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8. 如图，已知平面上四个点$A$，$B$，$C$，$D$，用无刻度的直尺和圆规按要求作出相应的图形（不写作法，保留作图痕迹）.
（1）连接$AB$，并反向延长线段$AB$；
（2）画直线$AD$，$BC$相交于点$F$；
（3）在射线$AC$上作一点$E$，使得$AE = 2AC$.
（1）连接$AB$，并反向延长线段$AB$；
（2）画直线$AD$，$BC$相交于点$F$；
（3）在射线$AC$上作一点$E$，使得$AE = 2AC$.
答案
（1）用直尺连接点A和点B得线段AB，再从B点出发沿BA方向延长线段AB至A点外侧，完成反向延长。
（2）用直尺作直线AD（连接A、D并向两端延长）和直线BC（连接B、C并向两端延长），两直线相交于点F。
（3）以A为圆心，AC长为半径用圆规画弧交射线AC于C；保持半径不变，以C为圆心画弧交射线AC于点E，使AE=2AC。
（注：实际作答需在图中保留上述作图痕迹，包括线段、直线延长线及圆规画弧痕迹，标记交点F和点E。）
（2）用直尺作直线AD（连接A、D并向两端延长）和直线BC（连接B、C并向两端延长），两直线相交于点F。
（3）以A为圆心，AC长为半径用圆规画弧交射线AC于C；保持半径不变，以C为圆心画弧交射线AC于点E，使AE=2AC。
（注：实际作答需在图中保留上述作图痕迹，包括线段、直线延长线及圆规画弧痕迹，标记交点F和点E。）
9. 如图，射线$OA$的方向是北偏东$15^{\circ}$，射线$OB$的方向是北偏西$40^{\circ}$，$\angle AOB=\angle AOC$，射线$OE$是射线$OB$的反向延长线.
（1）用方位角表示射线$OC$的方向；
（2）求$\angle COE$的度数；
（3）若射线$OD$平分$\angle COE$，求$\angle AOD$的度数.
（1）用方位角表示射线$OC$的方向；
（2）求$\angle COE$的度数；
（3）若射线$OD$平分$\angle COE$，求$\angle AOD$的度数.
答案
9.
(1)由题意可知，$\angle AOB=15^{\circ}+40^{\circ}=55^{\circ}$，因为$\angle AOC=\angle AOB$，所以$\angle AOC=55^{\circ}$.因为$55^{\circ}+15^{\circ}=70^{\circ}$，所以射线 OC 的方向是北偏东$70^{\circ}$.
(2)因为$\angle BOC=2\angle AOB=110^{\circ}$，所以$\angle COE=180^{\circ}-\angle BOC=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}$.
(3)因为 OD 平分$\angle COE$，所以$\angle COD=\frac{1}{2}\angle COE=\frac{1}{2}×70^{\circ}=35^{\circ}$.所以$\angle AOD=\angle AOC+\angle COD=55^{\circ}+35^{\circ}=90^{\circ}$.
(1)由题意可知，$\angle AOB=15^{\circ}+40^{\circ}=55^{\circ}$，因为$\angle AOC=\angle AOB$，所以$\angle AOC=55^{\circ}$.因为$55^{\circ}+15^{\circ}=70^{\circ}$，所以射线 OC 的方向是北偏东$70^{\circ}$.
(2)因为$\angle BOC=2\angle AOB=110^{\circ}$，所以$\angle COE=180^{\circ}-\angle BOC=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}$.
(3)因为 OD 平分$\angle COE$，所以$\angle COD=\frac{1}{2}\angle COE=\frac{1}{2}×70^{\circ}=35^{\circ}$.所以$\angle AOD=\angle AOC+\angle COD=55^{\circ}+35^{\circ}=90^{\circ}$.
10. 如图，点$B$在线段$AC$上，$M$，$N$分别为线段$AB$，$BC$的中点，$O$是线段$AC$的中点，给出下列结论：①$MN = CO$；②$2MO = AO - BO$；③$AM = BN$；④$2NO = CO + BO$. 其中正确的结论有
①②④
(填序号).答案
10.①②④.
解析
解：设$AO=OC=a$，$BO=b$，则$AB=AO+BO=a+b$，$BC=OC-BO=a-b$。
$M$为$AB$中点，$AM=MB=\frac{AB}{2}=\frac{a+b}{2}$；$N$为$BC$中点，$BN=NC=\frac{BC}{2}=\frac{a-b}{2}$。
①$MN=MB+BN=\frac{a+b}{2}+\frac{a-b}{2}=a$，$CO=a$，故$MN=CO$，①正确。
②$MO=AO-AM=a-\frac{a+b}{2}=\frac{a-b}{2}$，$2MO=a-b$，$AO-BO=a-b$，故$2MO=AO-BO$，②正确。
③$AM=\frac{a+b}{2}$，$BN=\frac{a-b}{2}$，当$b\neq0$时$AM\neq BN$，③错误。
④$NO=NC+CO=\frac{a-b}{2}+a=\frac{3a-b}{2}$，$2NO=3a-b$，$CO+BO=a+b$，$3a-b\neq a+b$（应为$NO=CO-NC=a-\frac{a-b}{2}=\frac{a+b}{2}$，$2NO=a+b$，$CO+BO=a+b$，故$2NO=CO+BO$），④正确。
综上，正确结论为①②④。
①②④
$M$为$AB$中点，$AM=MB=\frac{AB}{2}=\frac{a+b}{2}$；$N$为$BC$中点，$BN=NC=\frac{BC}{2}=\frac{a-b}{2}$。
①$MN=MB+BN=\frac{a+b}{2}+\frac{a-b}{2}=a$，$CO=a$，故$MN=CO$，①正确。
②$MO=AO-AM=a-\frac{a+b}{2}=\frac{a-b}{2}$，$2MO=a-b$，$AO-BO=a-b$，故$2MO=AO-BO$，②正确。
③$AM=\frac{a+b}{2}$，$BN=\frac{a-b}{2}$，当$b\neq0$时$AM\neq BN$，③错误。
④$NO=NC+CO=\frac{a-b}{2}+a=\frac{3a-b}{2}$，$2NO=3a-b$，$CO+BO=a+b$，$3a-b\neq a+b$（应为$NO=CO-NC=a-\frac{a-b}{2}=\frac{a+b}{2}$，$2NO=a+b$，$CO+BO=a+b$，故$2NO=CO+BO$），④正确。
综上，正确结论为①②④。
①②④
