7. (★★)(2023·朝阳)如图 27.3 - 18,在平面直角坐标系中,已知点$A(2,2)$,$B(4,1)$,以原点$O$为位似中心,相似比为$2$,把$\triangle OAB$放大,则点$A的对应点A'$的坐标是【】

A.$(1,1)$
B.$(4,4)或(8,2)$
C.$(4,4)$
D.$(4,4)或(-4,-4)$

D

在平面直角坐标系中，以原点$O$为位似中心，相似比为$2$，把$\triangle OAB$放大。点$A(2,2)$的对应点$A'$的坐标可以通过将点$A$的坐标乘以相似比$2$得到，即$A'(2 × 2, 2 × 2) = (4,4)$。
同时，由于位似中心是原点，放大也可以向相反方向进行，即坐标乘以$-2$，得到另一个对应点$A'(-4,-4)$。
因此，点$A$的对应点$A'$的坐标有两个可能，即$(4,4)$或$(-4,-4)$。

8. (★)在平面直角坐标系中,$\triangle ABC的各个顶点的坐标为A(-1,1)$,$B(2,3)$,$C(0,3)$. 现要以坐标原点$O$为位似中心,作$\triangle ABC的位似图形\triangle A'B'C'$,且使它与$\triangle ABC的相似比为\frac{2}{3}$,则点$A'$,$B'$,$C'$的坐标分别是.

$A^{\prime }（-\frac{2}{3}，\frac{2}{3}）$，$B^{\prime }（\frac{4}{3}，2）$，$C^{\prime }（0，2）$或$A^{\prime }（\frac{2}{3}，- \frac{2}{3}）$，$B^{\prime }（- \frac{4}{3}，-2）$，$C^{\prime }（0，-2）$

依题意，以坐标原点$O$为位似中心，相似比为$\frac{2}{3}$。
若位似图形在同一象限内，则：
对于点$A(-1,1)$，其位似点$A^{\prime }$的坐标为：
$A^{\prime } = (-1 × \frac{2}{3}, 1 × \frac{2}{3}) = (-\frac{2}{3}, \frac{2}{3})$，
对于点$B(2,3)$，其位似点$B^{\prime }$的坐标为：
$B^{\prime } = (2 × \frac{2}{3}, 3 × \frac{2}{3}) = (\frac{4}{3}, 2)$，
对于点$C(0,3)$，其位似点$C^{\prime }$的坐标为：
$C^{\prime } = (0 × \frac{2}{3}, 3 × \frac{2}{3}) = (0, 2)$，
若位似图形在相应象限（对于点关于原点位似在相反象限），则：
对于点$A(-1,1)$，其位似点$A^{\prime }$的坐标为：
$A^{\prime } = (-1 ×（ - \frac{2}{3}）, 1 ×（ - \frac{2}{3}）) = （\frac{2}{3}, - \frac{2}{3}）$，
对于点$B(2,3)$，其位似点$B^{\prime }$的坐标为：
$B^{\prime } = (2 × （- \frac{2}{3}）, 3 × （- \frac{2}{3}）) = （- \frac{4}{3}, -2）$，
对于点$C(0,3)$，其位似点$C^{\prime }$的坐标为：
$C^{\prime } = (0 × （- \frac{2}{3}）, 3 × （- \frac{2}{3}）) = (0, -2)$，
综上所述，答案为：点$A^{\prime }$，$B^{\prime }$，$C^{\prime }$的坐标分别为$（-\frac{2}{3}，\frac{2}{3}）$，$（\frac{4}{3}，2）$，$（0，2）$或$（\frac{2}{3}，- \frac{2}{3}）$，$（- \frac{4}{3}，-2）$，$（0，-2）$。

9. (★)如图 27.3 - 19,在平面直角坐标系中,矩形$OABC的顶点O$在坐标原点,边$OA在x$轴上,$OC在y$轴上,如果矩形$OA'B'C'与矩形OABC关于点O$位似,且矩形$OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的\frac{1}{4}$,那么点$B'$的坐标是【】

A.$(-2,3)$
B.$(2,-3)$
C.$(3,-2)或(-2,3)$
D.$(-2,3)或(2,-3)$

D

矩形$OA'B'C'$与矩形$OABC$关于点$O$位似，且矩形$OA'B'C'$的面积等于矩形$OABC$面积的$\frac{1}{4}$。
位似比为面积比的平方根，即位似比为$\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$。
矩形$OABC$中，点$B$的坐标为$(-4,6)$。
由于矩形$OA'B'C'$与矩形$OABC$关于点$O$位似，且位似比为$\frac{1}{2}$，则点$B'$的坐标为$B$坐标与位似比的乘积，并考虑位似可能为正向或反向，因此：
$B'$的坐标为$(-4 × \frac{1}{2}, 6 × \frac{1}{2}) = (-2, 3)$或$B'$的坐标为$(-4 × -\frac{1}{2}, 6 × -\frac{1}{2}) = (2, -3)$。

10. (★★)如图 27.3 - 20,在$\triangle ABC$中,$A$,$B两个顶点在x$轴的上方,点$C的坐标是(-1,0)$. 以点$C$为位似中心,在$x轴的下方作\triangle ABC$的位似图形,并把$\triangle ABC的边长放大到原来的2$倍,记所得的图形是$\triangle A'B'C$. 设点$B的对应点B'的横坐标是a$,则点$B$的横坐标是【】

A.$-\frac{1}{2}a$
B.$-\frac{1}{2}(a + 1)$
C.$-\frac{1}{2}(a - 1)$
D.$-\frac{1}{2}(a + 3)$

D

设点$B$的横坐标为$x$，位似中心$C$的坐标为$(-1,0)$，点$B'$的横坐标为$a$。
因为以$C$为位似中心，将$\triangle ABC$放大到原来的$2$倍得到$\triangle A'B'C$，且$B$在$x$轴上方，$B'$在$x$轴下方，所以$B$与$B'$在位似中心$C$的两侧，位似比为$-2$。
由位似变换坐标关系：$\overrightarrow{CB'} = -2\overrightarrow{CB}$。
横坐标关系：$a - (-1) = -2[x - (-1)]$，即$a + 1 = -2(x + 1)$。
解得：$x = -\frac{1}{2}(a + 3)$。

11. (★★)如图 27.3 - 21,在平面直角坐标系中,点$A$,$B的坐标分别为(3,0)$,$(2,-3)$,$\triangle AB'O'是\triangle ABO关于点A$的位似图形,且$O'的坐标为(-1,0)$,则点$B'$的坐标为______.

(5/3,-4)

由题意知，位似中心为点A(3,0)，O为坐标原点(0,0)，O'(-1,0)。
1. 计算位似比k：
向量AO = O - A = (-3,0)，向量AO' = O' - A = (-4,0)。
由O' = A + k(AO)，得(-1,0) = (3,0) + k(-3,0)，解得3 - 3k = -1，k = 4/3。
2. 求B'坐标：
B(2,-3)，向量AB = B - A = (-1,-3)。
向量AB' = k·AB = (4/3)(-1,-3) = (-4/3,-4)。
B' = A + AB' = (3,0) + (-4/3,-4) = (5/3,-4)。

12. (★★)如图 27.3 - 22,已知点$O$是坐标原点,$B$,$C两点的坐标分别为(3,-1)$,$(2,1)$.
(1)以点$O为位似中心在y轴的左侧将\triangle OBC放大到原来的2$倍(即新图形与原图形的相似比为$2$),画出图形；
(2)分别写出$B$,$C两点的对应点B'$,$C'$的坐标；
(3)如果$\triangle OBC内部一点M的坐标为(x,y)$,写出$M的对应点M'$的坐标.

(1) 如图所示

(2) $ B'(-6,2) $, $ C'(-4,-2) $
(3) $ M'(-2x,-2y) $