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13. (★)(2021·重庆)如图 27.3 - 23,在平面直角坐标系中,将$\triangle OAB以原点O为位似中心放大后得到\triangle OCD$,若$B(0,1)$,$D(0,3)$,则$\triangle OAB与\triangle OCD$的相似比是【
A.$2$: $1$
B.$1$: $2$
C.$3$: $1$
D.$1$: $3$
D
】A.$2$: $1$
B.$1$: $2$
C.$3$: $1$
D.$1$: $3$
答案
D
解析
∵△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，B(0,1)，D(0,3)，
∴OB=1，OD=3，
∵B与D是对应点，
∴△OAB与△OCD的相似比是OB:OD=1:3。
14. (★)(2022·黔西南)如图 27.3 - 24,在平面直角坐标系中,$\triangle OAB与\triangle OCD$位似,位似中心是坐标原点$O$. 若点$A(4,0)$,点$C(2,0)$,则$\triangle OAB与\triangle OCD$周长的比值是
2
.答案
2
解析
∵△OAB与△OCD位似，位似中心是原点O，点A(4,0)，点C(2,0)，
∴OA=4，OC=2，
∴△OAB与△OCD的相似比为OA:OC=4:2=2:1，
∵位似图形的周长比等于相似比，
∴△OAB与△OCD周长的比值是2:1，即2。
15. (★★)(2023·烟台)如图 27.3 - 25,在平面直角坐标系中,每个网格小正方形的边长均为$1$个单位长度,以点$P为位似中心作正方形PA_1A_2A_3$,正方形$PA_4A_5A_6$,…$$,按此规律作下去,所作正方形的顶点均在格点上,其中正方形$PA_1A_2A_3的顶点坐标分别为P(-3,0)$,$A_1(-2,1)$,$A_2(-1,0)$,$A_3(-2,-1)$,则顶点$A_{100}$的坐标为【
A.$(31,34)$
B.$(31,-34)$
C.$(32,35)$
D.$(32,0)$
A
】A.$(31,34)$
B.$(31,-34)$
C.$(32,35)$
D.$(32,0)$
答案
A
解析
由题意，以$ P(-3,0) $为位似中心，每个正方形对应3个顶点$ A_n $，第$ m $个正方形位似比为$ m $，顶点分三类：
右上顶点：序号$ n=3m-2 $，坐标$ (m-3,m) $；
右中顶点：序号$ n=3m-1 $，坐标$ (2m-3,0) $；
右下顶点：序号$ n=3m $，坐标$ (m-3,-m) $。
$ A_{100} $中，$ 100=3m-2 $，解得$ m=34 $，为右上顶点，坐标$ (34-3,34)=(31,34) $。
右上顶点：序号$ n=3m-2 $，坐标$ (m-3,m) $；
右中顶点：序号$ n=3m-1 $，坐标$ (2m-3,0) $；
右下顶点：序号$ n=3m $，坐标$ (m-3,-m) $。
$ A_{100} $中，$ 100=3m-2 $，解得$ m=34 $，为右上顶点，坐标$ (34-3,34)=(31,34) $。
