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12.若$3· 9^m· 27^m=3^{11}$，则$m$的值为（
A.2
B.3
C.4
D.5
A
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
12.A
解析
【分析】
解题时先观察等式两边的底数，右边底数为3，因此先把等式左侧的9、27都转化为以3为底的幂，再利用幂的运算性质将左侧合并为单个以3为底的幂，最后根据同底数幂相等则指数相等的规则列方程，即可求出m的值。
【解析】
解：先将等式左侧的幂统一为底数是3的形式：
∵ $9=3^2$，$27=3^3$
∴ 原式左侧可变形为：
$3·(3^2)^m·(3^3)^m$
根据幂的乘方法则$(a^b)^c=a^{bc}$，化简得：
$=3·3^{2m}·3^{3m}$
再根据同底数幂的乘法法则$a^b·a^c=a^{b+c}$，合并得：
$=3^{1+2m+3m}=3^{1+5m}$
已知原式等于$3^{11}$，因此指数相等，可列方程：
$1+5m=11$
解方程得：
$5m=10$
$m=2$
【答案】
A
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的乘法、一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查幂的运算性质的应用，解题关键是将不同底数的幂统一为同底数幂，再通过指数相等建立方程求解，熟练掌握幂的相关运算法则是得分的前提。
【难度系数】
0.8
解题时先观察等式两边的底数，右边底数为3，因此先把等式左侧的9、27都转化为以3为底的幂，再利用幂的运算性质将左侧合并为单个以3为底的幂，最后根据同底数幂相等则指数相等的规则列方程，即可求出m的值。
【解析】
解：先将等式左侧的幂统一为底数是3的形式：
∵ $9=3^2$，$27=3^3$
∴ 原式左侧可变形为：
$3·(3^2)^m·(3^3)^m$
根据幂的乘方法则$(a^b)^c=a^{bc}$，化简得：
$=3·3^{2m}·3^{3m}$
再根据同底数幂的乘法法则$a^b·a^c=a^{b+c}$，合并得：
$=3^{1+2m+3m}=3^{1+5m}$
已知原式等于$3^{11}$，因此指数相等，可列方程：
$1+5m=11$
解方程得：
$5m=10$
$m=2$
【答案】
A
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的乘法、一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查幂的运算性质的应用，解题关键是将不同底数的幂统一为同底数幂，再通过指数相等建立方程求解，熟练掌握幂的相关运算法则是得分的前提。
【难度系数】
0.8
13. 先阅读小明的解题过程，然后回答问题。
计算:$(x^{4})^{2}+(x^{2})^{4}-x· (x^{2})^{2}· x^{3}-(-x^{3})· (-x^{2})^{2}· (-x)$。
解:原式$=x^{8}+x^{8}-x· x^{4}· x^{3}-(-x)^{3}· (-x)^{4}· (-x)$①
$=x^{16}-x^{7}-(-x)^{7}$②
$=x^{16}-x^{7}+x^{7}$③
$=x^{16}$。④
(1)上述解题过程从第
(2)产生错误的原因是
计算:$(x^{4})^{2}+(x^{2})^{4}-x· (x^{2})^{2}· x^{3}-(-x^{3})· (-x^{2})^{2}· (-x)$。
解:原式$=x^{8}+x^{8}-x· x^{4}· x^{3}-(-x)^{3}· (-x)^{4}· (-x)$①
$=x^{16}-x^{7}-(-x)^{7}$②
$=x^{16}-x^{7}+x^{7}$③
$=x^{16}$。④
(1)上述解题过程从第
②
步开始出现错误；(2)产生错误的原因是
合并同类项错误，同底数幂相乘计算错误
。答案
13.(1)②
(2)合并同类项错误，同底数幂相乘计算错误
(2)合并同类项错误，同底数幂相乘计算错误
解析
【分析】
要判断小明解题过程的错误，我们需要结合幂的运算、合并同类项的法则逐步骤核对计算过程。首先回忆相关规则：1.幂的乘方：底数不变，指数相乘；2.同底数幂相乘：底数不变，指数相加，单独的字母指数为1不要遗漏；3.合并同类项：同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。先验证每一步：第①步的幂的乘方展开基本正确，接着看第②步，首先$x^8+x^8$是合并同类项，应得$2x^8$，小明错误算为$x^{16}$，同时$x·x^4·x^3$是同底数幂相乘，指数和为$1+4+3=8$，应得$x^8$，小明错误算为$x^7$，因此第②步开始出现错误。
【解析】
我们逐步骤核对小明的计算：
1. 核对第①步：根据幂的乘方法则，$(x^4)^2=x^{4×2}=x^8$，$(x^2)^4=x^{2×4}=x^8$，$(x^2)^2=x^{2×2}=x^4$，因此前半部分展开为$x^8+x^8 - x·x^4·x^3$是正确的。
2. 核对第②步：
① $x^8+x^8$是合并同类项，正确结果应为$2x^8$，小明误将合并同类项按同底数幂乘法计算，得到$x^{16}$，属于合并同类项错误；
② $x·x^4·x^3$是同底数幂相乘，指数和为$1+4+3=8$，正确结果应为$x^8$，小明计算得到$x^7$，属于同底数幂相乘的指数计算错误。
因此小明的解题过程从第②步开始出错，错误原因是合并同类项错误，同底数幂相乘计算错误。
【答案】
(1)②
(2)合并同类项错误，同底数幂相乘计算错误
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂乘法，合并同类项
【点评】
本题重点考查幂的运算法则和合并同类项的区分，解题时要注意不要混淆合并同类项和同底数幂乘法的运算规则，计算同底数幂乘法时不要遗漏单个字母的指数为1，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
要判断小明解题过程的错误，我们需要结合幂的运算、合并同类项的法则逐步骤核对计算过程。首先回忆相关规则：1.幂的乘方：底数不变，指数相乘；2.同底数幂相乘：底数不变，指数相加，单独的字母指数为1不要遗漏；3.合并同类项：同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。先验证每一步：第①步的幂的乘方展开基本正确，接着看第②步，首先$x^8+x^8$是合并同类项，应得$2x^8$，小明错误算为$x^{16}$，同时$x·x^4·x^3$是同底数幂相乘，指数和为$1+4+3=8$，应得$x^8$，小明错误算为$x^7$，因此第②步开始出现错误。
【解析】
我们逐步骤核对小明的计算：
1. 核对第①步：根据幂的乘方法则，$(x^4)^2=x^{4×2}=x^8$，$(x^2)^4=x^{2×4}=x^8$，$(x^2)^2=x^{2×2}=x^4$，因此前半部分展开为$x^8+x^8 - x·x^4·x^3$是正确的。
2. 核对第②步：
① $x^8+x^8$是合并同类项，正确结果应为$2x^8$，小明误将合并同类项按同底数幂乘法计算，得到$x^{16}$，属于合并同类项错误；
② $x·x^4·x^3$是同底数幂相乘，指数和为$1+4+3=8$，正确结果应为$x^8$，小明计算得到$x^7$，属于同底数幂相乘的指数计算错误。
因此小明的解题过程从第②步开始出错，错误原因是合并同类项错误，同底数幂相乘计算错误。
【答案】
(1)②
(2)合并同类项错误，同底数幂相乘计算错误
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂乘法，合并同类项
【点评】
本题重点考查幂的运算法则和合并同类项的区分，解题时要注意不要混淆合并同类项和同底数幂乘法的运算规则，计算同底数幂乘法时不要遗漏单个字母的指数为1，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
14.地球和太阳可以近似看成球体。地球的半径约为$6×10^{3}\ \mathrm{km}$，太阳的半径约是地球半径的$10^{2}$倍。试计算太阳的体积（$π$取3.14）。
答案
14.解:$V=\dfrac{4}{3}π×(6×10^3)^3×(10^2)^3=\dfrac{4}{3}π×6^3×10^9×10^6≈9.0432×10^{17}(\mathrm{km}^3)$。
解析
【分析】
要求太阳的体积，首先需要回忆球体的体积计算公式为$V=\frac{4}{3}π R^3$，核心是先得到太阳的半径。已知太阳半径是地球半径的$10^2$倍，地球半径已经给出，因此可以先将太阳半径用地球半径表示后代入体积公式，计算时运用幂的乘方、积的乘方、同底数幂乘法的运算法则逐步计算，最后代入$π=3.14$算出结果，用标准科学记数法表示即可。
【解析】
球体体积公式为$V=\frac{4}{3}π R^3$（$V$为体积，$R$为球体半径）
已知太阳半径是地球半径的$10^2$倍，地球半径$R_{\mathrm{地}}=6×10^3\ \mathrm{km}$，因此太阳半径$R_{\mathrm{太}}=10^2 R_{\mathrm{地}}$，代入体积公式得：
$\begin{aligned}V&=\frac{4}{3}π R_{\mathrm{太}}^3\\&=\frac{4}{3}π×(6×10^3×10^2)^3\\&=\frac{4}{3}π×(6×10^3)^3×(10^2)^3\\&=\frac{4}{3}π×6^3×10^9×10^6\end{aligned}$
代入$π=3.14$计算：
$\begin{aligned}V&=\frac{4}{3}×3.14×216×10^{15}\\&=904.32×10^{15}\\&=9.0432×10^{17}(\mathrm{km}^3)\end{aligned}$
【答案】
$9.0432×10^{17}\ \mathrm{km}^3$
【知识点】
球体体积公式；幂的运算；科学记数法
【点评】
本题结合生活实际考查代数运算的应用，解题关键是正确列出太阳半径的表达式，熟练掌握幂的相关运算法则，计算时需注意科学记数法的指数运算规则，避免指数计算错误。
【难度系数】
0.7
要求太阳的体积，首先需要回忆球体的体积计算公式为$V=\frac{4}{3}π R^3$，核心是先得到太阳的半径。已知太阳半径是地球半径的$10^2$倍，地球半径已经给出，因此可以先将太阳半径用地球半径表示后代入体积公式，计算时运用幂的乘方、积的乘方、同底数幂乘法的运算法则逐步计算，最后代入$π=3.14$算出结果，用标准科学记数法表示即可。
【解析】
球体体积公式为$V=\frac{4}{3}π R^3$（$V$为体积，$R$为球体半径）
已知太阳半径是地球半径的$10^2$倍，地球半径$R_{\mathrm{地}}=6×10^3\ \mathrm{km}$，因此太阳半径$R_{\mathrm{太}}=10^2 R_{\mathrm{地}}$，代入体积公式得：
$\begin{aligned}V&=\frac{4}{3}π R_{\mathrm{太}}^3\\&=\frac{4}{3}π×(6×10^3×10^2)^3\\&=\frac{4}{3}π×(6×10^3)^3×(10^2)^3\\&=\frac{4}{3}π×6^3×10^9×10^6\end{aligned}$
代入$π=3.14$计算：
$\begin{aligned}V&=\frac{4}{3}×3.14×216×10^{15}\\&=904.32×10^{15}\\&=9.0432×10^{17}(\mathrm{km}^3)\end{aligned}$
【答案】
$9.0432×10^{17}\ \mathrm{km}^3$
【知识点】
球体体积公式；幂的运算；科学记数法
【点评】
本题结合生活实际考查代数运算的应用，解题关键是正确列出太阳半径的表达式，熟练掌握幂的相关运算法则，计算时需注意科学记数法的指数运算规则，避免指数计算错误。
【难度系数】
0.7
15.已知$a^m=3,a^n=9,a^p=81$。
(1)求$a^{2m}$的值；
(2)求$a^{2m+2n-2p}$的值；
(3)2m，n，p之间的数量关系为
(1)求$a^{2m}$的值；
(2)求$a^{2m+2n-2p}$的值；
(3)2m，n，p之间的数量关系为
$p=2m+n$
。答案
15.解:(1)因为$a^m=3$,所以$a^{2m}=(a^m)^2=3^2=9$。
(2)因为$a^m=3,a^n=9,a^p=81$,
所以$a^{2m+2n-2p}=a^{2m}·a^{2n}÷a^{2p}=(a^m)^2·(a^n)^2÷(a^p)^2=3^2×9^2÷81^2=\dfrac{9×9×9}{81×81}=\dfrac{1}{9}$。
(3)$p=2m+n$
(2)因为$a^m=3,a^n=9,a^p=81$,
所以$a^{2m+2n-2p}=a^{2m}·a^{2n}÷a^{2p}=(a^m)^2·(a^n)^2÷(a^p)^2=3^2×9^2÷81^2=\dfrac{9×9×9}{81×81}=\dfrac{1}{9}$。
(3)$p=2m+n$
解析
【分析】
本题考查幂的运算性质的应用，解题思路如下：
(1) 所求式子指数为2m，是m的2倍，联想到逆用幂的乘方公式$(a^x)^y=a^{xy}$，将$a^{2m}$转化为$(a^m)^2$，代入已知值即可计算；
(2) 所求指数为加减混合形式，结合同底数幂乘除的运算性质：同底数幂相乘指数相加、相除指数相减，先将$a^{2m+2n-2p}$拆分为$a^{2m}·a^{2n}÷a^{2p}$，再逆用幂的乘方公式将每一项转化为已知幂的平方形式，代入数值计算即可；
(3) 推导2m、n、p的数量关系时，可先计算$a^{2m+n}$的值，对比$a^p$的数值，若二者相等且底数不为0，则对应指数相等，即可得到三者的数量关系。
【解析】
(1) 逆用幂的乘方运算性质可得：
$a^{2m}=(a^m)^2$
将$a^m=3$代入得：$a^{2m}=3^2=9$
(2) 根据同底数幂的乘除运算性质变形原式：
$a^{2m+2n-2p}=a^{2m}·a^{2n}÷a^{2p}$
再逆用幂的乘方性质转化各项：
$a^{2m}=(a^m)^2$，$a^{2n}=(a^n)^2$，$a^{2p}=(a^p)^2$
代入已知$a^m=3,a^n=9,a^p=81$得：
原式$=3^2×9^2÷81^2=9×81÷6561=\frac{1}{9}$
(3) 计算$a^{2m+n}$：
$a^{2m+n}=a^{2m}·a^n=9×9=81$
已知$a^p=81$，因此$a^{2m+n}=a^p$
因为底数a不为0，所以指数相等，即$2m+n=p$
【答案】
(1) $9$；(2) $\dfrac{1}{9}$；(3) $p=2m+n$
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的乘法、同底数幂的除法
【点评】
本题是幂运算的基础综合题，重点考查幂的运算性质的正用与逆用，解题核心是能根据指数特征对所求式子进行合理变形，第三问需要结合幂的运算推导指数间的等量关系，能有效检验学生对幂运算性质的掌握程度和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
本题考查幂的运算性质的应用，解题思路如下：
(1) 所求式子指数为2m，是m的2倍，联想到逆用幂的乘方公式$(a^x)^y=a^{xy}$，将$a^{2m}$转化为$(a^m)^2$，代入已知值即可计算；
(2) 所求指数为加减混合形式，结合同底数幂乘除的运算性质：同底数幂相乘指数相加、相除指数相减，先将$a^{2m+2n-2p}$拆分为$a^{2m}·a^{2n}÷a^{2p}$，再逆用幂的乘方公式将每一项转化为已知幂的平方形式，代入数值计算即可；
(3) 推导2m、n、p的数量关系时，可先计算$a^{2m+n}$的值，对比$a^p$的数值，若二者相等且底数不为0，则对应指数相等，即可得到三者的数量关系。
【解析】
(1) 逆用幂的乘方运算性质可得：
$a^{2m}=(a^m)^2$
将$a^m=3$代入得：$a^{2m}=3^2=9$
(2) 根据同底数幂的乘除运算性质变形原式：
$a^{2m+2n-2p}=a^{2m}·a^{2n}÷a^{2p}$
再逆用幂的乘方性质转化各项：
$a^{2m}=(a^m)^2$，$a^{2n}=(a^n)^2$，$a^{2p}=(a^p)^2$
代入已知$a^m=3,a^n=9,a^p=81$得：
原式$=3^2×9^2÷81^2=9×81÷6561=\frac{1}{9}$
(3) 计算$a^{2m+n}$：
$a^{2m+n}=a^{2m}·a^n=9×9=81$
已知$a^p=81$，因此$a^{2m+n}=a^p$
因为底数a不为0，所以指数相等，即$2m+n=p$
【答案】
(1) $9$；(2) $\dfrac{1}{9}$；(3) $p=2m+n$
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的乘法、同底数幂的除法
【点评】
本题是幂运算的基础综合题，重点考查幂的运算性质的正用与逆用，解题核心是能根据指数特征对所求式子进行合理变形，第三问需要结合幂的运算推导指数间的等量关系，能有效检验学生对幂运算性质的掌握程度和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
