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生活中的许多问题都可以借助或归结为上述“鸡兔同笼”问题。你能试着利用“鸡兔同笼”的解答思路来解决下面的问题吗？
（1）自行车和三轮车共10辆，总共有26个轮子。问：自行车与三轮车各有几辆？
（2）45个同学共计捐款500元，其中12个同学每人捐5元，其他同学每人捐10元或20元。捐10元和捐20元的同学各有多少人？
（1）自行车和三轮车共10辆，总共有26个轮子。问：自行车与三轮车各有几辆？
（2）45个同学共计捐款500元，其中12个同学每人捐5元，其他同学每人捐10元或20元。捐10元和捐20元的同学各有多少人？
答案
（1）方法一：假设10辆车全为自行车
10×2=20（个）
26-20=6（个）
三轮车：6÷（3-2）=6（辆）
自行车：10-6=4（辆）
方法二：假设10辆车全为三轮车
10×3=30（个）
30-26=4（个）
自行车：4÷（3-2）=4（辆）
三轮车：10-4=6（辆）
答：自行车有4辆，三轮车有6辆。
（2）方法一：
45-12=33（个）
500-5×12=440（元）
假设剩下的33个同学每人都捐10元。
33×10=330（元）
440-330=110（元）
捐20元的同学：110÷（20-10）=11（人）
捐10元的同学：33-11=22（人）
方法二：
45-12=33（个）
500-5×12=440（元）
假设剩下的33个同学每人都捐20元。
33×20=660（元）
660-440=220（元）
捐10元的同学：220÷（20-10）=22（人）
捐20元的同学：33-22=11（人）
答：捐10元的同学有22人，捐20元的同学有11人。
10×2=20（个）
26-20=6（个）
三轮车：6÷（3-2）=6（辆）
自行车：10-6=4（辆）
方法二：假设10辆车全为三轮车
10×3=30（个）
30-26=4（个）
自行车：4÷（3-2）=4（辆）
三轮车：10-4=6（辆）
答：自行车有4辆，三轮车有6辆。
（2）方法一：
45-12=33（个）
500-5×12=440（元）
假设剩下的33个同学每人都捐10元。
33×10=330（元）
440-330=110（元）
捐20元的同学：110÷（20-10）=11（人）
捐10元的同学：33-11=22（人）
方法二：
45-12=33（个）
500-5×12=440（元）
假设剩下的33个同学每人都捐20元。
33×20=660（元）
660-440=220（元）
捐10元的同学：220÷（20-10）=22（人）
捐20元的同学：33-22=11（人）
答：捐10元的同学有22人，捐20元的同学有11人。
解析
【分析】
这两道题是鸡兔同笼模型的生活应用类题目，均采用假设法求解：
1. 第(1)题已知两种车的总辆数、总轮子数，我们可以先假设所有车都是同一种，算出假设的总轮子数，对比实际总轮子数得到差额；差额是因为把另一种车的轮子数算错了，每辆车的轮子差为1个，用总差额除以单辆车的差额就能得到被算错的车的数量，再用总辆数相减得到另一种车的数量。
2. 第(2)题首先要先排除已知的捐5元的同学，算出剩余同学的总人数、剩余捐款总额，就转化为标准的鸡兔同笼问题；同样用假设法，先假设剩余同学全捐同一种金额，算出假设总额和实际的差额，用总差额除以单人捐款差额就能得到对应人数。
【解析】
（1）方法一：假设10辆车全为自行车
假设总轮子数：$10×2=20$（个）
比实际少的轮子数：$26-20=6$（个）
每辆三轮车比自行车多的轮子数：$3-2=1$（个）
三轮车数量：$6÷1=6$（辆）
自行车数量：$10-6=4$（辆）
方法二：假设10辆车全为三轮车
假设总轮子数：$10×3=30$（个）
比实际多的轮子数：$30-26=4$（个）
每辆自行车比三轮车少的轮子数：$3-2=1$（个）
自行车数量：$4÷1=4$（辆）
三轮车数量：$10-4=6$（辆）
（2）先计算捐10元、20元的总人数和对应捐款总额：
捐10元/20元的总人数：$45-12=33$（人）
12名捐5元的同学总捐款：$12×5=60$（元）
剩余33人总捐款：$500-60=440$（元）
方法一：假设剩下33个同学每人都捐10元
假设总捐款：$33×10=330$（元）
比实际少的捐款额：$440-330=110$（元）
每个捐20元比捐10元多的金额：$20-10=10$（元）
捐20元的人数：$110÷10=11$（人）
捐10元的人数：$33-11=22$（人）
方法二：假设剩下33个同学每人都捐20元
假设总捐款：$33×20=660$（元）
比实际多的捐款额：$660-440=220$（元）
每个捐10元比捐20元少的金额：$20-10=10$（元）
捐10元的人数：$220÷10=22$（人）
捐20元的人数：$33-22=11$（人）
【答案】
（1）自行车有4辆，三轮车有6辆。
（2）捐10元的同学有22人，捐20元的同学有11人。
【知识点】
1. 鸡兔同笼问题
2. 假设法解题
3. 四则运算应用
【点评】
这两道题是鸡兔同笼模型在生活中的典型应用，解题核心是通过假设将两类未知量的问题转化为单一未知量，利用总差额和单个个体的差额的对应关系求解，掌握该方法可以快速解决同类实际问题。
【难度系数】
0.7
这两道题是鸡兔同笼模型的生活应用类题目，均采用假设法求解：
1. 第(1)题已知两种车的总辆数、总轮子数，我们可以先假设所有车都是同一种，算出假设的总轮子数，对比实际总轮子数得到差额；差额是因为把另一种车的轮子数算错了，每辆车的轮子差为1个，用总差额除以单辆车的差额就能得到被算错的车的数量，再用总辆数相减得到另一种车的数量。
2. 第(2)题首先要先排除已知的捐5元的同学，算出剩余同学的总人数、剩余捐款总额，就转化为标准的鸡兔同笼问题；同样用假设法，先假设剩余同学全捐同一种金额，算出假设总额和实际的差额，用总差额除以单人捐款差额就能得到对应人数。
【解析】
（1）方法一：假设10辆车全为自行车
假设总轮子数：$10×2=20$（个）
比实际少的轮子数：$26-20=6$（个）
每辆三轮车比自行车多的轮子数：$3-2=1$（个）
三轮车数量：$6÷1=6$（辆）
自行车数量：$10-6=4$（辆）
方法二：假设10辆车全为三轮车
假设总轮子数：$10×3=30$（个）
比实际多的轮子数：$30-26=4$（个）
每辆自行车比三轮车少的轮子数：$3-2=1$（个）
自行车数量：$4÷1=4$（辆）
三轮车数量：$10-4=6$（辆）
（2）先计算捐10元、20元的总人数和对应捐款总额：
捐10元/20元的总人数：$45-12=33$（人）
12名捐5元的同学总捐款：$12×5=60$（元）
剩余33人总捐款：$500-60=440$（元）
方法一：假设剩下33个同学每人都捐10元
假设总捐款：$33×10=330$（元）
比实际少的捐款额：$440-330=110$（元）
每个捐20元比捐10元多的金额：$20-10=10$（元）
捐20元的人数：$110÷10=11$（人）
捐10元的人数：$33-11=22$（人）
方法二：假设剩下33个同学每人都捐20元
假设总捐款：$33×20=660$（元）
比实际多的捐款额：$660-440=220$（元）
每个捐10元比捐20元少的金额：$20-10=10$（元）
捐10元的人数：$220÷10=22$（人）
捐20元的人数：$33-22=11$（人）
【答案】
（1）自行车有4辆，三轮车有6辆。
（2）捐10元的同学有22人，捐20元的同学有11人。
【知识点】
1. 鸡兔同笼问题
2. 假设法解题
3. 四则运算应用
【点评】
这两道题是鸡兔同笼模型在生活中的典型应用，解题核心是通过假设将两类未知量的问题转化为单一未知量，利用总差额和单个个体的差额的对应关系求解，掌握该方法可以快速解决同类实际问题。
【难度系数】
0.7
(3)班主任张老师带全班50名学生栽树，张老师栽5棵，男生每人栽3棵，女生每人栽2棵，总共栽树120棵。问：有几名男生、几名女生？
答案
（3）方法一：
120-5=115（棵）
假设所有的男生栽树。
50×3=150（棵）
150-115=35（棵）
女生：35÷（3-2）=35（名）
男生：50-35=15（名）
方法二：
120-5=115（棵）
假设所有的女生栽树。
50×2=100（棵）
115-100=15（棵）
男生：15÷（3-2）=15（名）
女生：50-15=35（名）
答：男生有15名，女生有35名。
120-5=115（棵）
假设所有的男生栽树。
50×3=150（棵）
150-115=35（棵）
女生：35÷（3-2）=35（名）
男生：50-35=15（名）
方法二：
120-5=115（棵）
假设所有的女生栽树。
50×2=100（棵）
115-100=15（棵）
男生：15÷（3-2）=15（名）
女生：50-15=35（名）
答：男生有15名，女生有35名。
解析
【分析】
解题前首先要明确总栽树量包含张老师栽的5棵，所以第一步需要先减去张老师栽的棵数，得到50名学生的总栽树量，本题属于典型的鸡兔同笼变形题，用假设法求解即可：可以先假设所有学生都是男生，算出理论栽树量和实际学生栽树量的差值，差值是把女生当成男生多算的部分，每名女生多算了(3-2)棵，用总差值除以单名差值就能得到女生人数，再求男生人数；也可以假设所有学生都是女生，同理推导得到男生人数。
【解析】
方法一：
1. 计算学生总栽树量：$120-5=115$（棵）
2. 假设50名全是男生，理论栽树量：$50×3=150$（棵）
3. 实际比假设少栽的棵数：$150-115=35$（棵）
4. 每名女生比男生少栽$3-2=1$棵，女生人数：$35÷(3-2)=35$（名）
5. 男生人数：$50-35=15$（名）
方法二：
1. 计算学生总栽树量：$120-5=115$（棵）
2. 假设50名全是女生，理论栽树量：$50×2=100$（棵）
3. 实际比假设多栽的棵数：$115-100=15$（棵）
4. 每名男生比女生多栽$3-2=1$棵，男生人数：$15÷(3-2)=15$（名）
5. 女生人数：$50-15=35$（名）
【答案】
男生有15名，女生有35名
【知识点】
鸡兔同笼问题、假设法解题、整数四则运算
【点评】
本题是鸡兔同笼的常见变形题，解题核心是先排除老师栽树的无关条件，将问题转化为标准的鸡兔同笼模型，用假设法即可快速求解，计算时要注意找准假设值和实际值的差值对应的数量关系。
【难度系数】
0.7
解题前首先要明确总栽树量包含张老师栽的5棵，所以第一步需要先减去张老师栽的棵数，得到50名学生的总栽树量，本题属于典型的鸡兔同笼变形题，用假设法求解即可：可以先假设所有学生都是男生，算出理论栽树量和实际学生栽树量的差值，差值是把女生当成男生多算的部分，每名女生多算了(3-2)棵，用总差值除以单名差值就能得到女生人数，再求男生人数；也可以假设所有学生都是女生，同理推导得到男生人数。
【解析】
方法一：
1. 计算学生总栽树量：$120-5=115$（棵）
2. 假设50名全是男生，理论栽树量：$50×3=150$（棵）
3. 实际比假设少栽的棵数：$150-115=35$（棵）
4. 每名女生比男生少栽$3-2=1$棵，女生人数：$35÷(3-2)=35$（名）
5. 男生人数：$50-35=15$（名）
方法二：
1. 计算学生总栽树量：$120-5=115$（棵）
2. 假设50名全是女生，理论栽树量：$50×2=100$（棵）
3. 实际比假设多栽的棵数：$115-100=15$（棵）
4. 每名男生比女生多栽$3-2=1$棵，男生人数：$15÷(3-2)=15$（名）
5. 女生人数：$50-15=35$（名）
【答案】
男生有15名，女生有35名
【知识点】
鸡兔同笼问题、假设法解题、整数四则运算
【点评】
本题是鸡兔同笼的常见变形题，解题核心是先排除老师栽树的无关条件，将问题转化为标准的鸡兔同笼模型，用假设法即可快速求解，计算时要注意找准假设值和实际值的差值对应的数量关系。
【难度系数】
0.7
(4)大油瓶1瓶装4千克，小油瓶2瓶装1千克。现有100千克油装了共60个瓶子。问：大、小油瓶各多少个？
答案
（4）大：2瓶 8千克 小：2瓶 1千克
60÷2=30（组）
8×30-100=140（千克）
140÷（8-1）=20（组）
小油瓶：20×2=40（个）
大油瓶：60-40=20（个）
答：大油瓶有20个，小油瓶有40个。
60÷2=30（组）
8×30-100=140（千克）
140÷（8-1）=20（组）
小油瓶：20×2=40（个）
大油瓶：60-40=20（个）
答：大油瓶有20个，小油瓶有40个。
解析
【分析】
这是鸡兔同笼的变式应用题，我们可以用分组假设的思路解题：首先小油瓶是2瓶装1千克，我们可以把每2个瓶子划为1组，先算出总组数；再假设所有组都由大油瓶组成，算出理论装油量和实际装油量的差值；用差值除以每组大、小油瓶的装油差，就能得到小油瓶的组数，最后分别计算大、小油瓶的数量即可。
【解析】
我们先将2个瓶子划为1组：
总组数：$60÷2=30$（组）
若1组全是大油瓶，2个大油瓶可装油：$4×2=8$（千克）
若1组全是小油瓶，2个小油瓶可装油1千克
假设30组全是大油瓶组，总装油量为：$8×30=240$（千克）
比实际多装的油量：$240-100=140$（千克）
每把1组小油瓶当成大油瓶组，多算的油量：$8-1=7$（千克）
小油瓶的组数：$140÷7=20$（组）
小油瓶数量：$20×2=40$（个）
大油瓶数量：$60-40=20$（个）
【答案】
大油瓶有20个，小油瓶有40个。
【知识点】
鸡兔同笼问题、假设法解题、分组计算
【点评】
这道题是鸡兔同笼的经典变式，通过合理分组可以大幅降低计算难度，解题时要注意理清每组对应瓶子的装油量差异，避免数量关系对应错误，也可以用常规假设法验证结果是否正确。
【难度系数】
0.6
这是鸡兔同笼的变式应用题，我们可以用分组假设的思路解题：首先小油瓶是2瓶装1千克，我们可以把每2个瓶子划为1组，先算出总组数；再假设所有组都由大油瓶组成，算出理论装油量和实际装油量的差值；用差值除以每组大、小油瓶的装油差，就能得到小油瓶的组数，最后分别计算大、小油瓶的数量即可。
【解析】
我们先将2个瓶子划为1组：
总组数：$60÷2=30$（组）
若1组全是大油瓶，2个大油瓶可装油：$4×2=8$（千克）
若1组全是小油瓶，2个小油瓶可装油1千克
假设30组全是大油瓶组，总装油量为：$8×30=240$（千克）
比实际多装的油量：$240-100=140$（千克）
每把1组小油瓶当成大油瓶组，多算的油量：$8-1=7$（千克）
小油瓶的组数：$140÷7=20$（组）
小油瓶数量：$20×2=40$（个）
大油瓶数量：$60-40=20$（个）
【答案】
大油瓶有20个，小油瓶有40个。
【知识点】
鸡兔同笼问题、假设法解题、分组计算
【点评】
这道题是鸡兔同笼的经典变式，通过合理分组可以大幅降低计算难度，解题时要注意理清每组对应瓶子的装油量差异，避免数量关系对应错误，也可以用常规假设法验证结果是否正确。
【难度系数】
0.6
