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一、选择题
1. 下列方程中，是二元一次方程的是（
A.$x+y=6$
B.$x+2y$
C.$x^2+y=3$
D.$x+\dfrac{1}{y}=2$
1. 下列方程中，是二元一次方程的是（
A
）A.$x+y=6$
B.$x+2y$
C.$x^2+y=3$
D.$x+\dfrac{1}{y}=2$
答案
1.A
解析
【分析】
解答本题的核心是牢记二元一次方程的判定标准，需同时满足3个条件：1.是含有未知数的等式（即属于方程）；2.含有2个不同的未知数；3.含有未知数的项的次数都为1，且是整式方程（分母不含未知数）。解题时可依次用这三个条件排查每个选项，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。我们逐个分析选项：
选项B：$x+2y$是代数式，没有等号，不属于方程，直接排除；
选项C：$x^2+y=3$中，$x$的次数是2，不满足“含未知数的项的次数为1”的要求，不是二元一次方程，排除；
选项D：$x+\dfrac{1}{y}=2$中，分母含有未知数$y$，属于分式方程，不是整式方程，排除；
选项A：$x+y=6$含有$x$、$y$两个未知数，$x$和$y$的次数都是1，且是整式方程，完全符合二元一次方程的定义。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的定义；整式方程的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确掌握二元一次方程的三个判定条件，排查选项时注意区分代数式与方程、整式方程与分式方程，不要忽略未知数的次数要求。
【难度系数】
0.9
解答本题的核心是牢记二元一次方程的判定标准，需同时满足3个条件：1.是含有未知数的等式（即属于方程）；2.含有2个不同的未知数；3.含有未知数的项的次数都为1，且是整式方程（分母不含未知数）。解题时可依次用这三个条件排查每个选项，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。我们逐个分析选项：
选项B：$x+2y$是代数式，没有等号，不属于方程，直接排除；
选项C：$x^2+y=3$中，$x$的次数是2，不满足“含未知数的项的次数为1”的要求，不是二元一次方程，排除；
选项D：$x+\dfrac{1}{y}=2$中，分母含有未知数$y$，属于分式方程，不是整式方程，排除；
选项A：$x+y=6$含有$x$、$y$两个未知数，$x$和$y$的次数都是1，且是整式方程，完全符合二元一次方程的定义。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的定义；整式方程的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确掌握二元一次方程的三个判定条件，排查选项时注意区分代数式与方程、整式方程与分式方程，不要忽略未知数的次数要求。
【难度系数】
0.9
2. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（
A.$\begin{cases} x+y=2, \\ x+z=3 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x+y=3, \\ y=1 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x+y=3, \\ xy=2 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x-\dfrac{1}{y}=2, \\ 2x+y=1 \end{cases}$
B
）A.$\begin{cases} x+y=2, \\ x+z=3 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x+y=3, \\ y=1 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x+y=3, \\ xy=2 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x-\dfrac{1}{y}=2, \\ 2x+y=1 \end{cases}$
答案
2.B
解析
【分析】
判断二元一次方程组需紧扣三个核心判定标准：① 方程组中一共只含有2个不同的未知数；② 所有方程都是整式方程（分母不含未知数）；③ 含未知数的项的最高次数为1。解题时只需用这三个标准逐一排查每个选项，不符合任意一条即可排除，最终选出完全符合要求的选项。
【解析】
依据二元一次方程组的判定标准逐一分析选项：
A选项：方程组中出现了x、y、z共3个未知数，不符合“仅含2个未知数”的要求，不是二元一次方程组；
B选项：方程组仅含x、y2个未知数，两个方程都是整式方程，且含未知数的项的最高次数均为1，完全符合二元一次方程组的定义；
C选项：第二个方程中的xy项，次数为x的次数加y的次数，即1+1=2，含未知数的项最高次数为2，不符合要求，不是二元一次方程组；
D选项：第一个方程的分母中含有未知数y，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，不是二元一次方程组。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二元一次方程组的定义
2. 整式方程的概念
3. 项的次数判定
【点评】
本题属于基础概念考察题，解题关键是准确掌握二元一次方程组的三个判定条件，逐一验证选项即可快速得出答案。常见易错点是忽略整式方程要求、误算xy项的次数。
【难度系数】
0.8
判断二元一次方程组需紧扣三个核心判定标准：① 方程组中一共只含有2个不同的未知数；② 所有方程都是整式方程（分母不含未知数）；③ 含未知数的项的最高次数为1。解题时只需用这三个标准逐一排查每个选项，不符合任意一条即可排除，最终选出完全符合要求的选项。
【解析】
依据二元一次方程组的判定标准逐一分析选项：
A选项：方程组中出现了x、y、z共3个未知数，不符合“仅含2个未知数”的要求，不是二元一次方程组；
B选项：方程组仅含x、y2个未知数，两个方程都是整式方程，且含未知数的项的最高次数均为1，完全符合二元一次方程组的定义；
C选项：第二个方程中的xy项，次数为x的次数加y的次数，即1+1=2，含未知数的项最高次数为2，不符合要求，不是二元一次方程组；
D选项：第一个方程的分母中含有未知数y，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，不是二元一次方程组。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二元一次方程组的定义
2. 整式方程的概念
3. 项的次数判定
【点评】
本题属于基础概念考察题，解题关键是准确掌握二元一次方程组的三个判定条件，逐一验证选项即可快速得出答案。常见易错点是忽略整式方程要求、误算xy项的次数。
【难度系数】
0.8
3. 方程组$\begin{cases}3x - 2y = 3a, \\x + 6y = a - 8\end{cases}$的解x、y的值互为相反数，则a的值是 （ ）
A.-2
B.2
C.0.5
D.-0.5
A.-2
B.2
C.0.5
D.-0.5
答案
3.B
解析
【分析】
解题的核心突破口是题干给出的“x、y互为相反数”这一条件，互为相反数的两个数和为0，即x+y=0。我们可以用两种思路求解：一是将y=-x代入原方程组，消去y后得到关于x和a的方程组，消去x即可求a；二是观察方程组的系数特征，将两个方程相加可直接得到含x+y的表达式，代入x+y=0就能快速算出a的值，第二种方法更简便。
【解析】
解：将原方程组的两个方程左右两边分别相加，可得：
$3x - 2y + x + 6y = 3a + a - 8$
整理得：$4x + 4y = 4a - 8$
等式两边同时除以4，得：$x + y = a - 2$
∵x、y的值互为相反数，
∴$x + y = 0$
代入上式得：$a - 2 = 0$
解得$a = 2$
【答案】
B
【知识点】
相反数的性质，加减消元法，等式的性质
【点评】
本题属于基础题，既可以用常规的代入消元法求解，也可以通过观察系数特征凑出x+y的整体来快速计算，解题关键是灵活运用相反数的性质和二元一次方程组的消元方法。
【难度系数】
0.8
解题的核心突破口是题干给出的“x、y互为相反数”这一条件，互为相反数的两个数和为0，即x+y=0。我们可以用两种思路求解：一是将y=-x代入原方程组，消去y后得到关于x和a的方程组，消去x即可求a；二是观察方程组的系数特征，将两个方程相加可直接得到含x+y的表达式，代入x+y=0就能快速算出a的值，第二种方法更简便。
【解析】
解：将原方程组的两个方程左右两边分别相加，可得：
$3x - 2y + x + 6y = 3a + a - 8$
整理得：$4x + 4y = 4a - 8$
等式两边同时除以4，得：$x + y = a - 2$
∵x、y的值互为相反数，
∴$x + y = 0$
代入上式得：$a - 2 = 0$
解得$a = 2$
【答案】
B
【知识点】
相反数的性质，加减消元法，等式的性质
【点评】
本题属于基础题，既可以用常规的代入消元法求解，也可以通过观察系数特征凑出x+y的整体来快速计算，解题关键是灵活运用相反数的性质和二元一次方程组的消元方法。
【难度系数】
0.8
4. 如图，为迎接校园文化节，学校要在一块长为24 m，宽为18 m的长方形活动场地中规划出3块大小、形状完全相同的小长方形（图中阴影部分）区域布置文化展示，则布置文化展示区域的面积是（
A.$324\ \mathrm{m}^2$
B.$180\ \mathrm{m}^2$
C.$120\ \mathrm{m}^2$
D.$40\ \mathrm{m}^2$
C
）A.$324\ \mathrm{m}^2$
B.$180\ \mathrm{m}^2$
C.$120\ \mathrm{m}^2$
D.$40\ \mathrm{m}^2$
答案
4.C
解析
【分析】
解题时先设小长方形的长为$x\ \mathrm{m}$，宽为$y\ \mathrm{m}$，观察图形可得到大长方形的长、宽分别与小长方形长、宽的等量关系，据此列出二元一次方程组，解出小长方形的长和宽后，计算单个小长方形的面积再乘3，即可得到3块阴影区域的总面积。
【解析】
设小长方形的长为$x\ \mathrm{m}$，宽为$y\ \mathrm{m}$，根据图形边长关系列方程组：
$\begin{cases}2x + y = 24 \\x + 2y = 18\end{cases}$
将两个方程相加得：$3x + 3y = 42$，化简得$x + y = 14$。
用第一个方程减去$x+y=14$，得$x = 24 - 14 = 10$；
用第二个方程减去$x+y=14$，得$y = 18 - 14 = 4$。
单个小长方形的面积为$10 × 4 = 40\ \mathrm{m^2}$，
3块阴影区域总面积为$3 × 40 = 120\ \mathrm{m^2}$。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的应用，长方形面积计算
【点评】
本题是代数与几何结合的典型题目，解题核心是从图形中准确提取边长的等量关系，通过列方程组求解的方法就能快速得到结果，注意最后所求为3块小长方形的总面积，不要漏乘倍数。
【难度系数】
0.6
解题时先设小长方形的长为$x\ \mathrm{m}$，宽为$y\ \mathrm{m}$，观察图形可得到大长方形的长、宽分别与小长方形长、宽的等量关系，据此列出二元一次方程组，解出小长方形的长和宽后，计算单个小长方形的面积再乘3，即可得到3块阴影区域的总面积。
【解析】
设小长方形的长为$x\ \mathrm{m}$，宽为$y\ \mathrm{m}$，根据图形边长关系列方程组：
$\begin{cases}2x + y = 24 \\x + 2y = 18\end{cases}$
将两个方程相加得：$3x + 3y = 42$，化简得$x + y = 14$。
用第一个方程减去$x+y=14$，得$x = 24 - 14 = 10$；
用第二个方程减去$x+y=14$，得$y = 18 - 14 = 4$。
单个小长方形的面积为$10 × 4 = 40\ \mathrm{m^2}$，
3块阴影区域总面积为$3 × 40 = 120\ \mathrm{m^2}$。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的应用，长方形面积计算
【点评】
本题是代数与几何结合的典型题目，解题核心是从图形中准确提取边长的等量关系，通过列方程组求解的方法就能快速得到结果，注意最后所求为3块小长方形的总面积，不要漏乘倍数。
【难度系数】
0.6
