5. 计算:
(1)$(2x - 7y)^2$;
(2)$104^2$;
(3)$(a + b)^2 - (a - b)^2$.

(1)
$\begin{aligned}(2x - 7y)^2 \\= (2x)^2 - 2 × 2x × 7y + (7y)^2 \\= 4x^2 - 28xy + 49y^2\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}104^2 \\= (100 + 4)^2 \\= 100^2 + 2 × 100 × 4 + 4^2 \\= 10000 + 800 + 16 \\= 10816\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}(a + b)^2 - (a - b)^2 \\= (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) \\= 4ab\end{aligned}$

1. (2024昆明官渡区期末)下列正方形分割方案中,可以验证$(a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab$的是().

D

$(a + b)^2$表示边长为$(a + b)$的大正方形面积。等式右边$(a - b)^2 + 4ab$需表示该大正方形可分割为一个边长为$(a - b)$的小正方形和4个面积为$ab$的矩形。选项D中，大正方形边长为$(a + b)$，中间小正方形边长为$(a - b)$，四周4个矩形的长和宽分别为$a$、$b$，面积各为$ab$，故大正方形面积$=(a - b)^2 + 4ab$，可验证等式。

2. 将图(1)中的阴影部分移动成图(2),根据两个图形中阴影部分的关系,可以验证下列计算公式中的().

A.$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
B.$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
C.$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
D.$(a + b)^2 = 4ab + (a - b)^2$

B

设图(1)中大正方形边长为$a$，阴影部分面积可表示为大正方形面积减去空白部分面积。空白部分为两个长$a$、宽$b$的矩形，重叠一个边长$b$的小正方形，空白面积为$2ab - b^2$，故阴影面积为$a^2-(2ab - b^2)=a^2 - 2ab + b^2$。图(2)中阴影部分拼接成边长为$(a - b)$的正方形，面积为$(a - b)^2$。因两图阴影面积相等，所以$(a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2$。

3. 计算$(-x + 2)^2$,结果是().

A.$x^2 - 4x + 4$
B.$-x^2 - 4x + 4$
C.$x^2 + 4x + 4$
D.$-x^2 + 4x + 4$

A

根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2 + 2ab+b^2$，在$(-x + 2)^2$中，$a=-x$，$b = 2$，则$(-x + 2)^2=(-x)^2+2×(-x)×2+2^2=x^2-4x + 4$。

4. 计算:
(1)$(a - 3b)^2$;
(2)$(2x - 3)^2$;
(3)$(-2a - 5)^2$;
(4)$(-2x + 3y)^2$.

(1)
根据完全平方公式$(m - n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$，在$(a - 3b)^2$中$m = a$，$n = 3b$，则：
$(a - 3b)^2=a^2-2× a×3b+(3b)^2=a^2 - 6ab + 9b^2$
(2)
根据完全平方公式$(m - n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$，在$(2x - 3)^2$中$m = 2x$，$n = 3$，则：
$(2x - 3)^2=(2x)^2-2×2x×3 + 3^2=4x^2-12x + 9$
(3)
根据完全平方公式$(m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$，在$(-2a - 5)^2=(-(2a + 5))^2=(2a + 5)^2$中$m = 2a$，$n = 5$，则：
$(-2a - 5)^2=(2a + 5)^2=(2a)^2+2×2a×5 + 5^2=4a^2+20a + 25$
(4)
根据完全平方公式$(m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$，在$(-2x + 3y)^2=(3y-2x)^2$中$m = 3y$，$n = 2x$，则：
$(-2x + 3y)^2=(3y)^2-2×3y×2x+(2x)^2=9y^2-12xy + 4x^2$

5. 已知$(x + 2y)^2 = 10,(x - 2y)^2 = 18$,那么$xy$的值为().

A.-1
B.1
C.-2
D.2

A

已知$(x + 2y)^2 = 10$，展开得$x^2 + 4xy + 4y^2 = 10$ ①；
已知$(x - 2y)^2 = 18$，展开得$x^2 - 4xy + 4y^2 = 18$ ②；
① - ②得：$8xy = -8$，解得$xy = -1$。

6. 已知$a^2 + b^2 = 30,ab = 7$,则$a - b =$.

$\pm4$（如果题目是填空题形式要求填写具体数值相关答案，在横线处填$\pm4$ ）

根据完全平方公式有$(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$，
已知$a^2 + b^2 = 30$，$ab = 7$，将其代入可得：
$(a - b)^2=30 - 2×7=30 - 14 = 16$。
因为$( \pm 4)^2 = 16$，所以$a - b=\pm4$。

7. 小明在计算$a(2 + a) - (a - 2)^2$时,解答过程如下:
$a(2 + a) - (a - 2)^2$
$= 2a + a^2 - (a^2 - 4)······$第一步
$= 2a + a^2 - a^2 - 4······$第二步
$= 2a - 4······$第三步
小明的解答从第步开始出错,请写出正确的解答过程.

一
$a(2 + a) - (a - 2)^2$
$= 2a + a^2 - (a^2 - 4a + 4)$
$= 2a + a^2 - a^2 + 4a - 4$
$= 6a - 4$