登录
1. 如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积(接缝忽略不计)为（
A.$27\ \mathrm{cm}^2$
B.$54\ \mathrm{cm}^2$
C.$27π\ \mathrm{cm}^2$
D.$54π\ \mathrm{cm}^2$
C
）A.$27\ \mathrm{cm}^2$
B.$54\ \mathrm{cm}^2$
C.$27π\ \mathrm{cm}^2$
D.$54π\ \mathrm{cm}^2$
答案
1. C
解析
【分析】
要计算圆锥部分包装纸的面积，本质是求圆锥的侧面积。解题时需先从图中提取关键数据：圆锥底面直径和母线长，再结合圆锥侧面积公式进行计算。
【解析】
圆锥侧面积公式为 $ S_{\mathrm{侧}} = π r l $（其中$ r $为圆锥底面半径，$ l $为圆锥母线长）。
由图可知，圆锥底面直径为$ 6\ \mathrm{cm} $，因此底面半径 $ r = 6÷2 = 3\ \mathrm{cm} $；圆锥母线长 $ l = 9\ \mathrm{cm} $。
将$ r=3\ \mathrm{cm} $、$ l=9\ \mathrm{cm} $代入侧面积公式：
$ S_{\mathrm{侧}} = π × 3 × 9 = 27π\ \mathrm{cm}^2 $，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
圆锥侧面积计算，圆的半径与直径的关系
【点评】
本题属于基础几何题，考查圆锥侧面积公式的应用，解题关键是准确识别图中给出的底面直径和母线长，代入公式即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.6
要计算圆锥部分包装纸的面积，本质是求圆锥的侧面积。解题时需先从图中提取关键数据：圆锥底面直径和母线长，再结合圆锥侧面积公式进行计算。
【解析】
圆锥侧面积公式为 $ S_{\mathrm{侧}} = π r l $（其中$ r $为圆锥底面半径，$ l $为圆锥母线长）。
由图可知，圆锥底面直径为$ 6\ \mathrm{cm} $，因此底面半径 $ r = 6÷2 = 3\ \mathrm{cm} $；圆锥母线长 $ l = 9\ \mathrm{cm} $。
将$ r=3\ \mathrm{cm} $、$ l=9\ \mathrm{cm} $代入侧面积公式：
$ S_{\mathrm{侧}} = π × 3 × 9 = 27π\ \mathrm{cm}^2 $，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
圆锥侧面积计算，圆的半径与直径的关系
【点评】
本题属于基础几何题，考查圆锥侧面积公式的应用，解题关键是准确识别图中给出的底面直径和母线长，代入公式即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.6
2.“云南十八怪，草帽当锅盖”.如图，草帽锅盖下宽上窄，呈圆锥状.已知圆锥的底面直径为 50 cm，母线长为 40 cm，则此草帽锅盖的侧面积约是 （
A.$625π\ \mathrm{cm}^2$
B.$650π\ \mathrm{cm}^2$
C.$1\ 000π\ \mathrm{cm}^2$
D.$2\ 000π\ \mathrm{cm}^2$
C
）A.$625π\ \mathrm{cm}^2$
B.$650π\ \mathrm{cm}^2$
C.$1\ 000π\ \mathrm{cm}^2$
D.$2\ 000π\ \mathrm{cm}^2$
答案
2. C 提示:因为圆锥的底面直径为 50 cm,所以圆锥的底面半径为 25 cm.又因为母线长为 40 cm,所以此草帽锅盖的侧面积为 $π × 25 × 40=1\ 000π(\mathrm{cm}^2)$.
解析
【分析】本题考查圆锥侧面积的计算，解题时需先根据圆锥底面直径求出底面半径，再运用圆锥侧面积公式代入计算，最后匹配选项得出结果。
【解析】已知圆锥的底面直径为50 cm，因此底面半径$ r = 50÷2 = 25\ \mathrm{cm} $，母线长$ l = 40\ \mathrm{cm} $。根据圆锥侧面积公式$ S_{\mathrm{侧}} = π r l $，代入数值计算得：$ S_{\mathrm{侧}} = π×25×40 = 1000π\ \mathrm{cm}^2 $，对应选项C。
【答案】C
【知识点】圆锥侧面积计算
【点评】本题为圆锥侧面积的基础应用题，核心是牢记圆锥侧面积公式，明确底面半径与直径、母线长的关系，属于基础题型。
【难度系数】0.3
【解析】已知圆锥的底面直径为50 cm，因此底面半径$ r = 50÷2 = 25\ \mathrm{cm} $，母线长$ l = 40\ \mathrm{cm} $。根据圆锥侧面积公式$ S_{\mathrm{侧}} = π r l $，代入数值计算得：$ S_{\mathrm{侧}} = π×25×40 = 1000π\ \mathrm{cm}^2 $，对应选项C。
【答案】C
【知识点】圆锥侧面积计算
【点评】本题为圆锥侧面积的基础应用题，核心是牢记圆锥侧面积公式，明确底面半径与直径、母线长的关系，属于基础题型。
【难度系数】0.3
3. (2024 扬州市中考)若用半径为 10 cm 的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥底面圆的半径为
5
cm.答案
3. 5
解析
【分析】要解决这个问题，需明确：半圆形纸片围成圆锥侧面时，半圆的弧长等于圆锥底面圆的周长。先计算半圆的弧长，再利用圆的周长公式建立等式，即可求出圆锥底面圆的半径。
【解析】已知半圆形纸片的半径为10cm，半圆的弧长公式为$ l = π R $（R为半圆半径），则该弧长为$ π × 10 = 10π \, \mathrm{cm} $。设圆锥底面圆的半径为$ r \, \mathrm{cm} $，圆锥底面圆的周长等于半圆的弧长，根据圆的周长公式$ C = 2π r $，可得$ 2π r = 10π $，两边同时除以$ π $得$ 2r = 10 $，解得$ r = 5 $。
【答案】5
【知识点】圆锥侧面展开图、弧长计算、圆的周长公式
【点评】本题是中考基础题型，核心考查圆锥侧面展开图与底面圆的对应关系，解题关键是理解“侧面展开图的弧长等于底面圆周长”，难度较低，属于易得分题。
【难度系数】0.8
【解析】已知半圆形纸片的半径为10cm，半圆的弧长公式为$ l = π R $（R为半圆半径），则该弧长为$ π × 10 = 10π \, \mathrm{cm} $。设圆锥底面圆的半径为$ r \, \mathrm{cm} $，圆锥底面圆的周长等于半圆的弧长，根据圆的周长公式$ C = 2π r $，可得$ 2π r = 10π $，两边同时除以$ π $得$ 2r = 10 $，解得$ r = 5 $。
【答案】5
【知识点】圆锥侧面展开图、弧长计算、圆的周长公式
【点评】本题是中考基础题型，核心考查圆锥侧面展开图与底面圆的对应关系，解题关键是理解“侧面展开图的弧长等于底面圆周长”，难度较低，属于易得分题。
【难度系数】0.8
4. 如图，在 $△ ABC$ 中，$AC=3, AB=4$，边 $BC$ 上的高 $AD=2$。将 $△ ABC$ 绕着 $BC$ 所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为
14π
。答案
4. $14π$
解析
【分析】
要计算△ABC绕BC旋转一周所得几何体的表面积，首先需明确旋转后形成的几何体是两个共底面的圆锥，底面半径为BC边上的高AD，两个圆锥的母线分别为AB和AC。接下来利用圆锥侧面积公式，将两个圆锥的侧面积相加即可得到总表面积。
【解析】
△ABC绕BC所在直线旋转一周，得到的几何体是两个底面重合的圆锥，底面半径为AD=2，两个圆锥的母线长分别为AB=4和AC=3。
圆锥的侧面积公式为$ S_{侧} = π r l $（其中r为底面半径，l为母线长），因此总表面积为两个圆锥侧面积之和：
$S = π · AD · AB + π · AD · AC = π × 2 × 4 + π × 2 × 3 = 8π + 6π = 14π$
【答案】
$14π$
【知识点】
圆锥侧面积、旋转体表面积
【点评】
本题考查旋转体的表面积计算，核心是判断旋转后几何体的构成，再结合圆锥侧面积公式求解，属于基础题型，需牢记公式并准确分析几何关系。
【难度系数】
0.5
要计算△ABC绕BC旋转一周所得几何体的表面积，首先需明确旋转后形成的几何体是两个共底面的圆锥，底面半径为BC边上的高AD，两个圆锥的母线分别为AB和AC。接下来利用圆锥侧面积公式，将两个圆锥的侧面积相加即可得到总表面积。
【解析】
△ABC绕BC所在直线旋转一周，得到的几何体是两个底面重合的圆锥，底面半径为AD=2，两个圆锥的母线长分别为AB=4和AC=3。
圆锥的侧面积公式为$ S_{侧} = π r l $（其中r为底面半径，l为母线长），因此总表面积为两个圆锥侧面积之和：
$S = π · AD · AB + π · AD · AC = π × 2 × 4 + π × 2 × 3 = 8π + 6π = 14π$
【答案】
$14π$
【知识点】
圆锥侧面积、旋转体表面积
【点评】
本题考查旋转体的表面积计算，核心是判断旋转后几何体的构成，再结合圆锥侧面积公式求解，属于基础题型，需牢记公式并准确分析几何关系。
【难度系数】
0.5
5.（2024 徐州市中考）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平,所得扇形的面积为$4π\ \mathrm{cm}^{2}$,圆心角$θ$为$90°$,圆锥的底面圆的半径为
1
cm.答案
5. 1
解析
【分析】
要解决该问题，需明确圆锥侧面展开图（扇形）与圆锥的对应关系：扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。解题时，先通过扇形面积公式求出扇形半径（母线长），再结合弧长与底面周长的关系计算底面圆半径。
【解析】
1. 设扇形的半径（即圆锥的母线长）为$ R \, \mathrm{cm} $，根据扇形面积公式$ S = \frac{nπ R^2}{360} $（$ n $为圆心角度数），代入已知$ S=4π \, \mathrm{cm}^2 $、$ n=90° $：
$4π = \frac{90π R^2}{360}$
化简得：
$4π = \frac{π R^2}{4}$
两边同除以$ π $，解得$ R^2=16 $，即$ R=4 \, \mathrm{cm} $（半径取正值）。
2. 根据弧长公式$ l = \frac{nπ R}{180} $，代入$ n=90° $、$ R=4 \, \mathrm{cm} $，计算扇形弧长：
$l = \frac{90π × 4}{180} = 2π \, \mathrm{cm}$
3. 扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，设圆锥底面圆半径为$ r \, \mathrm{cm} $，由圆的周长公式$ C=2π r $：
$2π r = 2π$
解得$ r=1 \, \mathrm{cm} $。
【答案】
1
【知识点】
圆锥侧面展开图、扇形弧长与面积
【点评】
本题考查圆锥侧面展开图的基础计算，核心是掌握扇形与圆锥的对应关系，属于中考常见基础题型，侧重公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
要解决该问题，需明确圆锥侧面展开图（扇形）与圆锥的对应关系：扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。解题时，先通过扇形面积公式求出扇形半径（母线长），再结合弧长与底面周长的关系计算底面圆半径。
【解析】
1. 设扇形的半径（即圆锥的母线长）为$ R \, \mathrm{cm} $，根据扇形面积公式$ S = \frac{nπ R^2}{360} $（$ n $为圆心角度数），代入已知$ S=4π \, \mathrm{cm}^2 $、$ n=90° $：
$4π = \frac{90π R^2}{360}$
化简得：
$4π = \frac{π R^2}{4}$
两边同除以$ π $，解得$ R^2=16 $，即$ R=4 \, \mathrm{cm} $（半径取正值）。
2. 根据弧长公式$ l = \frac{nπ R}{180} $，代入$ n=90° $、$ R=4 \, \mathrm{cm} $，计算扇形弧长：
$l = \frac{90π × 4}{180} = 2π \, \mathrm{cm}$
3. 扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，设圆锥底面圆半径为$ r \, \mathrm{cm} $，由圆的周长公式$ C=2π r $：
$2π r = 2π$
解得$ r=1 \, \mathrm{cm} $。
【答案】
1
【知识点】
圆锥侧面展开图、扇形弧长与面积
【点评】
本题考查圆锥侧面展开图的基础计算，核心是掌握扇形与圆锥的对应关系，属于中考常见基础题型，侧重公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
6. (2024 广东省中考)综合与实践.
【主题】滤纸与漏斗.
【素材】如图1所示:
①一张直径为 10 cm 的圆形滤纸;
②一只漏斗口直径与母线均为 7 cm 的圆锥形过滤漏斗.
【实践操作】
步骤1:取一张滤纸;
步骤2:按如图2所示步骤折叠好滤纸;
步骤3:将其中一层撑开,围成圆锥形;
步骤4:将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中.
【实践探索】
(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)? 用你所学的数学知识说明.
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时,求滤纸围成的圆锥的体积(结果保留$π$).
【主题】滤纸与漏斗.
【素材】如图1所示:
①一张直径为 10 cm 的圆形滤纸;
②一只漏斗口直径与母线均为 7 cm 的圆锥形过滤漏斗.
【实践操作】
步骤1:取一张滤纸;
步骤2:按如图2所示步骤折叠好滤纸;
步骤3:将其中一层撑开,围成圆锥形;
步骤4:将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中.
【实践探索】
(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)? 用你所学的数学知识说明.
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时,求滤纸围成的圆锥的体积(结果保留$π$).
答案
6. 解:(1)滤纸能紧贴此漏斗内壁.理由如下:
设圆锥底面圆半径为 $r$,母线长为 $R$.由 $2π r=\dfrac{nπ R}{180}$,得 $\dfrac{n}{360}=\dfrac{r}{R}$. 图 1 中,滤纸围成的圆锥侧面展开图扇形的圆心角 $n_1=90°×2=180°$;图 2 中,当滤纸能紧贴时,$\dfrac{r}{R}=\dfrac{3.5}{7}=\dfrac{1}{2}$,所以 $n_2=180°$. 因为 $n_1=n_2$,所以滤纸能紧贴此漏斗内壁.
(2)如图 1,由(1)知, $CD=DE=CE=5\ \mathrm{cm}$,所以 $∠ CDE=60°$. 过点 $C$ 作 $CF⊥ DE$ 于点 $F$,则 $DF=\dfrac{1}{2}DE=\dfrac{5}{2}\ \mathrm{cm}$. 在 $\mathrm{Rt}△ CDF$ 中,由勾股定理,得 $CF=\sqrt{CD^2-DF^2}=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}$,所以圆锥的体积
$V=π×(\dfrac{5}{2})^2×\dfrac{5\sqrt{3}}{2}×\dfrac{1}{3}=\dfrac{125\sqrt{3}}{24}π(\mathrm{cm}^3)$.
答:圆锥的体积是 $\dfrac{125\sqrt{3}}{24}π\ \mathrm{cm}^3$.
解析
【分析】
要判断滤纸是否紧贴漏斗内壁，需利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长的关系，计算滤纸围成的圆锥与漏斗圆锥的侧面展开图的圆心角，比较二者是否相等；求圆锥体积需先确定底面半径和高，结合勾股定理计算高，再用圆锥体积公式求解。
【解析】
(1) 滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由如下：
设圆锥底面圆半径为$r$，母线长为$R$，根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长，有$2π r = \dfrac{nπ R}{180}$，整理得圆心角公式$n = \dfrac{360r}{R}$。
对于滤纸围成的圆锥，其侧面展开图为圆形滤纸的一部分，计算得圆心角$n_1 = 180°$；
对于漏斗的圆锥，已知漏斗口直径为7cm，故底面半径$r = \dfrac{7}{2} = 3.5\ \mathrm{cm}$，母线长$R = 7\ \mathrm{cm}$，代入圆心角公式得$n_2 = \dfrac{360 × 3.5}{7} = 180°$。
因为$n_1 = n_2$，所以滤纸能紧贴此漏斗内壁。
(2) 当滤纸紧贴漏斗内壁时，求圆锥体积：
由题意，圆锥底面半径$r = \dfrac{5}{2}\ \mathrm{cm}$，圆锥的高$h$可由勾股定理计算：在直角三角形中，母线长为5cm，底面半径为$\dfrac{5}{2}\ \mathrm{cm}$，则$h = \sqrt{5^2 - (\dfrac{5}{2})^2} = \dfrac{5\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}$。
根据圆锥体积公式$V = \dfrac{1}{3}π r^2 h$，代入得：
$V = \dfrac{1}{3}π × (\dfrac{5}{2})^2 × \dfrac{5\sqrt{3}}{2} = \dfrac{125\sqrt{3}}{24}π\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】
(1) 滤纸能紧贴此漏斗内壁；
(2) 圆锥的体积是$\dfrac{125\sqrt{3}}{24}π\ \mathrm{cm}^3$。
【知识点】
圆锥侧面展开图、圆锥体积计算
【点评】
本题结合实际操作考查圆锥的核心知识，需理解圆锥侧面展开图与底面的关系，掌握圆心角和体积的计算方法，是中考常见的综合实践类题目，注重知识的应用能力。
【难度系数】
0.5
要判断滤纸是否紧贴漏斗内壁，需利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长的关系，计算滤纸围成的圆锥与漏斗圆锥的侧面展开图的圆心角，比较二者是否相等；求圆锥体积需先确定底面半径和高，结合勾股定理计算高，再用圆锥体积公式求解。
【解析】
(1) 滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由如下：
设圆锥底面圆半径为$r$，母线长为$R$，根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长，有$2π r = \dfrac{nπ R}{180}$，整理得圆心角公式$n = \dfrac{360r}{R}$。
对于滤纸围成的圆锥，其侧面展开图为圆形滤纸的一部分，计算得圆心角$n_1 = 180°$；
对于漏斗的圆锥，已知漏斗口直径为7cm，故底面半径$r = \dfrac{7}{2} = 3.5\ \mathrm{cm}$，母线长$R = 7\ \mathrm{cm}$，代入圆心角公式得$n_2 = \dfrac{360 × 3.5}{7} = 180°$。
因为$n_1 = n_2$，所以滤纸能紧贴此漏斗内壁。
(2) 当滤纸紧贴漏斗内壁时，求圆锥体积：
由题意，圆锥底面半径$r = \dfrac{5}{2}\ \mathrm{cm}$，圆锥的高$h$可由勾股定理计算：在直角三角形中，母线长为5cm，底面半径为$\dfrac{5}{2}\ \mathrm{cm}$，则$h = \sqrt{5^2 - (\dfrac{5}{2})^2} = \dfrac{5\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}$。
根据圆锥体积公式$V = \dfrac{1}{3}π r^2 h$，代入得：
$V = \dfrac{1}{3}π × (\dfrac{5}{2})^2 × \dfrac{5\sqrt{3}}{2} = \dfrac{125\sqrt{3}}{24}π\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】
(1) 滤纸能紧贴此漏斗内壁；
(2) 圆锥的体积是$\dfrac{125\sqrt{3}}{24}π\ \mathrm{cm}^3$。
【知识点】
圆锥侧面展开图、圆锥体积计算
【点评】
本题结合实际操作考查圆锥的核心知识，需理解圆锥侧面展开图与底面的关系，掌握圆心角和体积的计算方法，是中考常见的综合实践类题目，注重知识的应用能力。
【难度系数】
0.5
