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7. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,按如下步骤操作:①以点$A$为圆心,任意长为半径画弧,分别交$AC$,$AB$于点$D$,$E$;②以点$C$为圆心,$AD$长为半径画弧,交$AC$的延长线于点$F$;③以点$F$为圆心,$DE$长为半径画弧,交②中所画的弧于点$G$;④作射线$CG$.若$∠ B=40°$,则$∠ FCG$的度数为（
A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$
B
）A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$
答案
7.B
8. 如图, 在 $△ A B C$ 中, $E$ 是 $B C$ 边上一点, 且 $A B=E B$, 点 $D$ 在 $A C$ 上, 连接 $B D, D E$. 若 $A D=$ $E D, ∠ A=80°, ∠ C D E=40°$, 则 $∠ C$ 的度数为
40°
.答案
8.40°
9. (2024·海州区期中)如图，$AB=DF$，$AC=DE$，$BE=CF$。求证：$∠ A=∠ D$。
答案
9.证明:
∵BE=CF,
∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF.
在△ABC和△DFE中,
$\begin{cases}AB=DF,\\AC=DE,\\BC=FE,\end{cases}$
∴△ABC≌△DFE(SSS),
∴∠A=∠D.
∵BE=CF,
∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF.
在△ABC和△DFE中,
$\begin{cases}AB=DF,\\AC=DE,\\BC=FE,\end{cases}$
∴△ABC≌△DFE(SSS),
∴∠A=∠D.
10. 如图,$AB=CD=AE=BC+DE=2$,$∠ ABC=∠ AED=90°$,求五边形$ABCDE$的面积.
答案
10.解:如答图,延长DE到点F,使EF=BC,连接AC,AD,AF.
在△ABC和△AEF中,
$\begin{cases}AB=AE,\\∠B=∠AEF=90°,\\BC=EF,\end{cases}$
∴△ABC≌△AEF(SAS),
∴AC=AF.
∵CD=BC+DE,EF=BC,
∴CD=DF.
在△ACD和△AFD中,
$\begin{cases}AC=AF,\\CD=FD,\\AD=AD,\end{cases}$
∴△ACD≌△AFD(SSS).
∵△ABC≌△AEF,
∴$S_{△ ABC}=S_{△ AEF}$,
∴$S_{五边形ABCDE}=S_{△ ABC}+S_{四边形AEDC}=S_{△ AEF}+S_{四边形AEDC}=2S_{△ ADF}$.
∵AB=CD=AE=2,∠AED=90°,
∴$S_{△ ADF}=2$,则$S_{五边形ABCDE}=4$.
11.(2024·金湖期中)如图,在$△ ABC$中,$D$为边$BC$上一点,$E$为边$BA$上一点,且$AE=CD$,连接$AD$,$F$为$AD$的中点.连接$EF$并延长,交$AC$于点$G$,在$FG$上取点$H$,使$FH=FE$,连接$GD$,若$HG=CG$.
求证:(1)$△ AEF≌△ DHF$;
(2)$∠ B=2∠ GDC$.
求证:(1)$△ AEF≌△ DHF$;
(2)$∠ B=2∠ GDC$.
答案
11.证明:(1)
∵F为AD的中点,
∴AF=DF.
在△AEF和△DHF中,
$\begin{cases}AF=DF,\\∠AFE=∠DFH,\\FE=FH,\end{cases}$
∴△AEF≌△DHF(SAS).
(2)
∵△AEF≌△DHF,
∴∠EAF=∠HDF,AE=DH,
∴DH//AB,
∴∠HDC=∠B.
∵AE=CD,
∴DH=CD.
在△DHG和△DCG中,
$\begin{cases}DH=CD,\\HG=CG,\\DG=DG,\end{cases}$
∴△DHG≌△DCG(SSS),
∴∠GDC=∠GDH,
∴∠HDC=∠GDC+∠GDH=2∠GDC,
∴∠B=2∠GDC.
∵F为AD的中点,
∴AF=DF.
在△AEF和△DHF中,
$\begin{cases}AF=DF,\\∠AFE=∠DFH,\\FE=FH,\end{cases}$
∴△AEF≌△DHF(SAS).
(2)
∵△AEF≌△DHF,
∴∠EAF=∠HDF,AE=DH,
∴DH//AB,
∴∠HDC=∠B.
∵AE=CD,
∴DH=CD.
在△DHG和△DCG中,
$\begin{cases}DH=CD,\\HG=CG,\\DG=DG,\end{cases}$
∴△DHG≌△DCG(SSS),
∴∠GDC=∠GDH,
∴∠HDC=∠GDC+∠GDH=2∠GDC,
∴∠B=2∠GDC.
