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14. 已知关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}2x - 3y = -2, \\x - 2y = k\end{cases}$的解满足$x - y ＜ 0$.
(1)求$k$的取值范围；
(2)在(1)的条件下，若不等式$(2k + 1)x - 2k ＜ 1$的解集为$x ＞ 1$，求整数$k$的值.
(1)求$k$的取值范围；
(2)在(1)的条件下，若不等式$(2k + 1)x - 2k ＜ 1$的解集为$x ＞ 1$，求整数$k$的值.
答案
14. (1)$k ＞ -2$.
(2)整数$k$的值是$-1$.
(2)整数$k$的值是$-1$.
解析
【分析】
(1) 要求$k$的取值范围，可观察方程组的结构，将两个方程直接相减就能得到用$k$表示的$x-y$的代数式，再结合$x-y＜0$的条件列不等式求解即可，这种方法比先解出$x$、$y$再代入更简便。
(2) 已知含参数的不等式解集为$x＞1$，不等号方向发生了改变，根据不等式的性质可判断未知数的系数为负数，据此先得到$k$的取值限制，再结合(1)中$k$的范围，找出符合条件的整数$k$即可。
【解析】
(1) 记方程组为$\begin{cases}2x - 3y = -2&① \\x - 2y = k&②\end{cases}$
用①$-$②得：$(2x-3y)-(x-2y)=-2 -k$
化简左边得$x-y$，即$x-y=-2 -k$
$\because x-y＜0$
$\therefore -2 -k＜0$
移项、系数化为1得：$k＞-2$
(2) 整理不等式$(2k + 1)x - 2k ＜ 1$：
移项得$(2k + 1)x ＜ 2k + 1$
$\because$不等式解集为$x＞1$，不等号方向改变
$\therefore$根据不等式的性质可知$2k+1＜0$
解得$k＜-\frac{1}{2}$
结合(1)的结论$k＞-2$，可得$k$的取值范围为$-2＜k＜-\frac{1}{2}$
该范围内的整数只有$-1$，即整数$k$的值为$-1$
【答案】
(1)$k ＞ -2$；(2)整数$k$的值是$-1$
【知识点】
二元一次方程组的解、不等式的性质、解一元一次不等式
【点评】
本题是二元一次方程组与一元一次不等式的综合常考题，解题核心是通过方程组变形得到含参数的关系式，以及根据不等式解集的特征判断系数的正负，整体计算量较小，思路清晰易掌握。
【难度系数】
0.75
(1) 要求$k$的取值范围，可观察方程组的结构，将两个方程直接相减就能得到用$k$表示的$x-y$的代数式，再结合$x-y＜0$的条件列不等式求解即可，这种方法比先解出$x$、$y$再代入更简便。
(2) 已知含参数的不等式解集为$x＞1$，不等号方向发生了改变，根据不等式的性质可判断未知数的系数为负数，据此先得到$k$的取值限制，再结合(1)中$k$的范围，找出符合条件的整数$k$即可。
【解析】
(1) 记方程组为$\begin{cases}2x - 3y = -2&① \\x - 2y = k&②\end{cases}$
用①$-$②得：$(2x-3y)-(x-2y)=-2 -k$
化简左边得$x-y$，即$x-y=-2 -k$
$\because x-y＜0$
$\therefore -2 -k＜0$
移项、系数化为1得：$k＞-2$
(2) 整理不等式$(2k + 1)x - 2k ＜ 1$：
移项得$(2k + 1)x ＜ 2k + 1$
$\because$不等式解集为$x＞1$，不等号方向改变
$\therefore$根据不等式的性质可知$2k+1＜0$
解得$k＜-\frac{1}{2}$
结合(1)的结论$k＞-2$，可得$k$的取值范围为$-2＜k＜-\frac{1}{2}$
该范围内的整数只有$-1$，即整数$k$的值为$-1$
【答案】
(1)$k ＞ -2$；(2)整数$k$的值是$-1$
【知识点】
二元一次方程组的解、不等式的性质、解一元一次不等式
【点评】
本题是二元一次方程组与一元一次不等式的综合常考题，解题核心是通过方程组变形得到含参数的关系式，以及根据不等式解集的特征判断系数的正负，整体计算量较小，思路清晰易掌握。
【难度系数】
0.75
15. 在解方程组$\begin{cases} x - 2y = 2①, \\ 4x - 2y = 5② \end{cases}$时，小颖、小明、小丽、小亮四位同学的解法各不相同：
A. 小颖的解法：由①得$x = 2 + 2y$③，把③代入②，得$4(2 + 2y) - 2y = 5$；
B. 小明的解法：由①得$2y = x - 2$③，把③代入②，得$4x - (x - 2) = 5$；
C. 小丽的解法：由①－②，得$3x = -3$；
D. 小亮的解法：由②得$3x + (x - 2y) = 5$③，把①代入③，得$3x + 2 = 5$。
(1)反思：上述四人解方程组的部分过程中，你发现的解题过程有误(从A，B，C，D中选择)；请直接写出此方程组的正确解：.
(2)请选择你喜欢的方法解方程组$\begin{cases} \dfrac{x}{2} + \dfrac{3y}{2} = 2, ① \\ 2(x - 2) = -3(y + 2). ② \end{cases}$
A. 小颖的解法：由①得$x = 2 + 2y$③，把③代入②，得$4(2 + 2y) - 2y = 5$；
B. 小明的解法：由①得$2y = x - 2$③，把③代入②，得$4x - (x - 2) = 5$；
C. 小丽的解法：由①－②，得$3x = -3$；
D. 小亮的解法：由②得$3x + (x - 2y) = 5$③，把①代入③，得$3x + 2 = 5$。
(1)反思：上述四人解方程组的部分过程中，你发现的解题过程有误(从A，B，C，D中选择)；请直接写出此方程组的正确解：.
(2)请选择你喜欢的方法解方程组$\begin{cases} \dfrac{x}{2} + \dfrac{3y}{2} = 2, ① \\ 2(x - 2) = -3(y + 2). ② \end{cases}$
答案
15. (1)C $\begin{cases} x = 1, \\ y = -\dfrac{1}{2} \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x = -6, \\ y = \dfrac{10}{3}. \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x = -6, \\ y = \dfrac{10}{3}. \end{cases}$
解析
【分析】
(1) 本题考查二元一次方程组的解法正误判断，可分别根据代入消元法、加减消元法的规则逐一验证四位同学的解法：加减消元时要注意两个方程相减时各项都要变号，代入消元可直接代入或整体代入。判断出错误解法后，用正确的加减消元法即可求出原方程组的解。
(2) 解第二个方程组时，先将两个方程去分母、去括号化简为标准二元一次方程组形式，再选择加减消元法消去y项，先求出x的值，再代入求y即可。
【解析】
(1) 逐一判断四人解法：
A. 代入消元法，将①变形为$x=2+2y$代入②，步骤正确；
B. 整体代入法，将①变形为$2y=x-2$代入②，替换②中的$-2y$，步骤正确；
C. 加减消元时①-②，左边为$(x-2y)-(4x-2y)=-3x$，右边为$2-5=-3$，应得$-3x=-3$，小丽计算得$3x=-3$，步骤错误；
D. 整体代入法，将②拆分为$3x+(x-2y)=5$，代入①的$x-2y=2$，步骤正确。
因此错误的是C。
解原方程组：用②-①得$3x=3$，解得$x=1$，将$x=1$代入①得$1-2y=2$，解得$y=-\frac{1}{2}$。
(2) 解方程组$\begin{cases} \dfrac{x}{2} + \dfrac{3y}{2} = 2① \\ 2(x - 2) = -3(y + 2)② \end{cases}$：
第一步：化简方程，①两边同乘2去分母得：$x + 3y = 4$ ③
②去括号、移项得：$2x - 4 = -3y -6$，整理得$2x + 3y = -2$ ④
第二步：加减消元，用④-③得：$(2x+3y)-(x+3y)=-2-4$，解得$x=-6$
第三步：代入求y，将$x=-6$代入③得：$-6 + 3y =4$，解得$y=\frac{10}{3}$。
【答案】
(1)C；$\begin{cases} x = 1 \\ y = -\dfrac{1}{2} \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x = -6 \\ y = \dfrac{10}{3} \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解法；代入消元法；加减消元法
【点评】
本题重点考查二元一次方程组的消元方法，需注意加减消元时方程相减的符号变化，整体代入法可有效简化计算步骤，化简方程组时要严格遵守去分母、去括号的运算规则，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
(1) 本题考查二元一次方程组的解法正误判断，可分别根据代入消元法、加减消元法的规则逐一验证四位同学的解法：加减消元时要注意两个方程相减时各项都要变号，代入消元可直接代入或整体代入。判断出错误解法后，用正确的加减消元法即可求出原方程组的解。
(2) 解第二个方程组时，先将两个方程去分母、去括号化简为标准二元一次方程组形式，再选择加减消元法消去y项，先求出x的值，再代入求y即可。
【解析】
(1) 逐一判断四人解法：
A. 代入消元法，将①变形为$x=2+2y$代入②，步骤正确；
B. 整体代入法，将①变形为$2y=x-2$代入②，替换②中的$-2y$，步骤正确；
C. 加减消元时①-②，左边为$(x-2y)-(4x-2y)=-3x$，右边为$2-5=-3$，应得$-3x=-3$，小丽计算得$3x=-3$，步骤错误；
D. 整体代入法，将②拆分为$3x+(x-2y)=5$，代入①的$x-2y=2$，步骤正确。
因此错误的是C。
解原方程组：用②-①得$3x=3$，解得$x=1$，将$x=1$代入①得$1-2y=2$，解得$y=-\frac{1}{2}$。
(2) 解方程组$\begin{cases} \dfrac{x}{2} + \dfrac{3y}{2} = 2① \\ 2(x - 2) = -3(y + 2)② \end{cases}$：
第一步：化简方程，①两边同乘2去分母得：$x + 3y = 4$ ③
②去括号、移项得：$2x - 4 = -3y -6$，整理得$2x + 3y = -2$ ④
第二步：加减消元，用④-③得：$(2x+3y)-(x+3y)=-2-4$，解得$x=-6$
第三步：代入求y，将$x=-6$代入③得：$-6 + 3y =4$，解得$y=\frac{10}{3}$。
【答案】
(1)C；$\begin{cases} x = 1 \\ y = -\dfrac{1}{2} \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x = -6 \\ y = \dfrac{10}{3} \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解法；代入消元法；加减消元法
【点评】
本题重点考查二元一次方程组的消元方法，需注意加减消元时方程相减的符号变化，整体代入法可有效简化计算步骤，化简方程组时要严格遵守去分母、去括号的运算规则，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
