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1. 甲、乙、丙三个数之和为$36$,甲数比乙数的$2倍大1$,乙数的$\frac{1}{2}$恰好等于丙数,则甲、乙、丙三个数分别是(
A.24,8,4
B.21,10,5
C.19,9,8
D.10,5,21
B
)。A.24,8,4
B.21,10,5
C.19,9,8
D.10,5,21
答案
B
解析
设乙数为$x$，则根据题意，甲数为$2x + 1$，丙数为$\frac{1}{2}x$。
根据三个数之和为36，可以列出方程：
$2x + 1 + x + \frac{1}{2}x = 36$，
合并同类项，得到：
$\frac{7}{2}x+1=36$，
$\frac{7}{2}x=35$，
$7x=70$，
解得$x = 10$。
将$x = 10$代入甲数和丙数的表达式，得到：
甲数 $= 2 × 10 + 1 = 21$，
丙数 $= \frac{1}{2} × 10 = 5$。
所以，甲、乙、丙三个数分别是$21, 10, 5$。
故答案为：B. $21, 10, 5$。
根据三个数之和为36，可以列出方程：
$2x + 1 + x + \frac{1}{2}x = 36$，
合并同类项，得到：
$\frac{7}{2}x+1=36$，
$\frac{7}{2}x=35$，
$7x=70$，
解得$x = 10$。
将$x = 10$代入甲数和丙数的表达式，得到：
甲数 $= 2 × 10 + 1 = 21$，
丙数 $= \frac{1}{2} × 10 = 5$。
所以，甲、乙、丙三个数分别是$21, 10, 5$。
故答案为：B. $21, 10, 5$。
2. 已知满足$2x - 3y = 11 - 4m和3x + 2y = 21 - 5m的x$,$y也满足x + 3y = 20 - 7m$,那么$m$的值是(
A.0
B.1
C.2
D.$\frac{1}{2}$
C
)。A.0
B.1
C.2
D.$\frac{1}{2}$
答案
C
解析
根据题意，有以下三个方程：
$\begin{cases}2x - 3y = 11 - 4m \quad (1) \\3x + 2y = 21 - 5m \quad (2) \\x + 3y = 20 - 7m \quad (3)\end{cases}$
将方程
(1)和方程
(3)相加，得到：
$3x = 31 - 11m \quad (4)$，
将方程
(2)减去方程
(1)得到：
$x+5y=10-m$（5），
将（3）-（5）得到：
$-2x+8y=10-6m+m$，
即$-2x+8y=10-6m$（6），
将（4）代入（6）得到：
$-2(\frac{31-11m}{3})+8y=10-6m$，
解得$y= \frac{34-10m}{12}$，
将$x= \frac{31-11m}{3}$，$y= \frac{34-10m}{12}$代入（3）得到：
$\frac{31-11m}{3}+3×\frac{34-10m}{12}=20-7m$，
解得$m=2$。
故答案为：C. $2$。
$\begin{cases}2x - 3y = 11 - 4m \quad (1) \\3x + 2y = 21 - 5m \quad (2) \\x + 3y = 20 - 7m \quad (3)\end{cases}$
将方程
(1)和方程
(3)相加，得到：
$3x = 31 - 11m \quad (4)$，
将方程
(2)减去方程
(1)得到：
$x+5y=10-m$（5），
将（3）-（5）得到：
$-2x+8y=10-6m+m$，
即$-2x+8y=10-6m$（6），
将（4）代入（6）得到：
$-2(\frac{31-11m}{3})+8y=10-6m$，
解得$y= \frac{34-10m}{12}$，
将$x= \frac{31-11m}{3}$，$y= \frac{34-10m}{12}$代入（3）得到：
$\frac{31-11m}{3}+3×\frac{34-10m}{12}=20-7m$，
解得$m=2$。
故答案为：C. $2$。
3. 一套数学题集共有$100$道题,甲、乙和丙三人分别作答,每道题至少有一人解对,且每人都解对了其中的$60$道。如果将其中只有$1$人解对的题称作难题,$2$人解对的题称作中档题,$3$人都解对的题称作容易题,那么下列判断一定正确的是(
A.容易题和中档题共$60$道
B.难题比容易题多$20$道
C.难题比中档题多$10$道
D.中档题比容易题多$15$道
B
)。A.容易题和中档题共$60$道
B.难题比容易题多$20$道
C.难题比中档题多$10$道
D.中档题比容易题多$15$道
答案
B
解析
设难题有$x$道，中档题有$y$道，容易题有$z$道。
根据题意，可以列出以下两个方程：
$x + y + z = 100$（总题数），
$x + 2y + 3z = 3 × 60 = 180$（每人解对的题数总和，因为每道题至少有一人解对，所以难题被算1次，中档题被算2次，容易题被算3次）。
将第一个方程乘以3，然后减去第二个方程，得到：
$3x + 3y + 3z - (x + 2y + 3z) = 300 - 180$，
$2x + y = 120$，
由此，可以得到：
$y = 120 - 2x$，
将$y$的表达式代入第一个方程，得到：
$x + (120 - 2x) + z = 100$，
$z = x - 20$，
根据上述表达式，可以分析选项：
A. $z + y = x - 20 + 120 - 2x = 100 - x$，由于$x$的值未知，所以无法确定$z + y$是否等于60，故A错误。
B. $x - z = x - (x - 20) = 20$，即难题比容易题多20道，故B正确。
C. $x - y = x - (120 - 2x) = 3x - 120$，由于$x$的值未知，所以无法确定$x - y$是否等于10，故C错误。
D. $y - z = (120 - 2x) - (x - 20) = 140 - 3x$，由于$x$的值未知，所以无法确定$y - z$是否等于15，故D错误。
所以正确答案是B。
根据题意，可以列出以下两个方程：
$x + y + z = 100$（总题数），
$x + 2y + 3z = 3 × 60 = 180$（每人解对的题数总和，因为每道题至少有一人解对，所以难题被算1次，中档题被算2次，容易题被算3次）。
将第一个方程乘以3，然后减去第二个方程，得到：
$3x + 3y + 3z - (x + 2y + 3z) = 300 - 180$，
$2x + y = 120$，
由此，可以得到：
$y = 120 - 2x$，
将$y$的表达式代入第一个方程，得到：
$x + (120 - 2x) + z = 100$，
$z = x - 20$，
根据上述表达式，可以分析选项：
A. $z + y = x - 20 + 120 - 2x = 100 - x$，由于$x$的值未知，所以无法确定$z + y$是否等于60，故A错误。
B. $x - z = x - (x - 20) = 20$，即难题比容易题多20道，故B正确。
C. $x - y = x - (120 - 2x) = 3x - 120$，由于$x$的值未知，所以无法确定$x - y$是否等于10，故C错误。
D. $y - z = (120 - 2x) - (x - 20) = 140 - 3x$，由于$x$的值未知，所以无法确定$y - z$是否等于15，故D错误。
所以正确答案是B。
4. 已知等式$y = ax^{2}+bx + c$,当$x = - 1$时,$y = 6$,当$x = 1$时,$y = 2$,当$x = 2$时,$y = 3$,则$y与x$之间的关系式是
y=x²-2x+3
。答案
y=x²-2x+3
解析
根据题意，可列方程：
当$x = - 1$时，$y = 6$，得$a - b + c = 6$，
当$x = 1$时，$y = 2$，得$a + b + c = 2$，
当$x = 2$时，$y = 3$，得$4a + 2b + c = 3$，
联立可得：
$\begin{cases}a - b + c = 6,\\a + b + c = 2,\\4a + 2b + c = 3.\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得：
$2b = -4$，
$b = -2$，
将$b = -2$带入第一个和第二个方程中可得：
$\begin{cases}a + c = 4,\\4a + c = 7.\end{cases}$
用下面的方程减去上面的方程得：
$3a = 3$，
$a = 1$，
将$a = 1$带入$a + c = 4$中可得：
$c = 3$，
所以方程组的解为：
$\begin{cases}a = 1,\\b = -2,\\c = 3.\end{cases}$
将$a$，$b$，$c$的值代入$y = ax^{2} + bx + c$中，得到：
$y = x^{2} - 2x + 3$。
故答案为：$y = x^{2} - 2x + 3$。
当$x = - 1$时，$y = 6$，得$a - b + c = 6$，
当$x = 1$时，$y = 2$，得$a + b + c = 2$，
当$x = 2$时，$y = 3$，得$4a + 2b + c = 3$，
联立可得：
$\begin{cases}a - b + c = 6,\\a + b + c = 2,\\4a + 2b + c = 3.\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得：
$2b = -4$，
$b = -2$，
将$b = -2$带入第一个和第二个方程中可得：
$\begin{cases}a + c = 4,\\4a + c = 7.\end{cases}$
用下面的方程减去上面的方程得：
$3a = 3$，
$a = 1$，
将$a = 1$带入$a + c = 4$中可得：
$c = 3$，
所以方程组的解为：
$\begin{cases}a = 1,\\b = -2,\\c = 3.\end{cases}$
将$a$，$b$，$c$的值代入$y = ax^{2} + bx + c$中，得到：
$y = x^{2} - 2x + 3$。
故答案为：$y = x^{2} - 2x + 3$。
5. 某单位在参加“植树造林”活动中,把$62$名职工分成三个小组,第一组与第二组人数比是$3:2$,第二组与第三组人数比是$5:3$,则每组人数分别为
30，20，12
人。答案
30，20，12
解析
设第一组有$3x$人，第二组有$2x$人（根据第一组与第二组人数比是$3:2$）；
又因为第二组与第三组人数比是$5:3$，所以可将第二组人数表示为$5y$人，则第三组有$3y$人，为使第二组人数统一，令$2x = 5y$，则$x=\frac{5}{2}y$，为方便计算取$y = 2$，那么$x = 5$。
第一组人数：$3x=3×5 = 30$人；
第二组人数：$2x = 2×5=20$人；
第三组人数：总人数为$62$人，所以第三组人数为$62 - 30 - 20=12$人。
故三组人数分别为$30$，$20$，$12$人。
又因为第二组与第三组人数比是$5:3$，所以可将第二组人数表示为$5y$人，则第三组有$3y$人，为使第二组人数统一，令$2x = 5y$，则$x=\frac{5}{2}y$，为方便计算取$y = 2$，那么$x = 5$。
第一组人数：$3x=3×5 = 30$人；
第二组人数：$2x = 2×5=20$人；
第三组人数：总人数为$62$人，所以第三组人数为$62 - 30 - 20=12$人。
故三组人数分别为$30$，$20$，$12$人。
6. 某校创造节插花艺术比赛中同学们制作了若干个甲、乙、丙三种造型的花篮。甲种花篮由$9$朵玫瑰花、$16朵水仙花和10$朵百合花搭配而成；乙种花篮由$6$朵玫瑰花、$8$朵水仙花搭配而成；丙种花篮由$6$朵玫瑰花、$12朵水仙花和10$朵百合花搭配而成。若这些花篮一共用了$240$朵玫瑰花、$300$朵百合花,则水仙花一共用了
440
朵。答案
440
解析
设甲、乙、丙三种造型的花篮分别有$x$个，$y$个，$z$个。
根据题意，列出关于玫瑰花和百合花的方程：
对于玫瑰花：$9x + 6y + 6z = 240$，
化简得：$3x + 2y + 2z = 80$ （方程1），
对于百合花：$10x + 10z = 300$，
化简得：$x + z = 30$ （方程2），
由方程2可得：$z = 30 - x$，
将$z = 30 - x$代入方程1中，得到：
$3x + 2y + 2(30 - x) = 80$，
$3x + 2y + 60 - 2x = 80$，
$x + 2y = 20$，
$x= 20-2y$，
水仙花的总数可以表示为：
$16x + 8y + 12z$
$=16x + 8y + 12(30 - x)$
$=16x + 8y + 360 - 12x$
$=4x + 8y + 360$
$=4(x + 2y) + 360$
将$x= 20-2y$代入$x + 2y = 20$中，可得：
$4×20 + 360$
$=80 + 360$
$= 440$
所以，水仙花一共用了440朵。
根据题意，列出关于玫瑰花和百合花的方程：
对于玫瑰花：$9x + 6y + 6z = 240$，
化简得：$3x + 2y + 2z = 80$ （方程1），
对于百合花：$10x + 10z = 300$，
化简得：$x + z = 30$ （方程2），
由方程2可得：$z = 30 - x$，
将$z = 30 - x$代入方程1中，得到：
$3x + 2y + 2(30 - x) = 80$，
$3x + 2y + 60 - 2x = 80$，
$x + 2y = 20$，
$x= 20-2y$，
水仙花的总数可以表示为：
$16x + 8y + 12z$
$=16x + 8y + 12(30 - x)$
$=16x + 8y + 360 - 12x$
$=4x + 8y + 360$
$=4(x + 2y) + 360$
将$x= 20-2y$代入$x + 2y = 20$中，可得：
$4×20 + 360$
$=80 + 360$
$= 440$
所以，水仙花一共用了440朵。
7. 汽车在平路上的速度为$60km/h$,上坡时的速度为$40km/h$,下坡时的速度为$80km/h$。现在走$240km$的路程,去时用了$4h$,回来时用了$\frac{9}{2}h$。这段路程中平路有多少千米？去时上坡、下坡各有多少千米？
答案
平路：120 km，去时上坡：40 km，去时下坡：80 km
解析
设平路有$x$千米，去时上坡有$y$千米，去时下坡有$z$千米。
由题意得：
$\begin{cases}x + y + z = 240, \\ \frac{x}{60} + \frac{y}{40} + \frac{z}{80} = 4, \\ \frac{x}{60} + \frac{y}{80} + \frac{z}{40} = \frac{9}{2}.\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}13x + 6y + 3z = 1920\quad(1)\\4x + 3y + 6z = 1080\quad(2)\end{cases}$
$(1) - (2)×2$得：
$5x - 9z = -240\quad(3)$,
$z = \frac{5x+240}{9}$,
将$x + y + z = 240$和$z = \frac{5x+240}{9}$代入
(2)得：
$4x + 3×(240 - x - \frac{5x+240}{9}) + 6×\frac{5x+240}{9} = 1080$,
解得$x=120$,
将$x=120$代入$z = \frac{5x+240}{9}$,
$z = 80$,
将$x=120,z = 80$代入$x + y + z = 240$得：
$120+80+y=240$,
$y=40$,
所以，平路有$120$千米，去时上坡有$40$千米，去时下坡有$80$千米。
由题意得：
$\begin{cases}x + y + z = 240, \\ \frac{x}{60} + \frac{y}{40} + \frac{z}{80} = 4, \\ \frac{x}{60} + \frac{y}{80} + \frac{z}{40} = \frac{9}{2}.\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}13x + 6y + 3z = 1920\quad(1)\\4x + 3y + 6z = 1080\quad(2)\end{cases}$
$(1) - (2)×2$得：
$5x - 9z = -240\quad(3)$,
$z = \frac{5x+240}{9}$,
将$x + y + z = 240$和$z = \frac{5x+240}{9}$代入
(2)得：
$4x + 3×(240 - x - \frac{5x+240}{9}) + 6×\frac{5x+240}{9} = 1080$,
解得$x=120$,
将$x=120$代入$z = \frac{5x+240}{9}$,
$z = 80$,
将$x=120,z = 80$代入$x + y + z = 240$得：
$120+80+y=240$,
$y=40$,
所以，平路有$120$千米，去时上坡有$40$千米，去时下坡有$80$千米。
