7. 如图,将木条a,b与木条c钉在一起,∠1=70°,转动木条b,当∠2=°时,木条a与b平行.

7.70

【分析】
要判断木条a与b平行，需结合平行线的判定定理思考：两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则这两条直线平行。观察图形可得，∠1和∠2是直线a、b被直线c所截形成的同位角，因此只需让∠2和∠1相等，即可得到a//b，代入∠1的度数就能求出∠2的大小。
【解析】
根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行。
由图可知，∠1与∠2是直线a、b被直线c所截得到的一组同位角。
已知∠1=70°，要使a//b，则需同位角相等，即∠2=∠1=70°。
【答案】
70
【知识点】
平行线的判定；同位角
【点评】
本题考查平行线判定的实际应用，解题的关键是准确识别两条直线被截线所形成的同位角，结合判定定理即可快速得出结果，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9

8. 把“等角的余角相等”写成“如果……那么……”的形式是

8.如果两个角是等角的余角,那么这两个角相等(或如果两个角是等角,那么它们的余角相等)

【分析】
要将命题改写为“如果……那么……”的形式，首先需要明确原命题的含义，拆分出命题的条件（题设）和结论两部分，“如果”后面紧跟条件内容，“那么”后面紧跟由条件推出的结论内容，改写后要保证语句通顺、不改变原命题的本意。原命题“等角的余角相等”可以从两个逻辑角度拆分条件和结论，两种拆分都符合原命题的含义。
【解析】
首先拆分原命题的条件和结论：
1. 若将条件定为“两个角是等角的余角”，结论定为“这两个角相等”，套入格式可得：如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等。
2. 若将条件定为“两个角是等角”，结论定为“它们的余角相等”，套入格式可得：如果两个角是等角，那么它们的余角相等。
两种表述均符合原命题的逻辑，都是正确的。
【答案】
如果两个角是等角的余角,那么这两个角相等(或如果两个角是等角,那么它们的余角相等)
【知识点】
1. 命题的改写 2. 余角的性质
【点评】
本题考查命题改写的基础能力，解题核心是准确区分原命题的条件和结论，改写时需注意语句通顺，不能违背原命题的含义，属于基础类考题。
【难度系数】
0.85

9.(跨学科融合)近视眼镜是利用了凹透镜能使光发散的特点达到矫正视力的目的.如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P.若$∠ ABE = 150°$，$∠ CDF = 160°$，则$∠ EPF$的度数是$\underline{\hspace{2em}}°$.

9.10

【分析】
解题思路：首先明确已知AB、CD均平行于主光轴MN，BE、DF的反向延长线交于P点。我们可以先利用平角为180°的性质，结合已知的∠ABE、∠CDF的度数，再根据平行线“两直线平行，同旁内角互补”的性质，分别求出∠BPN和∠DPN的度数，最后用两个角的差值即可得到∠EPF的度数。
【解析】
解：
∵AB//MN，BE为截线
∴∠ABE + ∠BPN = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
已知∠ABE=150°，代入得：
∠BPN = 180° - 150° = 30°
同理，
∵CD//MN，DF为截线
∴∠CDF + ∠DPN = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
已知∠CDF=160°，代入得：
∠DPN = 180° - 160° = 20°
∴∠EPF = ∠BPN - ∠DPN = 30° - 20° = 10°
【答案】
10
【知识点】
平角的定义；平行线的性质
【点评】
本题结合物理凹透镜的光学场景，考查了平行线的性质和角度计算，属于跨学科融合类题型，解题的关键是找准平行线与对应的截线，正确运用平行线的角度关系运算。
【难度系数】
0.7

10. 如图，已知 $AP$ 平分 $∠ BAC$，$CP$ 平分 $∠ ACD$，$∠ 1 + ∠ 2 = 90°$。有下列结论：① $AB // CD$；② $∠ ABE + ∠ CDF = 90°$；③ $AC // BD$；④ 若 $∠ 1 = ∠ F$，则 $∠ 2 = ∠ E$。其中，正确结论的序号是________。

10.①④

【分析】
解题时先从已知的角平分线和∠1+∠2=90°入手：
1. 先利用角平分线的定义，得出∠BAC=2∠1，∠ACD=2∠2，计算得∠BAC+∠ACD=180°，根据平行线判定定理判断①是否正确；
2. 结合AB//CD的结论，利用平行线的性质和邻补角的定义计算∠ABE+∠CDF的度数，判断②是否正确；
3. 观察题干给出的条件，没有能证明AC和BD平行的角的等量关系，判断③是否正确；
4. 先由三角形内角和得出CE⊥AF，再结合∠1=∠F的条件，推导∠2和∠E的等量关系，判断④是否正确。
【解析】
①
∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD
∴∠BAC=2∠1，∠ACD=2∠2
∵∠1+∠2=90°
∴∠BAC+∠ACD=2(∠1+∠2)=180°
∴AB//CD（同旁内角互补，两直线平行），故①正确；
②
∵AB//CD
∴∠ABD+∠CDB=180°
∵∠ABE=180°-∠ABD，∠CDF=180°-∠CDB
∴∠ABE+∠CDF=360°-(∠ABD+∠CDB)=180°≠90°，故②错误；
③ 题干所给条件无法推出∠ACD=∠CDB或其他能证明AC//BD的角关系，故③错误；
④ 在△ACP中，∠1+∠2=90°，
∴∠APC=180°-90°=90°，即AP⊥CE，CP⊥AF
∴在Rt△APE中，∠1+∠E=90°；在Rt△CPF中，∠2+∠F=90°
若∠1=∠F，代入∠2+∠F=90°得∠1+∠2=90°，结合∠1+∠E=90°，可得∠2=∠E，故④正确。
【答案】
①④
【知识点】
角平分线的定义；平行线的判定与性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题综合考查了平行线的判定、性质和角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握相关定理，结合图形中角的位置关系逐步推导，注意要逐个验证每个结论是否成立。
【难度系数】
0.65

11. 如图，$∠ 1+∠ 2=180°,∠ 3=∠ B$，求证：$∠ AED=∠ 4$.

11.证明:$\because ∠1+∠BDF=180°,∠1+∠2=180°$,
$\therefore ∠2=∠BDF. \therefore EF// AB. \therefore ∠3=∠ADE.$
$\because ∠3=∠B,\therefore ∠B=∠ADE. \therefore DE// BC. \therefore ∠AED=∠ACB.$
$\because ∠ACB=∠4,\therefore ∠AED=∠4.$

【分析】
要证明∠AED=∠4，可结合已知角的关系，通过判定直线平行，再利用平行线性质、等量代换逐步推导：首先根据邻补角的性质可知∠1与∠BDF互补，结合已知∠1+∠2=180°，可推出∠2=∠BDF，判定EF//AB；再由平行线的内错角相等得到∠3=∠ADE，结合已知∠3=∠B，等量代换得∠ADE=∠B，进而判定DE//BC，得到∠AED=∠ACB；最后根据对顶角相等可知∠ACB=∠4，等量代换即可得证。
【解析】
证明:$\because ∠1+∠BDF=180°,∠1+∠2=180°$,
$\therefore ∠2=∠BDF. \therefore EF// AB. \therefore ∠3=∠ADE.$
$\because ∠3=∠B,\therefore ∠B=∠ADE. \therefore DE// BC. \therefore ∠AED=∠ACB.$
$\because ∠ACB=∠4,\therefore ∠AED=∠4.$
【答案】
证明:$\because ∠1+∠BDF=180°,∠1+∠2=180°$,
$\therefore ∠2=∠BDF. \therefore EF// AB. \therefore ∠3=∠ADE.$
$\because ∠3=∠B,\therefore ∠B=∠ADE. \therefore DE// BC. \therefore ∠AED=∠ACB.$
$\because ∠ACB=∠4,\therefore ∠AED=∠4.$
【知识点】
平行线的判定与性质，补角的性质，对顶角的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，核心考查平行线判定和性质的综合运用，解题时需要从已知条件出发，通过角的等量关系推导直线平行，再利用平行性质得到新的角的关系，逐步推导到待证结论，过程要保证每一步都有对应的定理支撑，逻辑连贯。
【难度系数】
0.7

12. 如图,已知点 E 在 BD 上,EA 平分$∠BEF$,EC 平分$∠DEF$.
(1)试说明:$AE⊥CE$.
(2)如果$∠1=∠A,∠4=∠C$,那么 AB 与 CD 平行吗? 为什么?

12.解:(1)$\because EA$ 平分$∠BEF$,EC 平分$∠DEF$,
$\therefore ∠2=∠1=\frac{1}{2}∠BEF,∠3=∠4=\frac{1}{2}∠DEF.$
$\because ∠BEF+∠DEF=180°,\therefore ∠2+∠3=\frac{1}{2}(∠BEF+∠DEF)=90°,$
$\therefore AE⊥EC.$
(2)$AB// CD$,理由如下：
由(1)得:$∠2=∠1,∠3=∠4$,
$\because ∠1=∠A,∠4=∠C,$
$\therefore ∠A=∠2,∠3=∠C.$
$\therefore AB// EF,EF// CD.$
$\therefore AB// CD.$

【分析】
(1) 要证明$AE⊥CE$，只需证明$∠AEC=90°$即可。首先根据角平分线的定义，可得到$∠2$、$∠3$分别是$∠BEF$、$∠DEF$的一半，再结合$∠BEF$与$∠DEF$组成平角，和为$180°$，即可求出$∠2+∠3$的度数，进而判断垂直关系。
(2) 要判断$AB$与$CD$是否平行，可借助中间直线$EF$推导。结合已知$∠1=∠A$和(1)中$∠1=∠2$，通过等量代换可得内错角相等，证明$AB// EF$；同理可证$EF// CD$，最后根据平行公理的推论即可得到$AB$与$CD$的位置关系。
【解析】
(1) 证明：
$\because EA$平分$∠ BEF$，$EC$平分$∠ DEF$，
$\therefore ∠ 2=∠ 1=\frac{1}{2}∠ BEF$，$∠ 3=∠ 4=\frac{1}{2}∠ DEF$（角平分线的定义）。
$\because$ 点$E$在$BD$上，$∠ BEF+∠ DEF=180°$（平角的定义），
$\therefore ∠ 2+∠ 3=\frac{1}{2}(∠ BEF+∠ DEF)=\frac{1}{2}×180°=90°$，即$∠ AEC=90°$，
$\therefore AE⊥ CE$。
(2) $AB// CD$，理由如下：
由(1)可知$∠ 1=∠ 2$，$∠ 3=∠ 4$，
$\because ∠ 1=∠ A$，$∠ 4=∠ C$，
$\therefore ∠ A=∠ 2$，$∠ C=∠ 3$（等量代换），
$\therefore AB// EF$（内错角相等，两直线平行），$EF// CD$（内错角相等，两直线平行），
$\therefore AB// CD$（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
【答案】
(1) $AE⊥ CE$，证明成立；
(2) $AB// CD$，理由见上述解析。
【知识点】
角平分线的定义，垂直的判定，平行线的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，融合了角平分线性质、垂直判定、平行线判定多个基础考点，解题核心是熟练掌握相关定理，通过等量代换转化角的关系，逐步推导得到结论。
【难度系数】
0.8