专题探究

1. 实数和**数轴上的点**是一一对应的。
2. 有理数（整数、分数，有限小数和无限循环小数）、无理数（无限不循环小数）。
3. 开平方：
如果一个数$x$的**平方**等于$a$，那么这个数$x$就叫作$a$的平方根（或二次方根），记作$\pm\sqrt{a}$。
一个正数有**两**个平方根，它们互为**相反数**；$0$的平方根是**$0$**；负数**没有**平方根。
正数$a$的**正**的平方根叫作$a$的算术平方根，记作$\sqrt{a}$。
4. 二次根式：
形如$\sqrt{a}(a\geq0)$的式子。
当被开方数中既**不含分母**，也**不含能开得尽方的因数或因式**时，是最简二次根式。
重要性质：$\sqrt{a^{2}}=\vert a\vert$；$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}(a\geq0,b\geq0)$；$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a\geq0,b ＞ 0)$。
乘除法则：$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a\geq0,b\geq0)$；$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a\geq0,b ＞ 0)$。
5. 开立方：
如果一个数$x$的立方等于$a$，那么这个数$x$就叫作$a$的**立方根**（或**三次方根**），记作$\sqrt[3]{a}$。
一个正数只有**一**个**正**的立方根；一个负数只有**一**个**负**的立方根；$0$的立方根是**$0$**。
6. 开$n$次方：如果一个数$x$的**$n$次方**等于$a$，那么这个数$x$就叫作$a$的**$n$次方根**。
7. 运算律：
加法**交换律**、**结合律**；乘法**交换律**、**结合律**、**分配律**。
8. 运算顺序：先算**乘方、开方**，再算**乘、除**，最后算**加、减**，有括号的要先算**括号里面的**。
综上，答案依次为：数轴上的点；有理数；无限不循环；平方；$\pm\sqrt{a}$；两；相反数；$0$；没有；正；$\sqrt{a}$；$\sqrt{a}(a\geq0)$；不含分母；不含能开得尽方的因数或因式；$\vert a\vert$；$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}(a\geq0,b\geq0)$；$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a\geq0,b ＞ 0)$；$\sqrt{ab}(a\geq0,b\geq0)$；$\sqrt{\frac{a}{b}}(a\geq0,b ＞ 0)$；立方根；三次方根；$\sqrt[3]{a}$；一；正；一；负；$0$；$n$次方；$n$次方根；交换律；结合律；交换律；结合律；分配律；乘方、开方；乘、除；加、减；括号里面的。

1. 化简：
$ \dfrac{3}{\sqrt{5}} $
$ \dfrac{1}{\sqrt{10} - 3} $
$ \dfrac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} $

1. 解:
(1)原式$=\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}× \sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$。
(2)原式$=\frac{\sqrt{10}+3}{(\sqrt{10}-3)× (\sqrt{10}+3)}=\sqrt{10}+3$。
(3)原式$=\frac{2× (\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})× (\sqrt{5}-\sqrt{3})}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$。