6. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,$ BC = 4 $,$ \triangle ABC $ 的面积是 16,$ AC $ 的垂直平分线 $ EF $ 分别交边 $ AC $,$ AB $ 于点 $ E $,$ F $,若点 $ D $ 为边 $ BC $ 的中点,点 $ M $ 为线段 $ EF $ 上一动点,则 $ \triangle CDM $ 周长的最小值为()

A.6
B.8
C.10
D.12

C

∵D为BC中点，BC=4，∴CD=2（定值），△CDM周长=CD+DM+MC=2+DM+MC，即求DM+MC最小值.
∵EF垂直平分AC，∴M在EF上时，MA=MC（垂直平分线性质），∴DM+MC=DM+MA.
要使DM+MA最小，M为EF上动点，A、D为定点，由两点之间线段最短，当M为AD与EF交点时，DM+MA=AD（最小）.
∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵△ABC面积=16，BC=4，∴(BC×AD)/2=16，即(4×AD)/2=16，解得AD=8.
∴△CDM周长最小值=2+8=10.

7. 如图,在四边形 $ ABCD $ 中,$ \angle C = 70^\circ $,$ \angle B = \angle D = 90^\circ $,$ E $,$ F $ 分别是 $ BC $,$ DC $ 上的点,当 $ \triangle AEF $ 的周长最小时,$ \angle EAF $ 的度数为()

A.$ 30^\circ $
B.$ 40^\circ $
C.$ 50^\circ $
D.$ 70^\circ $

B

作点A关于BC的对称点A'，关于CD的对称点A''，连接A'A''交BC于E，交CD于F，此时△AEF周长最小。
由四边形内角和得∠BAD=360°-90°-70°-90°=110°。
设∠BAE=α，∠DAF=β，因为A'、A''为对称点，所以∠A'=α，∠A''=β，且α+β=∠A'+∠A''。
在△A'A''A中，∠A'AA''=∠BAD=110°，故∠A'+∠A''=180°-110°=70°，即α+β=70°。
又∠BAD=α+∠EAF+β=110°，所以∠EAF=110°-(α+β)=110°-70°=40°。

8. 如图,已知 $ \triangle ABC $ 是等边三角形,点 $ D $,$ E $ 分别是边 $ BC $,$ AB $ 的中点,$ AD = 6 $,点 $ F $ 是线段 $ AD $ 上的动点,则 $ BF + EF $ 的最小值为______.

∵△ABC是等边三角形，D是BC中点，
∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），
∴AD上任意点F到B，C距离相等，即FB=FC.
则BF+EF=FC+EF，要使BF+EF最小，即求FC+EF最小值.
∵E，C为定点，F在AD上，
∴当F为EC与AD交点时，FC+EF=EC（两点之间线段最短），即BF+EF最小值为EC长.
∵△ABC是等边三角形，E为AB中点，设边长为a，AD为中线，AD=6，
∴AD=（√3/2）a=6.
在△EBC中，EB=a/2，BC=a，∠B=60°，
由余弦定理：EC²=EB²+BC²-2·EB·BC·cos60°
=（a/2）²+a²-2·（a/2）·a·1/2=3a²/4，
∴EC=（√3/2）a=AD=6.
故BF+EF的最小值为6.
6

9. 如图,等边三角形 $ ABC $ 的边长为 4,$ AD $ 是边 $ BC $ 上的中线,$ F $ 是边 $ AD $ 上的动点,$ E $ 是边 $ AC $ 上一点. 若 $ AE = 2 $,当 $ EF + CF $ 取得最小值时,则 $ \angle ECF $ 的度数为______$^\circ$.

答题卡：
解：
1. 作点$E$关于$AD$的对称点$E'$，由于$AD$是$BC$边上的中线，也是$BC$边上的高（等边三角形三线合一），所以$AD$垂直平分$BC$，则点$E'$落在$AB$上，且$AE' = AE = 2$。
2. 连接$CE'$，与$AD$交于点$F$，此时$EF + CF = E'F + CF = CE'$，根据两点之间线段最短，$CE'$就是$EF + CF$的最小值。
3. 因为$\triangle ABC$是等边三角形，边长为$4$，$AE' = 2$，所以$BE' = 4 - 2 = 2$。
4. 在$\triangle BCE'$中，$BC = 4$，$BE' = 2$，$\angle B = 60^{\circ}$，由余弦定理$CE'^{2}=BC^{2}+BE'^{2}-2BC\cdot BE'\cdot\cos B$可得：
$CE'^{2}=4^{2}+2^{2}-2×4×2×\cos60^{\circ}=16 + 4-16×\frac{1}{2}=12$，则$CE' = 2\sqrt{3}$。
5. 又因为$BC^{2}=16$，$BE'^{2}=4$，满足$BC^{2}=BE'^{2}+CE'^{2}$，所以$\triangle BCE'$是直角三角形，$\angle BE'C = 90^{\circ}$。
6. 因为$\angle ACB = 60^{\circ}$，$\angle ACE'=\angle ACB-\angle BCE' = 30^{\circ}$，且$E$与$E'$关于$AD$对称，所以$\angle ECF=\angle E'CF$，则$\angle ECF = 30^{\circ}$。
故答案为：$30$。

10. 如图,$ \angle AOB = 30^\circ $,$ \angle AOB $ 内有一定点 $ P $,且 $ OP = 10 $. 在 $ OA $ 上有一点 $ Q $,$ OB $ 上有一点 $ R $,若 $ \triangle PQR $ 的周长最小,则周长的最小值是.

作点P关于OA的对称点P₁，关于OB的对称点P₂，连接P₁P₂，分别交OA、OB于点Q、R，则此时△PQR周长最小，最小值为P₁P₂的长。
∵P₁是P关于OA的对称点，∴OP₁=OP=10，∠P₁OA=∠POA。
∵P₂是P关于OB的对称点，∴OP₂=OP=10，∠P₂OB=∠POB。
∵∠AOB=30°，即∠POA+∠POB=30°，
∴∠P₁OP₂=2∠POA+2∠POB=2(∠POA+∠POB)=2×30°=60°。
∵OP₁=OP₂=10，∠P₁OP₂=60°，
∴△P₁OP₂为等边三角形，∴P₁P₂=OP₁=10。
故△PQR周长的最小值为10。
10