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2 000元的产品运到B地. 已知公路运价为1.8元/(t·km)，铁路运价为1.5元/(t·km)，且这两次运输共支出公路运费30 600元，铁路运费121 500元，设购买x t原料，制成y t产品. 为求这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元，可先根据题意列方程为（
A.$\begin{cases}1.8×(800x+2000y)=30\ 600, \\1.5×(800x+2000y)=121\ 500\end{cases}$
B.$\begin{cases}1.8×(20x+120y)=30\ 600, \\1.5×(30x+110y)=121\ 500\end{cases}$
C.$\begin{cases}1.8×(20x+30y)=30\ 600, \\1.5×(120x+110y)=121\ 500\end{cases}$
D.$\begin{cases}1.8×(20x+110y)=30\ 600, \\1.5×(120x+30y)=121\ 500\end{cases}$
C
）A.$\begin{cases}1.8×(800x+2000y)=30\ 600, \\1.5×(800x+2000y)=121\ 500\end{cases}$
B.$\begin{cases}1.8×(20x+120y)=30\ 600, \\1.5×(30x+110y)=121\ 500\end{cases}$
C.$\begin{cases}1.8×(20x+30y)=30\ 600, \\1.5×(120x+110y)=121\ 500\end{cases}$
D.$\begin{cases}1.8×(20x+110y)=30\ 600, \\1.5×(120x+30y)=121\ 500\end{cases}$
答案
5.C
解析
【分析】
要列出符合题意的方程组，首先明确运费的计算方法：运费=运价×货物重量×运输路程。总公路运费由两部分组成：一是运输x吨原料产生的公路运费，二是运输y吨产品产生的公路运费；总铁路运费同理也由运输原料和运输产品的两部分铁路运费组成。我们分别找到两类运费的等量关系，联立即可得到方程组，再对应选项判断即可。
【解析】
根据运费计算公式：运费 = 运价 × 重量 × 路程。
1. 列公路运费的方程：
公路运价为1.8元/(t·km)，总公路运费为30600元。其中x吨原料的公路运费为$1.8×20x$，y吨产品的公路运费为$1.8×30y$，两者相加等于总公路运费，可得：
$1.8×(20x + 30y) = 30600$
2. 列铁路运费的方程：
铁路运价为1.5元/(t·km)，总铁路运费为121500元。其中x吨原料的铁路运费为$1.5×120x$，y吨产品的铁路运费为$1.5×110y$，两者相加等于总铁路运费，可得：
$1.5×(120x + 110y) = 121500$
联立两个方程，所得方程组与选项C一致。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的应用、运费问题数量关系
【点评】
本题考查实际问题中二元一次方程组的列写，解题核心是拆分清楚总费用的构成部分，找准每部分费用对应的单价、重量、路程三个量，代入公式即可准确列出方程。
【难度系数】
0.7
要列出符合题意的方程组，首先明确运费的计算方法：运费=运价×货物重量×运输路程。总公路运费由两部分组成：一是运输x吨原料产生的公路运费，二是运输y吨产品产生的公路运费；总铁路运费同理也由运输原料和运输产品的两部分铁路运费组成。我们分别找到两类运费的等量关系，联立即可得到方程组，再对应选项判断即可。
【解析】
根据运费计算公式：运费 = 运价 × 重量 × 路程。
1. 列公路运费的方程：
公路运价为1.8元/(t·km)，总公路运费为30600元。其中x吨原料的公路运费为$1.8×20x$，y吨产品的公路运费为$1.8×30y$，两者相加等于总公路运费，可得：
$1.8×(20x + 30y) = 30600$
2. 列铁路运费的方程：
铁路运价为1.5元/(t·km)，总铁路运费为121500元。其中x吨原料的铁路运费为$1.5×120x$，y吨产品的铁路运费为$1.5×110y$，两者相加等于总铁路运费，可得：
$1.5×(120x + 110y) = 121500$
联立两个方程，所得方程组与选项C一致。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的应用、运费问题数量关系
【点评】
本题考查实际问题中二元一次方程组的列写，解题核心是拆分清楚总费用的构成部分，找准每部分费用对应的单价、重量、路程三个量，代入公式即可准确列出方程。
【难度系数】
0.7
二、填空题
6. 在方程$3x - 2y = 4$中，用含$x$的代数式表示$y$为
6. 在方程$3x - 2y = 4$中，用含$x$的代数式表示$y$为
$y=\dfrac{3}{2}x-2$
。答案
6. $y=\dfrac{3}{2}x-2$
解析
【分析】
本题要求用含x的代数式表示y，解题时把x看作已知数，将原方程当作关于y的一元一次方程求解即可。先通过移项把含y的项单独留在等号一侧，其余项移到等号另一侧，再将y的系数化为1，就能得到最终结果。
【解析】
已知方程$3x - 2y = 4$：
1. 移项，将含$x$的项移到等号右侧，移项要变号，得：$-2y = 4 - 3x$
2. 系数化为1，等式两边同时除以$-2$，得：$y=\frac{4-3x}{-2}$
3. 化简代数式，得：$y=\frac{3}{2}x - 2$
【答案】
$y=\dfrac{3}{2}x-2$
【知识点】
1. 二元一次方程变形 2. 移项法则 3. 系数化为1
【点评】
本题是基础题型，主要考查二元一次方程的恒等变形能力，解题时要注意移项、系数化为1过程中的符号变化，熟练掌握一元一次方程的解法就能快速作答。
【难度系数】
0.9
本题要求用含x的代数式表示y，解题时把x看作已知数，将原方程当作关于y的一元一次方程求解即可。先通过移项把含y的项单独留在等号一侧，其余项移到等号另一侧，再将y的系数化为1，就能得到最终结果。
【解析】
已知方程$3x - 2y = 4$：
1. 移项，将含$x$的项移到等号右侧，移项要变号，得：$-2y = 4 - 3x$
2. 系数化为1，等式两边同时除以$-2$，得：$y=\frac{4-3x}{-2}$
3. 化简代数式，得：$y=\frac{3}{2}x - 2$
【答案】
$y=\dfrac{3}{2}x-2$
【知识点】
1. 二元一次方程变形 2. 移项法则 3. 系数化为1
【点评】
本题是基础题型，主要考查二元一次方程的恒等变形能力，解题时要注意移项、系数化为1过程中的符号变化，熟练掌握一元一次方程的解法就能快速作答。
【难度系数】
0.9
7. 已知方程组$\begin{cases}2x+y=◯, \\x+y=3\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=2, \\y=△,\end{cases}$则被“$◯$”和“$△$”遮盖的两个数的和为 ______ 。
答案
7. 6
解析
【分析】
本题可根据二元一次方程组的解的定义求解：方程组的解满足方程组中的每一个方程，已知x=2，首先代入完整的第二个方程x+y=3求出y的值即△，再将x、y的值代入第一个方程求出◯，最后计算两个遮盖数的和即可。
【解析】
步骤1：求△的值
将x=2代入方程x+y=3，可得：
$2 + y = 3$
解得$y=1$，即$△=1$。
步骤2：求◯的值
将$x=2$，$y=1$代入方程$2x+y=◯$，可得：
$◯=2×2 + 1 = 5$
步骤3：计算两个遮盖数的和
$△ + ◯=1 + 5 = 6$
【答案】
6
【知识点】
二元一次方程组的解、代入求值
【点评】
本题是基础题型，解题关键是明确方程组的解能使所有方程左右两边相等，通过两次代入即可依次求出被遮盖的数，整体运算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.9
本题可根据二元一次方程组的解的定义求解：方程组的解满足方程组中的每一个方程，已知x=2，首先代入完整的第二个方程x+y=3求出y的值即△，再将x、y的值代入第一个方程求出◯，最后计算两个遮盖数的和即可。
【解析】
步骤1：求△的值
将x=2代入方程x+y=3，可得：
$2 + y = 3$
解得$y=1$，即$△=1$。
步骤2：求◯的值
将$x=2$，$y=1$代入方程$2x+y=◯$，可得：
$◯=2×2 + 1 = 5$
步骤3：计算两个遮盖数的和
$△ + ◯=1 + 5 = 6$
【答案】
6
【知识点】
二元一次方程组的解、代入求值
【点评】
本题是基础题型，解题关键是明确方程组的解能使所有方程左右两边相等，通过两次代入即可依次求出被遮盖的数，整体运算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.9
8. 已知$3x^{2a+b-3} - 5y^{3a-2b+2} = -1$是关于$x$，$y$的二元一次方程，则$(a+b)^b =$
9
。答案
8. 9
解析
【分析】
要解决本题，首先回忆二元一次方程的定义：含有2个未知数，且含未知数的项的次数都为1的整式方程叫做二元一次方程。本题中的方程已经满足有x、y两个未知数、是整式方程的条件，因此只需让x、y的指数都等于1，即可得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值后，代入$(a+b)^b$计算即可得到结果。
【解析】
根据二元一次方程的定义，可得：
$\begin{cases}2a + b - 3 = 1 \\ 3a - 2b + 2 = 1\end{cases}$
整理方程组，得：
$\begin{cases}2a + b = 4 \quad ① \\ 3a - 2b = -1 \quad ②\end{cases}$
用加减消元法解方程组：
将①×2，得$4a + 2b = 8 \quad ③$
③+②，得$7a = 7$，解得$a = 1$
把$a=1$代入①，得$2×1 + b = 4$，解得$b = 2$
将$a=1$，$b=2$代入$(a+b)^b$，得：
$(1+2)^2 = 3^2 = 9$
【答案】
9
【知识点】
二元一次方程的定义，解二元一次方程组，乘方运算
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是抓住二元一次方程的定义列方程组求解参数，解题时要注意计算的准确性，熟练掌握二元一次方程组的消元解法即可顺利完成。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先回忆二元一次方程的定义：含有2个未知数，且含未知数的项的次数都为1的整式方程叫做二元一次方程。本题中的方程已经满足有x、y两个未知数、是整式方程的条件，因此只需让x、y的指数都等于1，即可得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值后，代入$(a+b)^b$计算即可得到结果。
【解析】
根据二元一次方程的定义，可得：
$\begin{cases}2a + b - 3 = 1 \\ 3a - 2b + 2 = 1\end{cases}$
整理方程组，得：
$\begin{cases}2a + b = 4 \quad ① \\ 3a - 2b = -1 \quad ②\end{cases}$
用加减消元法解方程组：
将①×2，得$4a + 2b = 8 \quad ③$
③+②，得$7a = 7$，解得$a = 1$
把$a=1$代入①，得$2×1 + b = 4$，解得$b = 2$
将$a=1$，$b=2$代入$(a+b)^b$，得：
$(1+2)^2 = 3^2 = 9$
【答案】
9
【知识点】
二元一次方程的定义，解二元一次方程组，乘方运算
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是抓住二元一次方程的定义列方程组求解参数，解题时要注意计算的准确性，熟练掌握二元一次方程组的消元解法即可顺利完成。
【难度系数】
0.7
9. 现有A、B、C、D、E五张卡片，卡片上分别写有一个二元一次方程. 若取两张卡片，联立得到的二元一次方程组的解为$\begin{cases}x=-7, \\ y=-8.\end{cases}$则所取的两张卡片为 ______ 和 ______ .（填“A、B、C、D、E”中的两个字母）
答案
9. B C
解析
【分析】
根据二元一次方程组解的定义，方程组的解需要同时满足组成方程组的两个二元一次方程，因此我们可以将已知的解$\begin{cases}x=-7, \\ y=-8\end{cases}$分别代入五张卡片上的方程，判断方程左右两边是否相等，筛选出两个满足条件的方程即可。
【解析】
将$\begin{cases}x=-7, \\ y=-8\end{cases}$分别代入各卡片的方程验证：
1. 代入A的方程$x+y=9$：左边$=-7+(-8)=-15≠9$（右边），故A不符合要求；
2. 代入B的方程$x-y=1$：左边$=-7-(-8)=1=$右边，故B符合要求；
3. 代入C的方程$3x-2y=-5$：左边$=3×(-7)-2×(-8)=-21+16=-5=$右边，故C符合要求；
4. 代入D的方程$2x-3y=-9$：左边$=2×(-7)-3×(-8)=-14+24=10≠-9$（右边），故D不符合要求；
5. 代入E的方程$4x-3y=-5$：左边$=4×(-7)-3×(-8)=-28+24=-4≠-5$（右边），故E不符合要求。
综上，符合条件的两张卡片为B和C。
【答案】
B、C
【知识点】
二元一次方程组的解，代入法检验方程的解
【点评】
本题核心是对二元一次方程组解的概念的应用，采用代入验证法即可快速解题，解题时注意计算符号的正确性，避免因运算失误出错。
【难度系数】
0.8
根据二元一次方程组解的定义，方程组的解需要同时满足组成方程组的两个二元一次方程，因此我们可以将已知的解$\begin{cases}x=-7, \\ y=-8\end{cases}$分别代入五张卡片上的方程，判断方程左右两边是否相等，筛选出两个满足条件的方程即可。
【解析】
将$\begin{cases}x=-7, \\ y=-8\end{cases}$分别代入各卡片的方程验证：
1. 代入A的方程$x+y=9$：左边$=-7+(-8)=-15≠9$（右边），故A不符合要求；
2. 代入B的方程$x-y=1$：左边$=-7-(-8)=1=$右边，故B符合要求；
3. 代入C的方程$3x-2y=-5$：左边$=3×(-7)-2×(-8)=-21+16=-5=$右边，故C符合要求；
4. 代入D的方程$2x-3y=-9$：左边$=2×(-7)-3×(-8)=-14+24=10≠-9$（右边），故D不符合要求；
5. 代入E的方程$4x-3y=-5$：左边$=4×(-7)-3×(-8)=-28+24=-4≠-5$（右边），故E不符合要求。
综上，符合条件的两张卡片为B和C。
【答案】
B、C
【知识点】
二元一次方程组的解，代入法检验方程的解
【点评】
本题核心是对二元一次方程组解的概念的应用，采用代入验证法即可快速解题，解题时注意计算符号的正确性，避免因运算失误出错。
【难度系数】
0.8
10. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今有三人共车，两车空；二人共车，九人步，问：人与车各几何？”大意是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各有多少？设有x人，y辆车，可列方程组为。
答案
10. $\begin{cases}\dfrac{x}{3}=y-2,\\\dfrac{x-9}{2}=y\end{cases}$（答案不唯一）
解析
【分析】
解题的核心是从两种乘车场景中分别梳理出人数和车辆数的等量关系。首先分析第一个乘车条件：每辆车坐3人时空余2辆车，说明实际用于载人的车辆数是总车辆数$y$减去空余的2辆，而实际载人的车辆数也等于总人数$x$除以每车乘坐的3人，可据此列第一个方程。再分析第二个乘车条件：每辆车坐2人时有9人步行，说明坐车的人数是总人数$x$减去步行的9人，坐车的人数除以每车坐的2人就等于总车辆数$y$，可据此列第二个方程，两个方程联立即为所求方程组。
【解析】
1. 根据“每辆车乘坐3人，空余两辆车”列第一个方程：
实际使用车辆数 = 总车辆数 - 空余车辆数，同时实际使用车辆数 = 总人数÷每车乘坐人数，因此可得：$\dfrac{x}{3}=y-2$。
2. 根据“每辆车乘坐2人，有9人步行”列第二个方程：
总车辆数 = 坐车人数÷每车乘坐人数，其中坐车人数 = 总人数 - 步行人数，因此可得：$\dfrac{x-9}{2}=y$。
3. 将两个方程联立，得到最终方程组。
【答案】
$\begin{cases}\dfrac{x}{3}=y-2,\\\dfrac{x-9}{2}=y\end{cases}$（答案不唯一）
【知识点】
1. 列二元一次方程组
2. 实际问题等量关系提取
【点评】
本题以中国古代数学著作为背景，考查将实际问题转化为数学方程组的能力，解题关键是准确理解题意，从不同乘车方案中梳理出人数和车辆数的对应关系，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解题的核心是从两种乘车场景中分别梳理出人数和车辆数的等量关系。首先分析第一个乘车条件：每辆车坐3人时空余2辆车，说明实际用于载人的车辆数是总车辆数$y$减去空余的2辆，而实际载人的车辆数也等于总人数$x$除以每车乘坐的3人，可据此列第一个方程。再分析第二个乘车条件：每辆车坐2人时有9人步行，说明坐车的人数是总人数$x$减去步行的9人，坐车的人数除以每车坐的2人就等于总车辆数$y$，可据此列第二个方程，两个方程联立即为所求方程组。
【解析】
1. 根据“每辆车乘坐3人，空余两辆车”列第一个方程：
实际使用车辆数 = 总车辆数 - 空余车辆数，同时实际使用车辆数 = 总人数÷每车乘坐人数，因此可得：$\dfrac{x}{3}=y-2$。
2. 根据“每辆车乘坐2人，有9人步行”列第二个方程：
总车辆数 = 坐车人数÷每车乘坐人数，其中坐车人数 = 总人数 - 步行人数，因此可得：$\dfrac{x-9}{2}=y$。
3. 将两个方程联立，得到最终方程组。
【答案】
$\begin{cases}\dfrac{x}{3}=y-2,\\\dfrac{x-9}{2}=y\end{cases}$（答案不唯一）
【知识点】
1. 列二元一次方程组
2. 实际问题等量关系提取
【点评】
本题以中国古代数学著作为背景，考查将实际问题转化为数学方程组的能力，解题关键是准确理解题意，从不同乘车方案中梳理出人数和车辆数的对应关系，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
