1. 若 $ a - b = 1 $，$ ab = 2 $，则 $ (a + b)^2 $ 的值为()。

A.-9
B.9
C.±9
D.3

B

根据完全平方公式，$(a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab$。
已知 $a - b = 1$，$ab = 2$，
将已知条件代入公式，得：
$(a + b)^2$
$= 1^2 + 4 × 2$
$ = 1 + 8$
$ = 9$

2. 若 $ a + b = 3 $，$ a^2 + b^2 = 7 $，则 $ ab $ 等于()。

A.2
B.1
C.-2
D.-1

B

因为$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，已知$a + b = 3$，所以$(a + b)^2 = 3^2 = 9$。又因为$a^2 + b^2 = 7$，所以$9 = 7 + 2ab$，解得$2ab = 9 - 7 = 2$，则$ab = 1$。

3. (1) 已知 $ ab = 4 $，$ a - b = 3 $，则 $ a + b = $；
(2) 已知 $ a + \frac{1}{a} = 6 $，则 $ \frac{a^4 + a^2 + 1}{a^2} = $；
(3) 已知 $ (200 + a)(198 + a) = 199 $，则 $ (200 + a)^2 + (198 + a)^2 = $；
(4) 已知 $ x $ 满足 $ (x - 2022)^2 + (2024 - x)^2 = 12 $，则 $ (x - 2023)^2 $ 的值为。

±5；35；402；5

(1) ∵(a + b)² = (a - b)² + 4ab，已知ab=4，a - b=3，∴(a + b)²=3² + 4×4=9 + 16=25，∴a + b=±5；
(2) ∵(a⁴ + a² + 1)/a²=a² + 1 + 1/a²，又(a + 1/a)²=a² + 2 + 1/a²=6²=36，∴a² + 1/a²=36 - 2=34，∴原式=34 + 1=35；
(3) 设x=200 + a，y=198 + a，则x - y=2，xy=199，∴x² + y²=(x - y)² + 2xy=2² + 2×199=4 + 398=402；
(4) 设t=x - 2023，则x - 2022=t + 1，2024 - x=1 - t，∴(t + 1)² + (1 - t)²=12，展开得t² + 2t + 1 + t² - 2t + 1=2t² + 2=12，∴2t²=10，t²=5，即(x - 2023)²=5。

4. 已知 $ a + b = 3 $，$ ab = -12 $，求下列各式的值。
(1) $ a^2 + b^2 $；
(2) $ a^2 - ab + b^2 $；
(3) $ (a - b)^2 $；
(4) $ a - b $。

答题卡：
(1)
由完全平方公式可知：
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，
根据题意，$a + b = 3$，$ab = -12$，代入上式得：
$9 = a^2 + 2(-12) + b^2$
$a^2 + b^2 = 9 + 24 = 33$
所以 $a^2 + b^2 = 33$。
(2)
已知 $a^2 + b^2 = 33$ 和 $ab = -12$，
所以$a^2 - ab + b^2 = 33 - (-12) = 45$
所以 $a^2 - ab + b^2 = 45$。
(3)
由完全平方公式可知 ：
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
$= a^2 + b^2 - 2ab$
$= 33 - 2×(-12)$
$= 33 + 24$
$= 57$
所以 $(a - b)^2 = 57$。
(4)
由上面计算可知，$(a - b)^2 = 57$，
所以$a - b = \pm \sqrt{57}$，
所以 $a - b$ 的值为 $\pm \sqrt{57}$。

5. 如图(1)是一个长为 $ 2m $，宽为 $ 2n $ 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图(2)的形状拼成正方形 $ ABCD $。
(1) 观察图(2)，试猜想式子 $ (m + n)^2 $，$ (m - n)^2 $，$ mn $ 之间的数量关系，并证明你的结论。
(2) 根据(1)中的数量关系，解答下列问题：
① 已知 $ x - y = 5 $，$ xy = -6 $，求 $ x + y $ 的值；
② 已知 $ a ＞ 0 $，$ a - \frac{2}{a} = 1 $，求 $ a + \frac{2}{a} $ 的值。

(1) 数量关系：$(m + n)^2 = (m - n)^2 + 4mn$。
证明：
由图(2)可知，正方形$ABCD$的边长为$m + n$，所以其面积为$(m + n)^2$。
同时，正方形$ABCD$的面积也可以表示为中间小正方形的面积加上四个小长方形的面积，即$(m - n)^2 + 4mn$。
因此，$(m + n)^2 = (m - n)^2 + 4mn$。
(2) ①
由(1)中的数量关系，有：
$(x + y)^2 = (x - y)^2 + 4xy$，
代入已知条件$x - y = 5$，$xy = -6$，得：
$(x + y)^2 = 5^2 + 4 × (-6) = 25 - 24 = 1$，
所以，$x + y = \pm 1$。
②
由(1)中的数量关系，有：
$(a + \frac{2}{a})^2 = (a - \frac{2}{a})^2 + 4a · \frac{2}{a}$，
代入已知条件$a - \frac{2}{a} = 1$，得：
$(a + \frac{2}{a})^2 = 1^2 + 8 = 9$，
因为$a ＞ 0$，所以$a + \frac{2}{a} = 3$。