【例1】如图24-4-2-2,将半径为3 cm的圆形纸片沿$AB$折叠后,圆弧恰好经过圆心$O$,用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的高为()

A.$2\sqrt{2}$ cm
B.$\sqrt{2}$ cm
C.$\sqrt{10}$ cm
D.$\frac{3}{2}$ cm
解题关键 先确定围成圆锥的母线长和底面圆的半径,然后根据勾股定理进行计算。

A

过点$O$作$OC \perp AB$于点$C$，交$\overset{\frown}{AB}$于点$D$，连接$OA$，$OB$。由折叠性质得$OC = CD=\frac{1}{2}OD=\frac{3}{2}\ cm$。
在$Rt\triangle OAC$中，$\cos\angle AOC=\frac{OC}{OA}=\frac{\frac{3}{2}}{3}=\frac{1}{2}$，$\therefore\angle AOC = 60°$，$\angle AOB=2\angle AOC = 120°$。
阴影扇形的弧长$l=\frac{120\pi×3}{180}=2\pi\ cm$，即圆锥底面周长为$2\pi\ cm$，设底面半径为$r$，则$2\pi r=2\pi$，$r = 1\ cm$。
圆锥母线长为$3\ cm$，高$h=\sqrt{3^2 - 1^2}=\sqrt{9 - 1}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\ cm$。
A

【例2】如图24-4-2-3,一个圆锥的高为$3\sqrt{3}$ cm,侧面展开图是半圆。
求：(1)圆锥的母线长与底面圆的半径之比；
(2)$\angle BAC$的度数；
(3)圆锥的侧面积。(结果保留$\pi$)
解题关键 明确圆锥表面展开图中扇形的弧长等于圆锥的底面周长,扇形的半径等于圆锥的母线长。

1. （1）
设圆锥底面圆半径为$r$，母线长为$l$。
因为圆锥侧面展开图是半圆，所以半圆的弧长$=\pi l$，又因为圆锥底面周长$ = 2\pi r$，且圆锥侧面展开图扇形弧长等于圆锥底面周长，即$\pi l=2\pi r$。
两边同时除以$\pi$，可得$l = 2r$，所以$\frac{l}{r}=2$。
2. （2）
解：在$Rt\triangle AOC$中，$AO = 3\sqrt{3}$，$l = AC$，$r = OC$，由（1）知$l = 2r$。
根据勾股定理$AO^{2}+OC^{2}=AC^{2}$，把$AC = 2OC$，$AO = 3\sqrt{3}$代入可得：$(3\sqrt{3})^{2}+OC^{2}=(2OC)^{2}$。
即$27+OC^{2}=4OC^{2}$，移项得$3OC^{2}=27$，$OC^{2}=9$，解得$OC = 3$（$OC\gt0$），则$AC=2OC = 6$。
所以$\sin\angle OAC=\frac{OC}{AC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，因为$\angle OAC$是锐角，所以$\angle OAC = 30^{\circ}$。
又因为$AB = AC$，$AO\perp BC$，所以$\angle BAC=2\angle OAC = 60^{\circ}$。
3. （3）
解：由（2）知$l = 6$。
圆锥侧面积公式$S_{侧}=\pi rl$，由$l = 2r$，$r = 3$，$l = 6$。
所以$S_{侧}=\pi×3×6 = 18\pi(cm^{2})$。
综上，（1）圆锥的母线长与底面圆的半径之比为$2:1$；（2）$\angle BAC$的度数为$60^{\circ}$；（3）圆锥的侧面积为$18\pi cm^{2}$。