登录
1. 工人师傅要从一块圆形铁皮上剪下一个圆心角为$90^{\circ }$的扇形,如图,已知$\odot O$的半径为10,扇形$ABC$的圆心角为$90^{\circ }$,则该扇形的半径$AB$为（
A.$10\sqrt {2}$
B.$10\sqrt {3}$
C.$5\sqrt {2}$
D.$5\sqrt {3}$
A
）A.$10\sqrt {2}$
B.$10\sqrt {3}$
C.$5\sqrt {2}$
D.$5\sqrt {3}$
答案
1. A 提示:如图,连接 $BC$. 因为 $∠ BAC=90°$,所以 $BC$ 是 $\odot O$ 的直径. 因为 $\odot O$ 的半径为 10,所以 $BC=20$. 因为 $AB=AC$,$∠ BAC=90°$,所以 $△ ABC$ 是等腰直角三角形,所以 $AB=\dfrac{\sqrt{2}}{2}BC=10\sqrt{2}$.
解析
【分析】要解决这个问题，我们可以利用圆周角定理和等腰直角三角形的性质。首先连接BC，根据“90°的圆周角所对的弦是圆的直径”，可确定BC是⊙O的直径，进而得到BC的长度；再结合扇形ABC中AB=AC且∠BAC=90°，可知△ABC是等腰直角三角形，由此可计算出AB的长度。
【解析】连接BC，如图所示。
因为∠BAC=90°，根据圆周角定理：90°的圆周角所对的弦是圆的直径，所以BC是⊙O的直径。
已知⊙O的半径为10，因此BC=2×10=20。
又因为扇形ABC中AB=AC，且∠BAC=90°，所以△ABC是等腰直角三角形。
在等腰直角三角形中，直角边长度为斜边长度的$\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×20=10$\sqrt{2}$。
【答案】A
【知识点】圆周角定理、等腰直角三角形性质
【点评】本题考查圆周角定理与等腰直角三角形的边长计算，属于基础几何题，核心是利用90°圆周角确定直径，再结合等腰直角三角形的边长关系求解，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】连接BC，如图所示。
因为∠BAC=90°，根据圆周角定理：90°的圆周角所对的弦是圆的直径，所以BC是⊙O的直径。
已知⊙O的半径为10，因此BC=2×10=20。
又因为扇形ABC中AB=AC，且∠BAC=90°，所以△ABC是等腰直角三角形。
在等腰直角三角形中，直角边长度为斜边长度的$\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×20=10$\sqrt{2}$。
【答案】A
【知识点】圆周角定理、等腰直角三角形性质
【点评】本题考查圆周角定理与等腰直角三角形的边长计算，属于基础几何题，核心是利用90°圆周角确定直径，再结合等腰直角三角形的边长关系求解，难度适中。
【难度系数】0.6
2. 用一个直径为 10 cm 的玻璃球和一个圆锥形的牛皮纸纸帽制作一个不倒翁玩具,不倒翁轴截面如图所示,圆锥的母线 AB 与$\odot O$相切,不倒翁的顶点 A 到桌面 L 的最大距离是 18 cm. 若将圆锥形纸帽表面全涂上颜色,则涂色部分的面积为 （
A.$60π \ \mathrm{cm^2}$
B.$\dfrac{600π}{13}\ \mathrm{cm^2}$
C.$\dfrac{720π}{13}\ \mathrm{cm^2}$
D.$72π \ \mathrm{cm^2}$
C
）A.$60π \ \mathrm{cm^2}$
B.$\dfrac{600π}{13}\ \mathrm{cm^2}$
C.$\dfrac{720π}{13}\ \mathrm{cm^2}$
D.$72π \ \mathrm{cm^2}$
答案
2. C 提示:设题图中的另一个切点为 $E$,连接 $BE$ 交 $OA$ 于点 $D$,连接 $OB$. 由题意,得 $OB=5\ \mathrm{cm}$,$AO=18-5=13(\mathrm{cm})$. 在 $\mathrm{Rt}△ OBA$ 中,由勾股定理,得 $AB=\sqrt{AO^2-OB^2}=12\ \mathrm{cm}$. 因为 $\dfrac{1}{2}BD· AO=\dfrac{1}{2}AB· OB$,所以 $BD=\dfrac{60}{13}\ \mathrm{cm}$. 所以涂色部分的面积为 $π×\dfrac{60}{13}×12=\dfrac{720π}{13}(\mathrm{cm}^2)$.
解析
【分析】
要解决这个问题，需逐步求出圆锥的母线长和底面半径，再利用圆锥侧面积公式计算涂色部分面积。步骤如下：
1. 确定圆O的半径与AO长度：玻璃球直径10cm，故半径OB=5cm；顶点A到桌面L的距离为18cm，桌面L是圆O与桌面的切点，因此O到桌面的距离为5cm，得AO=18-5=13cm。
2. 求母线AB：AB是圆O的切线，故OB⊥AB，△OBA为直角三角形，用勾股定理计算AB长度。
3. 求圆锥底面半径：设圆锥底面直径为BE，BE垂直轴OA于D，利用△OBD与△OAB相似，求出底面半径BD。
4. 计算涂色面积：根据圆锥侧面积公式πrl，代入母线长和底面半径得到结果。
【解析】
设圆O与圆锥的另一个切点为E，连接BE交OA于点D，连接OB。
由题意得：玻璃球直径为10cm，故OB=5cm；顶点A到桌面L的最大距离为18cm，因此O到桌面的距离为5cm，所以AO=18-5=13cm。
因为AB是⊙O的切线，所以OB⊥AB，在Rt△OBA中，由勾股定理：
AB = √(AO² - OB²) = √(13² - 5²) = √144 = 12(cm)。
又因为BE是圆锥底面的直径，圆锥的轴为OA，故BE⊥OA，△OBD∽△OAB（公共角∠BOD，均为直角三角形），根据相似三角形性质：
OB/OA = BD/AB，代入OB=5，OA=13，AB=12，得：
5/13 = BD/12 → BD = 60/13 (cm)，即圆锥底面半径r=60/13 cm。
圆锥母线长l=AB=12cm，根据圆锥侧面积公式S=πrl，涂色部分面积：
S = π×(60/13)×12 = 720π/13 (cm²)。
【答案】
C
【知识点】
圆锥侧面积、切线性质、相似三角形
【点评】
本题是几何综合题，结合圆的切线性质、相似三角形和圆锥侧面积公式，关键是理清线段关系，求出圆锥的底面半径和母线长，考查学生的逻辑推理与计算能力。
【难度系数】
0.4
要解决这个问题，需逐步求出圆锥的母线长和底面半径，再利用圆锥侧面积公式计算涂色部分面积。步骤如下：
1. 确定圆O的半径与AO长度：玻璃球直径10cm，故半径OB=5cm；顶点A到桌面L的距离为18cm，桌面L是圆O与桌面的切点，因此O到桌面的距离为5cm，得AO=18-5=13cm。
2. 求母线AB：AB是圆O的切线，故OB⊥AB，△OBA为直角三角形，用勾股定理计算AB长度。
3. 求圆锥底面半径：设圆锥底面直径为BE，BE垂直轴OA于D，利用△OBD与△OAB相似，求出底面半径BD。
4. 计算涂色面积：根据圆锥侧面积公式πrl，代入母线长和底面半径得到结果。
【解析】
设圆O与圆锥的另一个切点为E，连接BE交OA于点D，连接OB。
由题意得：玻璃球直径为10cm，故OB=5cm；顶点A到桌面L的最大距离为18cm，因此O到桌面的距离为5cm，所以AO=18-5=13cm。
因为AB是⊙O的切线，所以OB⊥AB，在Rt△OBA中，由勾股定理：
AB = √(AO² - OB²) = √(13² - 5²) = √144 = 12(cm)。
又因为BE是圆锥底面的直径，圆锥的轴为OA，故BE⊥OA，△OBD∽△OAB（公共角∠BOD，均为直角三角形），根据相似三角形性质：
OB/OA = BD/AB，代入OB=5，OA=13，AB=12，得：
5/13 = BD/12 → BD = 60/13 (cm)，即圆锥底面半径r=60/13 cm。
圆锥母线长l=AB=12cm，根据圆锥侧面积公式S=πrl，涂色部分面积：
S = π×(60/13)×12 = 720π/13 (cm²)。
【答案】
C
【知识点】
圆锥侧面积、切线性质、相似三角形
【点评】
本题是几何综合题，结合圆的切线性质、相似三角形和圆锥侧面积公式，关键是理清线段关系，求出圆锥的底面半径和母线长，考查学生的逻辑推理与计算能力。
【难度系数】
0.4
3. 如图，$C$ 为扇形 $AOB$ 的半径 $OB$ 上一点，将$△ OAC$ 沿 $AC$ 折叠，点 $O$ 恰好落在 $\overset{\frown}{AB}$ 上的点 $D$ 处，且 $l_{\overset{\frown}{BD}}:l_{\overset{\frown}{AD}}=1:3$（$l_{\overset{\frown}{BD}}$ 表示$\overset{\frown}{BD}$ 的长）. 若将扇形 $AOB$ 围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆半径与母线长的比为
（
A.$1:3$
B.$1:π$
C.$1:4$
D.$2:9$
（
D
）A.$1:3$
B.$1:π$
C.$1:4$
D.$2:9$
答案
3. D 提示:连接 $OD$ 交 $AC$ 于点 $M$. 由折叠,得 $AD=OA=OD$,所以 $△ OAD$ 是等边三角形,所以 $∠ AOD=60°$. 因为 $l_{\overset{\frown}{BD}}:l_{\overset{\frown}{AD}}=1:3$,所以 $∠ BOD=20°$,所以 $∠ AOB=∠ AOD+∠ BOD=80°$. 设该圆锥的底面圆半径为 $r$,母线长为 $l$. 因为 $\dfrac{80π l}{180}=2π r$,所以 $r:l=2:9$.
解析
【分析】
首先连接OD，利用折叠性质得到OA=AD，结合扇形半径OA=OD，推出△OAD为等边三角形，求出∠AOD的度数；再根据弧长比等于对应圆心角的比，算出∠BOD的度数，进而得到扇形AOB的圆心角∠AOB；最后利用圆锥底面周长等于侧面扇形的弧长，结合弧长公式建立底面半径与母线长的关系，求出比值。
【解析】
连接OD，交AC于点M。
由折叠的性质得：OA=AD，又OA、OD都是扇形AOB的半径，故OA=OD，因此OA=OD=AD，即△OAD是等边三角形，所以∠AOD=60°。
因为弧长与对应圆心角成正比，已知$\overset{\frown}{BD}:\overset{\frown}{AD}=1:3$，所以$∠ BOD:∠ AOD=1:3$，则$∠ BOD=\frac{1}{3}×60°=20°$，因此扇形AOB的圆心角$∠ AOB=∠ AOD+∠ BOD=60°+20°=80°$。
设圆锥底面圆半径为$r$，母线长为$l$（即扇形半径），圆锥底面周长等于侧面扇形的弧长，根据弧长公式：
$\frac{80π l}{180}=2π r$，约去$π$化简得：$\frac{4l}{9}=2r$，即$r=\frac{2l}{9}$，故$r:l=2:9$。
【答案】
D
【知识点】
折叠性质、弧长公式、圆锥相关计算
【点评】
本题结合折叠性质与圆锥侧面展开图知识，需通过弧长与圆心角的关系确定扇形圆心角，再利用圆锥底面周长等于侧面弧长建立等式，考查几何性质的综合应用。
【难度系数】
0.4
首先连接OD，利用折叠性质得到OA=AD，结合扇形半径OA=OD，推出△OAD为等边三角形，求出∠AOD的度数；再根据弧长比等于对应圆心角的比，算出∠BOD的度数，进而得到扇形AOB的圆心角∠AOB；最后利用圆锥底面周长等于侧面扇形的弧长，结合弧长公式建立底面半径与母线长的关系，求出比值。
【解析】
连接OD，交AC于点M。
由折叠的性质得：OA=AD，又OA、OD都是扇形AOB的半径，故OA=OD，因此OA=OD=AD，即△OAD是等边三角形，所以∠AOD=60°。
因为弧长与对应圆心角成正比，已知$\overset{\frown}{BD}:\overset{\frown}{AD}=1:3$，所以$∠ BOD:∠ AOD=1:3$，则$∠ BOD=\frac{1}{3}×60°=20°$，因此扇形AOB的圆心角$∠ AOB=∠ AOD+∠ BOD=60°+20°=80°$。
设圆锥底面圆半径为$r$，母线长为$l$（即扇形半径），圆锥底面周长等于侧面扇形的弧长，根据弧长公式：
$\frac{80π l}{180}=2π r$，约去$π$化简得：$\frac{4l}{9}=2r$，即$r=\frac{2l}{9}$，故$r:l=2:9$。
【答案】
D
【知识点】
折叠性质、弧长公式、圆锥相关计算
【点评】
本题结合折叠性质与圆锥侧面展开图知识，需通过弧长与圆心角的关系确定扇形圆心角，再利用圆锥底面周长等于侧面弧长建立等式，考查几何性质的综合应用。
【难度系数】
0.4
4. 如图是一个纸杯,它的母线 AC 和 EF 延长后形成的立体图形是圆锥.该圆锥的侧面展开图是扇形 AOB. 经测量,纸杯上开口圆的直径为 6 cm,下底面直径为 4 cm,母线长$EF=8\ \mathrm{cm}$,则这个纸杯的表面积是
44π
$\mathrm{cm}^{2}$(结果保留$π$).答案
4. $44π$ 提示:由题意可知, $\overset{\frown}{BA}=6π\ \mathrm{cm}$,$\overset{\frown}{CD}=4π\ \mathrm{cm}$. 设 $∠ AOB=n°$,$AO=R\ \mathrm{cm}$,则 $CO=(R-8)\ \mathrm{cm}$. 由弧长公式,得 $\dfrac{nπ R}{180}=6π$,$\dfrac{nπ(R-8)}{180}=4π$,
所以 $\begin{cases}6×180=nR,\\4×180=nR-8n,\end{cases}$ 解得 $n=45$,$R=24$,故扇形 $AOB$ 的圆心角是 $45°$. 因为 $R=24$,$R-8=16$,所以 $S_{\mathrm{扇形}COD}=\dfrac{1}{2}×4π×16=32π(\mathrm{cm}^2)$,$S_{\mathrm{扇形}AOB}=\dfrac{1}{2}×6π×24=72π(\mathrm{cm}^2)$,所以纸杯侧面积$=S_{\mathrm{扇形}AOB}-S_{\mathrm{扇形}COD}=72π-32π=40π(\mathrm{cm}^2)$,纸杯底面积$=π×2^2=4π(\mathrm{cm}^2)$,所以纸杯表面积$=40π+4π=44π(\mathrm{cm}^2)$.
所以 $\begin{cases}6×180=nR,\\4×180=nR-8n,\end{cases}$ 解得 $n=45$,$R=24$,故扇形 $AOB$ 的圆心角是 $45°$. 因为 $R=24$,$R-8=16$,所以 $S_{\mathrm{扇形}COD}=\dfrac{1}{2}×4π×16=32π(\mathrm{cm}^2)$,$S_{\mathrm{扇形}AOB}=\dfrac{1}{2}×6π×24=72π(\mathrm{cm}^2)$,所以纸杯侧面积$=S_{\mathrm{扇形}AOB}-S_{\mathrm{扇形}COD}=72π-32π=40π(\mathrm{cm}^2)$,纸杯底面积$=π×2^2=4π(\mathrm{cm}^2)$,所以纸杯表面积$=40π+4π=44π(\mathrm{cm}^2)$.
解析
【分析】
要计算纸杯的表面积，需明确其由侧面积和下底面积组成：侧面积是展开图中扇环的面积，即大扇形AOB的面积减去小扇形COD的面积；下底面积是底面小圆的面积。解题时，先利用上下两个圆的周长等于对应弧长，结合弧长公式求出扇形的圆心角和半径，再计算扇环面积，最后加上底面积即可。
【解析】
1. 确定弧长：上开口圆的周长为$π × 6 = 6π \ \mathrm{cm}$，即$\overset{\frown}{AB}=6π \ \mathrm{cm}$；下底面圆的周长为$π × 4 =4π \ \mathrm{cm}$，即$\overset{\frown}{CD}=4π \ \mathrm{cm}$。
2. 设未知数并列方程：设∠ AOB = n°，$AO = R \ \mathrm{cm}$，则$CO = (R -8)\ \mathrm{cm}$。根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，可得：
$ \begin{cases} \frac{nπ R}{180}=6π \\ \frac{nπ (R-8)}{180}=4π \end{cases} $化简得：$\begin{cases} nR=1080 \\ n(R-8)=720 \end{cases}$，将nR=1080代入第二个方程，得1080 -8n=720，解得n=45，进而$R=\frac{1080}{45}=24$，故$CO=24-8=16\ \mathrm{cm}$。3. 计算扇形面积：扇形面积公式为$S=\frac{1}{2}lR$，则$S_{\mathrm{扇形}AOB}=\frac{1}{2}×6π×24=72π \ \mathrm{cm}^2$，$S_{\mathrm{扇形}COD}=\frac{1}{2}×4π×16=32π \ \mathrm{cm}^2$，因此侧面积为$72π -32π=40π \ \mathrm{cm}^2$。4. 计算底面积：下底面圆半径为$\frac{4}{2}=2\ \mathrm{cm}$，故底面积为$π×2^2=4π \ \mathrm{cm}^2$。5. 总表面积：$40π +4π=44π \ \mathrm{cm}^2$。【答案】44π
【知识点】
弧长公式，扇形面积计算，圆的周长与面积
【点评】
本题是圆锥侧面展开图的实际应用，核心是利用“圆的周长等于对应弧长”建立方程求解扇形参数，进而计算扇环面积，需熟练掌握弧长、扇形面积公式，属于中等难度的几何应用题。
【难度系数】
0.5
要计算纸杯的表面积，需明确其由侧面积和下底面积组成：侧面积是展开图中扇环的面积，即大扇形AOB的面积减去小扇形COD的面积；下底面积是底面小圆的面积。解题时，先利用上下两个圆的周长等于对应弧长，结合弧长公式求出扇形的圆心角和半径，再计算扇环面积，最后加上底面积即可。
【解析】
1. 确定弧长：上开口圆的周长为$π × 6 = 6π \ \mathrm{cm}$，即$\overset{\frown}{AB}=6π \ \mathrm{cm}$；下底面圆的周长为$π × 4 =4π \ \mathrm{cm}$，即$\overset{\frown}{CD}=4π \ \mathrm{cm}$。
2. 设未知数并列方程：设∠ AOB = n°，$AO = R \ \mathrm{cm}$，则$CO = (R -8)\ \mathrm{cm}$。根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，可得：
$ \begin{cases} \frac{nπ R}{180}=6π \\ \frac{nπ (R-8)}{180}=4π \end{cases} $化简得：$\begin{cases} nR=1080 \\ n(R-8)=720 \end{cases}$，将nR=1080代入第二个方程，得1080 -8n=720，解得n=45，进而$R=\frac{1080}{45}=24$，故$CO=24-8=16\ \mathrm{cm}$。3. 计算扇形面积：扇形面积公式为$S=\frac{1}{2}lR$，则$S_{\mathrm{扇形}AOB}=\frac{1}{2}×6π×24=72π \ \mathrm{cm}^2$，$S_{\mathrm{扇形}COD}=\frac{1}{2}×4π×16=32π \ \mathrm{cm}^2$，因此侧面积为$72π -32π=40π \ \mathrm{cm}^2$。4. 计算底面积：下底面圆半径为$\frac{4}{2}=2\ \mathrm{cm}$，故底面积为$π×2^2=4π \ \mathrm{cm}^2$。5. 总表面积：$40π +4π=44π \ \mathrm{cm}^2$。【答案】44π
【知识点】
弧长公式，扇形面积计算，圆的周长与面积
【点评】
本题是圆锥侧面展开图的实际应用，核心是利用“圆的周长等于对应弧长”建立方程求解扇形参数，进而计算扇环面积，需熟练掌握弧长、扇形面积公式，属于中等难度的几何应用题。
【难度系数】
0.5
5. 王师傅要制作一个圆锥模型,操作规则:在一块边长为 16 cm 的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆,使得扇形围成圆锥的侧面时,圆恰好是该圆锥的底面.王师傅首先设计了如图所示的方案一,但发现这个方案不可行,于是他调整了扇形和圆的半径,设计了如图所示的方案二(两个方案的图中,圆与正方形相邻的两边及扇形的弧均相切.方案一中扇形的弧与正方形的两边相切).
(1)请说明方案一不可行的理由.
(2)判断方案二是否可行.若可行,请求出圆锥的母线长及其底面圆的半径;若不可行,请说明理由.
(1)请说明方案一不可行的理由.
(2)判断方案二是否可行.若可行,请求出圆锥的母线长及其底面圆的半径;若不可行,请说明理由.
答案
5. 解:(1)连接 $AC$,则易证 $A,M,O_1,C$ 四点共线. 设 $\odot O_1$ 的半径为 $r\ \mathrm{cm}$,则 $\dfrac{90}{180}×π×16=2π r$,解得 $r=4$. 设 $CD$ 与 $\odot O_1$ 相切于点 $H$,连接 $O_1H$,则 $O_1H⊥ CD$,且 $O_1H=4\ \mathrm{cm}$,所以 $O_1C=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}(\mathrm{cm})$. 因为 $AM=AB=16\ \mathrm{cm}$,所以制作这样的圆锥实际需要正方形纸片对角线的长为 $(16+4+4\sqrt{2})\mathrm{cm}=(20+4\sqrt{2})\mathrm{cm}$. 因为 $20+4\sqrt{2}＞16\sqrt{2}$,所以方案一不可行.
(2)方案二可行.
设圆锥的母线长为 $l\ \mathrm{cm}$,圆锥底面圆的半径为 $r\ \mathrm{cm}$. 根据题意,得 $(1+\sqrt{2})r+l=16\sqrt{2}$ ①,$2π r=\dfrac{90}{180}π l$ ②. 联立①②可得,$l=\dfrac{320\sqrt{2}-128}{23}$,$r=\dfrac{80\sqrt{2}-32}{23}$.
答:所求圆锥的母线长为 $\dfrac{320\sqrt{2}-128}{23}\ \mathrm{cm}$,底面圆的半径为 $\dfrac{80\sqrt{2}-32}{23}\ \mathrm{cm}$.
(2)方案二可行.
设圆锥的母线长为 $l\ \mathrm{cm}$,圆锥底面圆的半径为 $r\ \mathrm{cm}$. 根据题意,得 $(1+\sqrt{2})r+l=16\sqrt{2}$ ①,$2π r=\dfrac{90}{180}π l$ ②. 联立①②可得,$l=\dfrac{320\sqrt{2}-128}{23}$,$r=\dfrac{80\sqrt{2}-32}{23}$.
答:所求圆锥的母线长为 $\dfrac{320\sqrt{2}-128}{23}\ \mathrm{cm}$,底面圆的半径为 $\dfrac{80\sqrt{2}-32}{23}\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】
要判断方案一是否可行，需先根据扇形弧长等于圆锥底面圆周长，算出方案一中底面圆半径，再结合圆与正方形边、扇形弧相切的性质，计算制作圆锥所需正方形对角线长度，与实际正方形对角线比较即可判断；方案二需设圆锥母线长和底面圆半径，利用弧长与周长的关系、圆与正方形边及扇形弧相切的几何关系，列方程求解，验证是否符合正方形边长条件。
【解析】
(1) 方案一：
因为扇形弧与正方形两边相切，所以扇形为圆心A、半径16cm的四分之一圆。设⊙O₁半径为r cm，扇形弧长为$\frac{90π×16}{180}=8π$，由圆锥底面周长等于扇形弧长得$2π r=8π$，解得$r=4$。
连接AC，A、M、O₁、C共线，⊙O₁与BC、CD相切，故O₁到BC、CD距离均为r=4，得$O₁C=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$。
制作圆锥所需正方形对角线长为$AM + MO₁ + O₁C=16+16+4\sqrt{2}=32+4\sqrt{2}$ cm，而正方形实际对角线长为$16\sqrt{2}$ cm。
因$32+4\sqrt{2}＞16\sqrt{2}$，故方案一不可行。
(2) 方案二可行，设圆锥母线长为l cm，底面圆半径为r cm。
根据题意：
① 扇形弧长等于底面圆周长：$\frac{90π l}{180}=2π r$，化简得$l=4r$；
② 几何关系：⊙O₂与BC、CD相切，结合正方形对角线长度，得$(1+\sqrt{2})r + l=16\sqrt{2}$；
联立方程：将$l=4r$代入$(1+\sqrt{2})r + l=16\sqrt{2}$，
得$(1+\sqrt{2})r +4r=16\sqrt{2}$，即$r(5+\sqrt{2})=16\sqrt{2}$，
解得$r=\frac{16\sqrt{2}}{5+\sqrt{2}}=\frac{16\sqrt{2}(5-\sqrt{2})}{(5+\sqrt{2})(5-\sqrt{2})}=\frac{80\sqrt{2}-32}{23}$，
则$l=4r=\frac{320\sqrt{2}-128}{23}$。
【答案】
方案一不可行；方案二可行，圆锥的母线长为$\frac{320\sqrt{2}-128}{23}\ \mathrm{cm}$，底面圆的半径为$\frac{80\sqrt{2}-32}{23}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
圆锥侧面展开图、圆与直线相切、正方形性质
【点评】
本题考查圆锥侧面展开图的性质，需结合几何图形的相切关系、弧长与周长的等量关系列方程求解，关键是理清各线段间的位置关系，难度中等，需具备一定的几何分析能力。
【难度系数】
0.5
要判断方案一是否可行，需先根据扇形弧长等于圆锥底面圆周长，算出方案一中底面圆半径，再结合圆与正方形边、扇形弧相切的性质，计算制作圆锥所需正方形对角线长度，与实际正方形对角线比较即可判断；方案二需设圆锥母线长和底面圆半径，利用弧长与周长的关系、圆与正方形边及扇形弧相切的几何关系，列方程求解，验证是否符合正方形边长条件。
【解析】
(1) 方案一：
因为扇形弧与正方形两边相切，所以扇形为圆心A、半径16cm的四分之一圆。设⊙O₁半径为r cm，扇形弧长为$\frac{90π×16}{180}=8π$，由圆锥底面周长等于扇形弧长得$2π r=8π$，解得$r=4$。
连接AC，A、M、O₁、C共线，⊙O₁与BC、CD相切，故O₁到BC、CD距离均为r=4，得$O₁C=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$。
制作圆锥所需正方形对角线长为$AM + MO₁ + O₁C=16+16+4\sqrt{2}=32+4\sqrt{2}$ cm，而正方形实际对角线长为$16\sqrt{2}$ cm。
因$32+4\sqrt{2}＞16\sqrt{2}$，故方案一不可行。
(2) 方案二可行，设圆锥母线长为l cm，底面圆半径为r cm。
根据题意：
① 扇形弧长等于底面圆周长：$\frac{90π l}{180}=2π r$，化简得$l=4r$；
② 几何关系：⊙O₂与BC、CD相切，结合正方形对角线长度，得$(1+\sqrt{2})r + l=16\sqrt{2}$；
联立方程：将$l=4r$代入$(1+\sqrt{2})r + l=16\sqrt{2}$，
得$(1+\sqrt{2})r +4r=16\sqrt{2}$，即$r(5+\sqrt{2})=16\sqrt{2}$，
解得$r=\frac{16\sqrt{2}}{5+\sqrt{2}}=\frac{16\sqrt{2}(5-\sqrt{2})}{(5+\sqrt{2})(5-\sqrt{2})}=\frac{80\sqrt{2}-32}{23}$，
则$l=4r=\frac{320\sqrt{2}-128}{23}$。
【答案】
方案一不可行；方案二可行，圆锥的母线长为$\frac{320\sqrt{2}-128}{23}\ \mathrm{cm}$，底面圆的半径为$\frac{80\sqrt{2}-32}{23}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
圆锥侧面展开图、圆与直线相切、正方形性质
【点评】
本题考查圆锥侧面展开图的性质，需结合几何图形的相切关系、弧长与周长的等量关系列方程求解，关键是理清各线段间的位置关系，难度中等，需具备一定的几何分析能力。
【难度系数】
0.5
