购买温馨提示牌52个，垃圾箱48个；②购买温馨提示牌51个，垃圾箱49个；③购买温馨提示牌50个，垃圾箱50个。
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，方案设计
【点评】
本题结合垃圾分类的生活热点考查方程与不等式的实际应用，解题核心是找准题目中的等量关系和不等关系，正确列出方程组与不等式组，同时要注意结合实际意义取整数解，能够有效锻炼学生的信息提取能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
