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1. (2024·广元)近年来,中国传统服饰备受大家的青睐,走上国际时装周舞台,大放异彩. 某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售,进货价和销售价如下表:
(1)该服装店第一次用 4300 元购进长、短两款服装共 50 件,求两款服装分别购进的件数；
(2)第一次购进的两款服装售完后,该服装店计划再次购进长、短两款服装共 200 件(进货价和销售价都不变),且第二次进货总价不高于 16800 元. 服装店这次应如何设计进货方案,才能获得最大销售利润,最大销售利润是多少元?
(1)该服装店第一次用 4300 元购进长、短两款服装共 50 件,求两款服装分别购进的件数；
(2)第一次购进的两款服装售完后,该服装店计划再次购进长、短两款服装共 200 件(进货价和销售价都不变),且第二次进货总价不高于 16800 元. 服装店这次应如何设计进货方案,才能获得最大销售利润,最大销售利润是多少元?
答案
(1)设购进短款服装x件,购进长款服装y件,根据题意,得$\begin{cases} x+y=50,\\80x+90y=4300, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=20,\\y=30. \end{cases}$
答:购进短款服装20件,长款服装30件.
(2)设第二次购进m件短款服装,则购进(200-m)件长款服装,根据题意,
得$80m+90(200-m)≤16800$,解得$m≥120$.
设利润为w元,则$w=(100-80)m+(120-90)(200-m)=-10m+6000$,
$\because -10＜0$,$\therefore w$随m的增大而减小.
$\therefore$当$m=120$时,w取得最大值,且最大值为$-10×120+6000=4800$(元).此时$200-m=80$.
答:第二次购进120件短款服装,80件长款服装能获得最大销售利润,最大销售利润为4800元.
答:购进短款服装20件,长款服装30件.
(2)设第二次购进m件短款服装,则购进(200-m)件长款服装,根据题意,
得$80m+90(200-m)≤16800$,解得$m≥120$.
设利润为w元,则$w=(100-80)m+(120-90)(200-m)=-10m+6000$,
$\because -10＜0$,$\therefore w$随m的增大而减小.
$\therefore$当$m=120$时,w取得最大值,且最大值为$-10×120+6000=4800$(元).此时$200-m=80$.
答:第二次购进120件短款服装,80件长款服装能获得最大销售利润,最大销售利润为4800元.
2. 为增强公民的节约意识,合理利用天然气资源,某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整,实行阶梯式气价,调整后的收费价格如下表所示:
(1)若甲用户3月份的用气量为60立方米,则应缴费
(2)若调价后每月支出的燃气费为$y$(元),每月的用气量为$x$(立方米),$y$与$x$之间的关系如图所示,求$a$的值及$y$与$x$之间的函数表达式;
(3)在(2)的条件下,若乙用户2,3月份共用气175立方米(3月份用气量低于2月份用气量),共缴费455元,乙用户2,3月份的用气量各是多少立方米?
(1)若甲用户3月份的用气量为60立方米,则应缴费
150
元;(2)若调价后每月支出的燃气费为$y$(元),每月的用气量为$x$(立方米),$y$与$x$之间的关系如图所示,求$a$的值及$y$与$x$之间的函数表达式;
(3)在(2)的条件下,若乙用户2,3月份共用气175立方米(3月份用气量低于2月份用气量),共缴费455元,乙用户2,3月份的用气量各是多少立方米?
答案
(1)150
(2)解:由题意,得
$a=(325-75×2.5)÷(125-75)=2.75$,
则$a+0.25=3$.
设线段OA的函数表达式为$y_1=k_1x$,则
$2.5×75=75k_1$,解得$k_1=2.5$,
$\therefore$线段OA的函数表达式为$y_1=2.5x(0≤ x≤75)$;
设线段AB的函数表达式为$y_2=k_2x+b$,根据题意,
得$\begin{cases}75×2.5=75k_2+b,\\325=125k_2+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_2=2.75,\\b=-18.75,\end{cases}$
$\therefore$线段AB的函数表达式为$y_2=2.75x-18.75(75＜x≤125)$;
$(385-325)÷3=20$,故$C(145,385)$,设射线BC的函数表达式为$y_3=k_3x+b_1$,根据题意,
得$\begin{cases}325=125k_3+b_1,\\385=145k_3+b_1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_3=3,\\b_1=-50,\end{cases}$
$\therefore$射线BC的函数表达式为$y_3=3x-50(x＞125)$.
综上可知,$y=\begin{cases}2.5x(0≤ x≤75),\\2.75x-18.75(75＜x≤125),\\3x-50(x＞125).\end{cases}$
(3)解:设乙用户2月份用气x立方米,则3月份用气(175-x)立方米,
由题意,得$x＞175-x$,解得$x＞87.5$.
当$x＞125$时,$175-x＜50$,
$3x-50+2.5(175-x)=455$,解得$x=135$,
$175-135=40$,符合题意;
当$87.5＜x≤125$,$175-x≤75$时,
$2.75x-18.75+2.5(175-x)=455$,
解得$x=145$,不符合题意,舍去;
当$87.5＜x≤125$,$75＜175-x≤125$时,
$2.75x-18.75+2.75(175-x)-18.75=455$,等式不成立.
答:乙用户2,3月份的用气量分别是135立方米,40立方米.
(2)解:由题意,得
$a=(325-75×2.5)÷(125-75)=2.75$,
则$a+0.25=3$.
设线段OA的函数表达式为$y_1=k_1x$,则
$2.5×75=75k_1$,解得$k_1=2.5$,
$\therefore$线段OA的函数表达式为$y_1=2.5x(0≤ x≤75)$;
设线段AB的函数表达式为$y_2=k_2x+b$,根据题意,
得$\begin{cases}75×2.5=75k_2+b,\\325=125k_2+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_2=2.75,\\b=-18.75,\end{cases}$
$\therefore$线段AB的函数表达式为$y_2=2.75x-18.75(75＜x≤125)$;
$(385-325)÷3=20$,故$C(145,385)$,设射线BC的函数表达式为$y_3=k_3x+b_1$,根据题意,
得$\begin{cases}325=125k_3+b_1,\\385=145k_3+b_1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_3=3,\\b_1=-50,\end{cases}$
$\therefore$射线BC的函数表达式为$y_3=3x-50(x＞125)$.
综上可知,$y=\begin{cases}2.5x(0≤ x≤75),\\2.75x-18.75(75＜x≤125),\\3x-50(x＞125).\end{cases}$
(3)解:设乙用户2月份用气x立方米,则3月份用气(175-x)立方米,
由题意,得$x＞175-x$,解得$x＞87.5$.
当$x＞125$时,$175-x＜50$,
$3x-50+2.5(175-x)=455$,解得$x=135$,
$175-135=40$,符合题意;
当$87.5＜x≤125$,$175-x≤75$时,
$2.75x-18.75+2.5(175-x)=455$,
解得$x=145$,不符合题意,舍去;
当$87.5＜x≤125$,$75＜175-x≤125$时,
$2.75x-18.75+2.75(175-x)-18.75=455$,等式不成立.
答:乙用户2,3月份的用气量分别是135立方米,40立方米.
