13. 已知直线$a// b$，将一块等腰直角三角形的三角尺按如图所示的方式摆放，若$∠ 2 = 30°$，则$∠ 1$的度数为 （）

A.$100°$
B.$135°$
C.$155°$
D.$165°$

13.D

【分析】
解题时首先明确等腰直角三角尺的锐角为45°，结合已知∠2=30°，先求出与∠1相关的同位角的度数，再利用平行线的性质得到∠1的邻补角的度数，最后根据邻补角的和为180°即可求出∠1的度数。
【解析】
解：
∵ 等腰直角三角尺的锐角度数为45°，∠2=30°
∴ 直线b上方、三角尺左侧的锐角大小为：$45°-30°=15°$
又
∵ 直线$a// b$，根据两直线平行，同位角相等
∴ ∠1的邻补角等于这个$15°$
∵ 互为邻补角的两个角和为$180°$
∴ $∠1=180°-15°=165°$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质；等腰直角三角形的性质；邻补角定义
【点评】
本题是典型的平行线与三角尺结合的角度计算问题，解题核心是利用平行线的性质完成角度的转化，结合三角尺的固有角度即可快速求解。
【难度系数】
0.7

14.如图,直线AB与CD相交于点O,∠AOC - 2∠AOE = 20°,射线OF平分∠DOE.若∠BOD = 60°,则∠AOF的度数为________.

14.$70°$

【分析】
解题时首先利用对顶角相等的性质求出∠AOC的度数，再结合已知的∠AOC与∠AOE的数量关系计算出∠AOE的度数；接下来根据邻补角互补求出∠AOD的度数，进一步得到∠DOE的度数；再利用角平分线的性质求出∠EOF的度数，最后将∠AOE和∠EOF相加就能得到∠AOF的度数。
【解析】
1. 因为直线AB与CD相交于点O，∠BOD=60°，根据对顶角相等，可得$∠ AOC=∠ BOD=60°$。
2. 已知$∠ AOC - 2∠ AOE=20°$，将$∠ AOC=60°$代入式子，得$60°-2∠ AOE=20°$，解得$∠ AOE=20°$。
3. 因为CD为直线，所以$∠ AOC+∠ AOD=180°$（邻补角互补），因此$∠ AOD=180°-60°=120°$。
4. 计算$∠ DOE$：$∠ DOE=∠ AOD-∠ AOE=120°-20°=100°$。
5. 因为OF平分$∠ DOE$，根据角平分线的定义，可得$∠ EOF=\frac{1}{2}∠ DOE=\frac{1}{2}×100°=50°$。
6. 计算$∠ AOF$：$∠ AOF=∠ AOE+∠ EOF=20°+50°=70°$。
【答案】
$70°$
【知识点】
对顶角相等，角平分线的定义，邻补角互补
【点评】
本题属于基础的角度计算类题目，核心是理清相交线形成的各角之间的位置关系和数量关系，逐步推导即可得到结果，需要熟练掌握相交线相关的角的性质。
【难度系数】
0.7

15.如图,在三角形ABC中,D是AB上一点,DF//BC交AC于点E,连接CF.
(1)要使结论AB//CF成立,则∠ABC= ;
(2)在(1)的条件下,连接BE,若∠BEC=105°,∠ACF=60°,则∠ABE的度数为 度.

15.(1)$∠F$ (2)45
(2)如图,过点 E 作$EM// AB$,交 BC 于点 M.
$\because AB// CF,∠ACF=60°,∠BEC=105°,$
$\therefore AB// EM// CF. \therefore ∠CEM=∠ACF=60°.$
$\therefore ∠ABE=∠BEM=45°.$故答案为 45.

【分析】
(1) 先利用已知DF//BC的性质，得∠ABC与∠BDF互补；要使AB//CF，根据平行线的性质可知∠F与∠BDF也互补，根据同角的补角相等，即可推出要使AB//CF需满足∠ABC=∠F。
(2) 已知AB//CF，要求∠ABE的度数，过点E作平行于AB的辅助线，根据平行公理的推论可得三条直线互相平行，利用平行线内错角相等的性质，将∠BEC拆分为两个分别等于∠ACF、∠ABE的角，结合已知角度作差即可求出∠ABE的度数。
【解析】
(1)
∵DF//BC，
∴∠ABC + ∠BDF = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
若AB//CF，则∠F + ∠BDF = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠ABC = ∠F（同角的补角相等）。
(2) 过点E作EM//AB，交BC于点M。
∵AB//CF，EM//AB，
∴AB//EM//CF（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
∴∠CEM = ∠ACF = 60°（两直线平行，内错角相等）。
∵∠BEC = ∠BEM + ∠CEM = 105°，
∴∠BEM = 105° - 60° = 45°。
又
∵AB//EM，
∴∠ABE = ∠BEM = 45°（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
(1)∠F；(2)45
【知识点】
平行线的判定与性质；平行公理推论；角的和差计算
【点评】
本题是平行线相关性质与判定的基础应用题型，解题关键是结合已知条件合理推导角的关系，必要时构造辅助线转化角度，该类题型是几何部分的常考基础题，需熟练掌握平行线的角的对应关系。
【难度系数】
0.7

16. 如图(1),已知点 B 和点 C 分别是 AF 和 DE 上的点,∠DAF=∠BCD,∠F=∠ECF.
(1)求证:AD//BC.
(2)如图(2),连接 AC,已知 AC⊥CF,∠ECF=m∠BCF(m 为正数).
①当 m=1 时,∠DAF=64°,求∠ACB 的度数;
②若∠ACD+∠ABC=150°,求∠D 的度数(用含 m 的代数式表示).

16.(1)证明:$\because ∠F=∠ECF,$
$\therefore DE// AF$(内错角相等,两直线平行). $\therefore ∠CBF=∠BCD.$
又$∠DAF=∠BCD,\therefore ∠CBF=∠DAF$(等量代换).
$\therefore AD// BC$(同位角相等,两直线平行).
(2)解:①由(1)知 $AD// BC$,又$∠DAF=64°$,
$\therefore ∠CBF=∠DAF=64°$(两直线平行,同位角相等).
由(1)知 $DE// AF,\therefore ∠BCE=180°-64°=116°$(两直线平行,同旁内角互补).
$\because m=1,则∠ECF=∠BCF,\therefore ∠ECF=∠BCF=\frac{1}{2}×116°=58°.$
$\because AC⊥CF,\therefore ∠ACF=90°. \therefore ∠ACB=90°-58°=32°.$
②由(1)已证 $DE// AF$,
$\therefore ∠ACB+∠ACD+∠ABC=180°.$
$\because ∠ACD+∠ABC=150°,∴∠ACB=30°.$
$\because AC⊥CF,\therefore ∠ACF=90°. \therefore ∠BCF=90°-∠ACB=60°.$
$\because ∠ECF=m∠BCF,\therefore ∠D=∠BCE=(m+1)∠BCF=(m+1)60°.$

【分析】
(1) 要证$AD// BC$，可通过判定平行线的角关系推导：首先由已知$∠ F=∠ ECF$推出$DE// AF$，得到$∠ CBF=∠ BCD$，再结合$∠ DAF=∠ BCD$等量代换得到同位角相等，即可证得$AD// BC$。
(2) ① 可直接使用(1)的平行结论：先由$AD// BC$结合已知$∠ DAF$的度数求出$∠ CBF$，再由$DE// AF$求出$∠ BCE$的度数；当$m=1$时$∠ ECF=∠ BCF$，即BC平分$∠ BCE$，可求出$∠ BCF$，最后结合$AC⊥ CF$即$∠ ACF=90°$，通过角的差计算$∠ ACB$。
② 先由$DE// AF$得到同旁内角和为$180°$，结合已知$∠ ACD+∠ ABC=150°$求出$∠ ACB$，再由$AC⊥ CF$求出$∠ BCF$，根据$∠ ECF=m∠ BCF$求出$∠ BCE$的表达式，最后结合平行关系得到$∠ D$与$∠ BCE$相等即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：$\because ∠ F=∠ ECF,$
$\therefore DE// AF$(内错角相等，两直线平行)。
$\therefore ∠ CBF=∠ BCD$（两直线平行，内错角相等）。
又$\because ∠ DAF=∠ BCD,\therefore ∠ CBF=∠ DAF$(等量代换)。
$\therefore AD// BC$(同位角相等，两直线平行)。
(2) 解：① 由(1)知 $AD// BC$，又$∠ DAF=64°$,
$\therefore ∠ CBF=∠ DAF=64°$(两直线平行，同位角相等)。
由(1)知 $DE// AF,\therefore ∠ BCE=180°-∠ CBF=180°-64°=116°$(两直线平行，同旁内角互补)。
$\because m=1$，则$∠ ECF=∠ BCF$,
$\therefore ∠ ECF=∠ BCF=\frac{1}{2}×116°=58°$。
$\because AC⊥ CF,\therefore ∠ ACF=90°$。
$\therefore ∠ ACB=∠ ACF-∠ BCF=90°-58°=32°$。
② 由(1)已证 $DE// AF$,
$\therefore ∠ ACB+∠ ACD+∠ ABC=180°$。
$\because ∠ ACD+∠ ABC=150°,\therefore ∠ ACB=180°-150°=30°$。
$\because AC⊥ CF,\therefore ∠ ACF=90°$。
$\therefore ∠ BCF=∠ ACF-∠ ACB=90°-30°=60°$。
$\because ∠ ECF=m∠ BCF$，且$AD// BC、DE// AF$，
$\therefore ∠ D=∠ BCE=∠ ECF+∠ BCF=(m+1)∠ BCF=60°(m+1)$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) ① $\boldsymbol{32°}$；② $\boldsymbol{60(m+1)°}$（或$(60m+60)°$）
【知识点】
平行线的判定与性质，垂直的定义，角的和差计算
【点评】
本题属于平行线综合应用题，解题时要注意前后小问的关联，前一问的结论可直接作为后一问的已知条件使用，解题的核心是理清图形中角的位置关系，结合平行线的性质推导角的数量关系，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6