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1. 有一块圆心角为$300^{\circ}$的扇形铁皮,用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝处忽略不计),若圆锥的底面圆的直径是80 cm,则这块扇形铁皮的半径是(
A.24 cm
B.48 cm
C.96 cm
D.192 cm
B
)A.24 cm
B.48 cm
C.96 cm
D.192 cm
答案
B
解析
设扇形铁皮的半径为$R$ cm。
圆锥底面圆的直径为80 cm，所以底面圆的半径为$40$ cm，底面圆的周长为$2\pi×40 = 80\pi$ cm。
扇形的圆心角为$300°$，其弧长公式为$\frac{300\pi R}{180}$。
因为扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，所以$\frac{300\pi R}{180}=80\pi$。
化简得$\frac{5\pi R}{3}=80\pi$，两边同时除以$\pi$得$\frac{5R}{3}=80$，解得$R = 48$。
B
圆锥底面圆的直径为80 cm，所以底面圆的半径为$40$ cm，底面圆的周长为$2\pi×40 = 80\pi$ cm。
扇形的圆心角为$300°$，其弧长公式为$\frac{300\pi R}{180}$。
因为扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，所以$\frac{300\pi R}{180}=80\pi$。
化简得$\frac{5\pi R}{3}=80\pi$，两边同时除以$\pi$得$\frac{5R}{3}=80$，解得$R = 48$。
B
2. 如图24-4-2-4是一个废弃的扇形统计图,小明同学利用它的阴影部分制作一个圆锥,则这个圆锥的底面半径是(
A.3.6
B.1.8
C.3
D.6
A
)A.3.6
B.1.8
C.3
D.6
答案
A
解析
扇形圆心角为 $360° - 252° = 108°$，半径 $R = 12$。
扇形弧长 $l = \frac{108°}{360°} × 2\pi R = \frac{3}{10} × 2\pi × 12 = \frac{36}{5}\pi$。
圆锥底面周长等于扇形弧长，设底面半径为 $r$，则 $2\pi r = \frac{36}{5}\pi$，解得 $r = \frac{18}{5} = 3.6$。
A
扇形弧长 $l = \frac{108°}{360°} × 2\pi R = \frac{3}{10} × 2\pi × 12 = \frac{36}{5}\pi$。
圆锥底面周长等于扇形弧长，设底面半径为 $r$，则 $2\pi r = \frac{36}{5}\pi$，解得 $r = \frac{18}{5} = 3.6$。
A
3. 如图24-4-2-5,在矩形纸片$ABCD$中,$AD = 6$ cm,把它分割成正方形纸片$ABFE和矩形纸片EFCD$后,分别裁出扇形$ABF$和半径最大的圆,恰好能作为一个圆锥的侧面和底面,则$AB$的长为(
A.3.5 cm
B.4 cm
C.4.5 cm
D.5 cm
B
)A.3.5 cm
B.4 cm
C.4.5 cm
D.5 cm
答案
B
解析
设$AB = x\ cm$，则$DE = AD - AE = 6 - x\ cm$。
扇形$ABF$的半径为$AB = x\ cm$，圆心角为$90°$，其弧长为：
$\frac{90\pi x}{180} = \frac{\pi x}{2}$
矩形$EFCD$中，裁出半径最大的圆，其直径为$EF = AB = x\ cm$，半径$r = \frac{x}{2}\ cm$，圆的周长为：
$2\pi r = 2\pi \cdot \frac{x}{2} = \pi x$
因为扇形弧长等于圆锥底面周长，所以：
$\frac{\pi x}{2} = \pi (6 - x)$
解得：
$x = 4$
B
扇形$ABF$的半径为$AB = x\ cm$，圆心角为$90°$，其弧长为：
$\frac{90\pi x}{180} = \frac{\pi x}{2}$
矩形$EFCD$中，裁出半径最大的圆，其直径为$EF = AB = x\ cm$，半径$r = \frac{x}{2}\ cm$，圆的周长为：
$2\pi r = 2\pi \cdot \frac{x}{2} = \pi x$
因为扇形弧长等于圆锥底面周长，所以：
$\frac{\pi x}{2} = \pi (6 - x)$
解得：
$x = 4$
B
4. 如图24-4-2-6,从一块直径是8 m的圆形铁皮上剪一个圆心角为$90^{\circ}$的扇形,将剪下的扇形围成一个圆锥,则圆锥的高是(
A.$4\sqrt{2}$ m
B.5 m
C.$\sqrt{30}$ m
D.$2\sqrt{15}$ m
C
)A.$4\sqrt{2}$ m
B.5 m
C.$\sqrt{30}$ m
D.$2\sqrt{15}$ m
答案
C
解析
圆形铁皮直径为8m，半径$ R=4m $。
扇形圆心角$ n=90° $，半径为圆形铁皮半径4m。
扇形弧长：$ l=\frac{n\pi R}{180}=\frac{90\pi×4}{180}=2\pi \,m $。
此弧长为圆锥底面周长，设圆锥底面半径为$ r $，则$ 2\pi r=2\pi $，解得$ r=1m $。
圆锥母线长为扇形半径4m，圆锥高$ h=\sqrt{4^2 - 1^2}=\sqrt{16 - 1}=\sqrt{15}\,m $。
C
扇形圆心角$ n=90° $，半径为圆形铁皮半径4m。
扇形弧长：$ l=\frac{n\pi R}{180}=\frac{90\pi×4}{180}=2\pi \,m $。
此弧长为圆锥底面周长，设圆锥底面半径为$ r $，则$ 2\pi r=2\pi $，解得$ r=1m $。
圆锥母线长为扇形半径4m，圆锥高$ h=\sqrt{4^2 - 1^2}=\sqrt{16 - 1}=\sqrt{15}\,m $。
C
5. 若一个圆锥的底面积是其侧面积的$\frac{1}{3}$,则该圆锥侧面展开图的圆心角度数是
120°
。答案
120°
解析
设圆锥底面半径为$r$，母线长为$l$，侧面展开图的圆心角为$n°$。
圆锥底面积$S_底=\pi r^2$，侧面积$S_侧=\pi rl$。
由题意$S_底=\frac{1}{3}S_侧$，即$\pi r^2=\frac{1}{3}\pi rl$，化简得$l=3r$。
圆锥侧面展开图弧长等于底面周长，$\frac{n\pi l}{180}=2\pi r$，将$l=3r$代入得$\frac{n\pi \cdot 3r}{180}=2\pi r$，解得$n=120$。
120°
圆锥底面积$S_底=\pi r^2$，侧面积$S_侧=\pi rl$。
由题意$S_底=\frac{1}{3}S_侧$，即$\pi r^2=\frac{1}{3}\pi rl$，化简得$l=3r$。
圆锥侧面展开图弧长等于底面周长，$\frac{n\pi l}{180}=2\pi r$，将$l=3r$代入得$\frac{n\pi \cdot 3r}{180}=2\pi r$，解得$n=120$。
120°
6. 如图24-4-2-7,在等腰三角形$ABC$中,$\angle BAC = 120^{\circ}$,$AD是\angle BAC$的平分线,且$AD = 6$,以点$A$为圆心,$AD长为半径画弧EF$,交$AB于点E$,交$AC于点F$。
(1)求由弧$EF及线段FC$,$CB$,$BE$围成的图形(图中阴影部分)的面积；
(2)将阴影部分剪掉,余下扇形$AEF$,将扇形$AEF$围成一个圆锥的侧面,$AE与AF$正好重合,圆锥侧面无重叠,求这个圆锥的高$h$。
(1)求由弧$EF及线段FC$,$CB$,$BE$围成的图形(图中阴影部分)的面积；
(2)将阴影部分剪掉,余下扇形$AEF$,将扇形$AEF$围成一个圆锥的侧面,$AE与AF$正好重合,圆锥侧面无重叠,求这个圆锥的高$h$。
答案
(1)36√3-12π
(2)4√2
