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14.如图，$△ ABC$的两外角平分线相交于点$D$，$∠ A=50°$，则$∠ D=$
65°
答案
14.65°
解析
【分析】
要计算∠D的度数，我们可以按照以下思路推导：首先根据△ABC的内角和以及已知的∠A，先求出∠ABC与∠ACB的和，再结合邻补角的性质算出两个外角的总度数；接着利用角平分线的定义，求出△DBC中∠DBC与∠DCB的和；最后在△DBC中利用内角和定理即可算出∠D的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，已知∠A=50°，可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 50° = 130°$
△ABC中，$∠ ABC$的邻补角、$∠ ACB$的邻补角就是点B、C处的两个外角，两个外角的和为：
$(180° - ∠ ABC) + (180° - ∠ ACB) = 360° - (∠ ABC + ∠ ACB) = 360° - 130° = 230°$
∵BD、CD分别是这两个外角的角平分线
∴$∠ DBC = \frac{1}{2} × (180°-∠ ABC)$，$∠ DCB = \frac{1}{2} × (180°-∠ ACB)$
∴$∠ DBC + ∠ DCB = \frac{1}{2} × 230° = 115°$
在△DBC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ D = 180° - (∠ DBC + ∠ DCB) = 180° - 115° = 65°$
【答案】
$65°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；邻补角的性质
【点评】
本题属于三角形角度计算的典型题型，解题的关键是理清各个角度之间的数量关系，通过邻补角、角平分线的性质完成角度的转化，熟练掌握三角形内角和定理是解题的基础。
【难度系数】
0.7
要计算∠D的度数，我们可以按照以下思路推导：首先根据△ABC的内角和以及已知的∠A，先求出∠ABC与∠ACB的和，再结合邻补角的性质算出两个外角的总度数；接着利用角平分线的定义，求出△DBC中∠DBC与∠DCB的和；最后在△DBC中利用内角和定理即可算出∠D的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，已知∠A=50°，可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 50° = 130°$
△ABC中，$∠ ABC$的邻补角、$∠ ACB$的邻补角就是点B、C处的两个外角，两个外角的和为：
$(180° - ∠ ABC) + (180° - ∠ ACB) = 360° - (∠ ABC + ∠ ACB) = 360° - 130° = 230°$
∵BD、CD分别是这两个外角的角平分线
∴$∠ DBC = \frac{1}{2} × (180°-∠ ABC)$，$∠ DCB = \frac{1}{2} × (180°-∠ ACB)$
∴$∠ DBC + ∠ DCB = \frac{1}{2} × 230° = 115°$
在△DBC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ D = 180° - (∠ DBC + ∠ DCB) = 180° - 115° = 65°$
【答案】
$65°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；邻补角的性质
【点评】
本题属于三角形角度计算的典型题型，解题的关键是理清各个角度之间的数量关系，通过邻补角、角平分线的性质完成角度的转化，熟练掌握三角形内角和定理是解题的基础。
【难度系数】
0.7
15.如图，BD平分∠ABC，DA⊥AB，∠1=55°，∠2=85°，求∠C的度数.
答案
15.【解析】
∵DA⊥AB，
$\therefore ∠A=90°$，
$\therefore ∠3=90°-∠1=90°-55°=35°$.
∵BD平分∠ABC，
$\therefore ∠3=∠4=35°$.
∵∠2=85°，
$\therefore ∠C=180°-∠2-∠4=180°-85°-35°=60°$.
∵DA⊥AB，
$\therefore ∠A=90°$，
$\therefore ∠3=90°-∠1=90°-55°=35°$.
∵BD平分∠ABC，
$\therefore ∠3=∠4=35°$.
∵∠2=85°，
$\therefore ∠C=180°-∠2-∠4=180°-85°-35°=60°$.
解析
【分析】
解题时可从已知垂直条件入手，首先利用直角三角形两锐角互余的性质计算出∠3的度数；再根据角平分线的定义得到∠4与∠3相等；最后在△BCD中，利用三角形内角和为180°的性质，用180°减去已知的∠2和∠4的度数，即可求出∠C的度数。
【解析】
∵DA⊥AB，
∴∠A=90°，
∴∠3=90°-∠1=90°-55°=35°。
∵BD平分∠ABC，
∴∠3=∠4=35°。
∵∠2=85°，
∴∠C=180°-∠2-∠4=180°-85°-35°=60°。
【答案】
60°
【知识点】
直角三角形两锐角互余；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，综合考查了多个基础几何性质的应用，解题的关键是理清角之间的等量关系，逐步推导求解。
【难度系数】
0.8
解题时可从已知垂直条件入手，首先利用直角三角形两锐角互余的性质计算出∠3的度数；再根据角平分线的定义得到∠4与∠3相等；最后在△BCD中，利用三角形内角和为180°的性质，用180°减去已知的∠2和∠4的度数，即可求出∠C的度数。
【解析】
∵DA⊥AB，
∴∠A=90°，
∴∠3=90°-∠1=90°-55°=35°。
∵BD平分∠ABC，
∴∠3=∠4=35°。
∵∠2=85°，
∴∠C=180°-∠2-∠4=180°-85°-35°=60°。
【答案】
60°
【知识点】
直角三角形两锐角互余；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，综合考查了多个基础几何性质的应用，解题的关键是理清角之间的等量关系，逐步推导求解。
【难度系数】
0.8
16.如图，CE是$△ ABC$的外角$∠ ACD$的平分线，且CE交BA的延长线于点E。
求证：$∠ E=\frac{1}{2}(∠ BAC-∠ B)$。
求证：$∠ E=\frac{1}{2}(∠ BAC-∠ B)$。
答案
16.证明:
∵∠ACD是△ABC的外角，
$\therefore ∠B+∠BAC=∠ACD$.
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
$\therefore ∠ECD=\frac{1}{2}(∠B+∠BAC)$.
∵∠ECD是△BCE的外角，
$\therefore ∠ECD=∠E+∠B$，
$\therefore \frac{1}{2}(∠B+∠BAC)=∠E+∠B$，
$\therefore ∠E=\frac{1}{2}(∠BAC-∠B)$.
∵∠ACD是△ABC的外角，
$\therefore ∠B+∠BAC=∠ACD$.
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
$\therefore ∠ECD=\frac{1}{2}(∠B+∠BAC)$.
∵∠ECD是△BCE的外角，
$\therefore ∠ECD=∠E+∠B$，
$\therefore \frac{1}{2}(∠B+∠BAC)=∠E+∠B$，
$\therefore ∠E=\frac{1}{2}(∠BAC-∠B)$.
解析
【分析】
解题时可从已知条件和待证结论入手分析：首先，图中存在两个三角形的外角，分别是△ABC的外角∠ACD、△BCE的外角∠ECD，同时CE是∠ACD的角平分线。我们先利用三角形外角的性质，分别写出两个外角与对应不相邻内角的等量关系，再结合角平分线的定义，将两个等量关系联立，消去中间量∠ACD、∠ECD，整理后即可得到待证的结论。
【解析】
证明：
∵∠ACD是△ABC的外角，
$\therefore ∠B+∠BAC=∠ACD$.
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
$\therefore ∠ECD=\frac{1}{2}∠ACD=\frac{1}{2}(∠B+∠BAC)$.
∵∠ECD是△BCE的外角，
$\therefore ∠ECD=∠E+∠B$，
$\therefore \frac{1}{2}(∠B+∠BAC)=∠E+∠B$，
移项整理得$∠E=\frac{1}{2}(∠BAC-∠B)$。
【答案】
$∠E=\frac{1}{2}(∠BAC-∠B)$，得证。
【知识点】
三角形外角的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于三角形性质的基础应用类题目，解题的关键是准确识别图中的外角，熟练运用外角性质和角平分线定义建立角的等量关系，通过等量代换完成推导，对逻辑推理能力有一定的基础要求。
【难度系数】
0.7
解题时可从已知条件和待证结论入手分析：首先，图中存在两个三角形的外角，分别是△ABC的外角∠ACD、△BCE的外角∠ECD，同时CE是∠ACD的角平分线。我们先利用三角形外角的性质，分别写出两个外角与对应不相邻内角的等量关系，再结合角平分线的定义，将两个等量关系联立，消去中间量∠ACD、∠ECD，整理后即可得到待证的结论。
【解析】
证明：
∵∠ACD是△ABC的外角，
$\therefore ∠B+∠BAC=∠ACD$.
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
$\therefore ∠ECD=\frac{1}{2}∠ACD=\frac{1}{2}(∠B+∠BAC)$.
∵∠ECD是△BCE的外角，
$\therefore ∠ECD=∠E+∠B$，
$\therefore \frac{1}{2}(∠B+∠BAC)=∠E+∠B$，
移项整理得$∠E=\frac{1}{2}(∠BAC-∠B)$。
【答案】
$∠E=\frac{1}{2}(∠BAC-∠B)$，得证。
【知识点】
三角形外角的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于三角形性质的基础应用类题目，解题的关键是准确识别图中的外角，熟练运用外角性质和角平分线定义建立角的等量关系，通过等量代换完成推导，对逻辑推理能力有一定的基础要求。
【难度系数】
0.7
17.如图,在$△ ABC$中,$∠ B=60°,∠ C=30°$,AD和AE分别是$△ ABC$的高和角平分线,求$∠ DAE$的度数.
答案
17.【解析】
∵在△ABC中,∠B=60°,∠C=30°，
$\therefore ∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-60°=90°$.
∵AE是△ABC的角平分线，
$\therefore ∠BAE=\frac{1}{2}∠BAC=45°$.
∵AD是△ABC的高，
$\therefore ∠ADB=90°$，
∴在△ADB中,$∠BAD=90°-∠B=90°-60°=30°$，
$\therefore ∠DAE=∠BAE-∠BAD=45°-30°=15°$.
∵在△ABC中,∠B=60°,∠C=30°，
$\therefore ∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-60°=90°$.
∵AE是△ABC的角平分线，
$\therefore ∠BAE=\frac{1}{2}∠BAC=45°$.
∵AD是△ABC的高，
$\therefore ∠ADB=90°$，
∴在△ADB中,$∠BAD=90°-∠B=90°-60°=30°$，
$\therefore ∠DAE=∠BAE-∠BAD=45°-30°=15°$.
解析
【分析】
要求∠DAE的度数，观察图形可知∠DAE=∠BAE-∠BAD，因此只需分别求出∠BAE和∠BAD的度数即可。首先根据三角形内角和为180°，结合已知∠B、∠C的度数求出∠BAC的度数；再利用角平分线的定义求出∠BAE的度数；接着根据高的定义得到△ABD是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出∠BAD的度数；最后将两个角度相减即可得到∠DAE的度数。
【解析】
∵在△ABC中，∠B=60°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-60°-30°=90°。
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×90°=45°。
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
∴在Rt△ADB中，∠BAD=90°-∠B=90°-60°=30°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=45°-30°=15°。
【答案】
15°
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的常规题型，解题关键是理清各个角之间的数量关系，熟练运用三角形的相关性质逐步推导，侧重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.8
要求∠DAE的度数，观察图形可知∠DAE=∠BAE-∠BAD，因此只需分别求出∠BAE和∠BAD的度数即可。首先根据三角形内角和为180°，结合已知∠B、∠C的度数求出∠BAC的度数；再利用角平分线的定义求出∠BAE的度数；接着根据高的定义得到△ABD是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出∠BAD的度数；最后将两个角度相减即可得到∠DAE的度数。
【解析】
∵在△ABC中，∠B=60°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-60°-30°=90°。
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×90°=45°。
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
∴在Rt△ADB中，∠BAD=90°-∠B=90°-60°=30°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=45°-30°=15°。
【答案】
15°
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的常规题型，解题关键是理清各个角之间的数量关系，熟练运用三角形的相关性质逐步推导，侧重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.8
18.请把下面的证明过程补充完整：
已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F,且∠CEF=∠CFE.求证:CD⊥AB.
证明:∵AF平分∠CAB,(已知)
∴∠1=∠2.(
∵∠CEF=∠CFE,∠3=∠CEF,(已知,对顶角相等)
∴∠CFE=∠3.(等量代换)
∵在△ACF中,∠ACF=90°,(已知)
∴
∵∠1=∠2,∠CFE=∠3,(已证)
∴
∴在△AED中,∠ADE=90°,(三角形内角和定理)
∴CD⊥AB.(
已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F,且∠CEF=∠CFE.求证:CD⊥AB.
证明:∵AF平分∠CAB,(已知)
∴∠1=∠2.(
角平分线的定义
)∵∠CEF=∠CFE,∠3=∠CEF,(已知,对顶角相等)
∴∠CFE=∠3.(等量代换)
∵在△ACF中,∠ACF=90°,(已知)
∴
∠1
+∠CFA=90°.(直角三角形的性质
)∵∠1=∠2,∠CFE=∠3,(已证)
∴
∠2
+∠3
=90°,(等量代换)∴在△AED中,∠ADE=90°,(三角形内角和定理)
∴CD⊥AB.(
垂直的定义
)答案
18.证明:
∵AF平分∠CAB,(已知)
∴∠1=∠2.(角平分线的定义)
∵∠CEF=∠CFE,∠3=∠CEF,(已知,对顶角相等)
∴∠CFE=∠3.(等量代换)
∵在△ACF中,∠ACF=90°,(已知)
∴∠1+∠CFA=90°.(直角三角形的性质)
∵∠1=∠2,∠CFE=∠3,(已证)
∴∠2+∠3=90°,(等量代换)
∴在△AED中,∠ADE=90°,(三角形内角和定理)
∴CD⊥AB.(垂直的定义)
∵AF平分∠CAB,(已知)
∴∠1=∠2.(角平分线的定义)
∵∠CEF=∠CFE,∠3=∠CEF,(已知,对顶角相等)
∴∠CFE=∠3.(等量代换)
∵在△ACF中,∠ACF=90°,(已知)
∴∠1+∠CFA=90°.(直角三角形的性质)
∵∠1=∠2,∠CFE=∠3,(已证)
∴∠2+∠3=90°,(等量代换)
∴在△AED中,∠ADE=90°,(三角形内角和定理)
∴CD⊥AB.(垂直的定义)
解析
【分析】
这是一道几何证明补全题，需顺着推导逻辑匹配对应依据或结论：①已知AF是角平分线，得到∠1=∠2，依据是角平分线的定义；②直角三角形ACF中∠ACF=90°，两个锐角之和为90°，即∠1和∠CFA互余，依据是直角三角形的性质；③通过已证的∠1=∠2、∠CFE=∠3做等量代换，可得到∠2和∠3的和为90°；④由∠ADE=90°推出CD⊥AB，依据是垂直的定义。
【解析】
我们按证明的先后顺序补全空缺：
1. 已知AF平分∠CAB，根据角平分线的定义，可得∠1=∠2，因此第一个括号填“角平分线的定义”；
2. △ACF中∠ACF=90°，是直角三角形，直角三角形两个锐角和为90°，因此第一个横线填锐角“∠1”，括号填“直角三角形的性质”；
3. 已证∠1=∠2，∠CFE=∠3，将∠1替换为∠2、∠CFA替换为∠3，可得∠2+∠3=90°，因此两个横线分别填“∠2”和“∠3”；
4. 若两条直线相交所成角为90°，则两直线垂直，因此最后一个括号填“垂直的定义”。
【答案】
证明:
∵AF平分∠CAB,(已知)
∴∠1=∠2.(角平分线的定义)
∵∠CEF=∠CFE,∠3=∠CEF,(已知,对顶角相等)
∴∠CFE=∠3.(等量代换)
∵在△ACF中,∠ACF=90°,(已知)
∴∠1+∠CFA=90°.(直角三角形的性质)
∵∠1=∠2,∠CFE=∠3,(已证)
∴∠2+∠3=90°,(等量代换)
∴在△AED中,∠ADE=90°,(三角形内角和定理)
∴CD⊥AB.(垂直的定义)
【知识点】
角平分线的定义；直角三角形的性质；垂直的定义
【点评】
本题属于基础几何证明题，主要考查常用几何定义、性质的掌握，以及等量代换在角度推导中的应用，推导逻辑连贯，是巩固几何证明基础的典型习题。
【难度系数】
0.8
这是一道几何证明补全题，需顺着推导逻辑匹配对应依据或结论：①已知AF是角平分线，得到∠1=∠2，依据是角平分线的定义；②直角三角形ACF中∠ACF=90°，两个锐角之和为90°，即∠1和∠CFA互余，依据是直角三角形的性质；③通过已证的∠1=∠2、∠CFE=∠3做等量代换，可得到∠2和∠3的和为90°；④由∠ADE=90°推出CD⊥AB，依据是垂直的定义。
【解析】
我们按证明的先后顺序补全空缺：
1. 已知AF平分∠CAB，根据角平分线的定义，可得∠1=∠2，因此第一个括号填“角平分线的定义”；
2. △ACF中∠ACF=90°，是直角三角形，直角三角形两个锐角和为90°，因此第一个横线填锐角“∠1”，括号填“直角三角形的性质”；
3. 已证∠1=∠2，∠CFE=∠3，将∠1替换为∠2、∠CFA替换为∠3，可得∠2+∠3=90°，因此两个横线分别填“∠2”和“∠3”；
4. 若两条直线相交所成角为90°，则两直线垂直，因此最后一个括号填“垂直的定义”。
【答案】
证明:
∵AF平分∠CAB,(已知)
∴∠1=∠2.(角平分线的定义)
∵∠CEF=∠CFE,∠3=∠CEF,(已知,对顶角相等)
∴∠CFE=∠3.(等量代换)
∵在△ACF中,∠ACF=90°,(已知)
∴∠1+∠CFA=90°.(直角三角形的性质)
∵∠1=∠2,∠CFE=∠3,(已证)
∴∠2+∠3=90°,(等量代换)
∴在△AED中,∠ADE=90°,(三角形内角和定理)
∴CD⊥AB.(垂直的定义)
【知识点】
角平分线的定义；直角三角形的性质；垂直的定义
【点评】
本题属于基础几何证明题，主要考查常用几何定义、性质的掌握，以及等量代换在角度推导中的应用，推导逻辑连贯，是巩固几何证明基础的典型习题。
【难度系数】
0.8
