登录
8. 如图,在长方形ABCD中,点E在边AD上,BE=BC,连接CE,若AB=3,AE=4,则CE的长为 （
A.1
B.5
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{10}$
D
）A.1
B.5
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{10}$
答案
D
解析
【分析】
拿到这道题首先回忆长方形的性质：长方形四个角都是直角，对边相等。我们要求CE的长，CE在直角三角形CDE中，已知CD=AB=3，只需要求出ED的长度就可以用勾股定理计算CE。首先利用已知的AB、AE长度，在直角三角形ABE中用勾股定理算出BE的长，再结合BE=BC的条件得到BC的长度，而AD=BC，用AD减去AE就能得到ED的长度，最后在直角三角形CDE中用勾股定理算出CE即可。
【解析】
∵四边形ABCD是长方形
∴∠A=∠D=90°，AB=CD=3，AD=BC
在Rt△ABE中，AB=3，AE=4，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$
∵BE=BC
∴BC=5，即AD=BC=5
∴ED=AD-AE=5-4=1
在Rt△CDE中，CD=3，ED=1，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{ED^2+CD^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$
【答案】
D
【知识点】
长方形的性质、勾股定理
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是灵活运用长方形的边和角的性质，结合勾股定理逐步求解未知线段的长度，解题时要明确待求线段所在的直角三角形，找到该直角三角形的两条直角边长度即可求解。
【难度系数】
0.75
拿到这道题首先回忆长方形的性质：长方形四个角都是直角，对边相等。我们要求CE的长，CE在直角三角形CDE中，已知CD=AB=3，只需要求出ED的长度就可以用勾股定理计算CE。首先利用已知的AB、AE长度，在直角三角形ABE中用勾股定理算出BE的长，再结合BE=BC的条件得到BC的长度，而AD=BC，用AD减去AE就能得到ED的长度，最后在直角三角形CDE中用勾股定理算出CE即可。
【解析】
∵四边形ABCD是长方形
∴∠A=∠D=90°，AB=CD=3，AD=BC
在Rt△ABE中，AB=3，AE=4，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$
∵BE=BC
∴BC=5，即AD=BC=5
∴ED=AD-AE=5-4=1
在Rt△CDE中，CD=3，ED=1，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{ED^2+CD^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$
【答案】
D
【知识点】
长方形的性质、勾股定理
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是灵活运用长方形的边和角的性质，结合勾股定理逐步求解未知线段的长度，解题时要明确待求线段所在的直角三角形，找到该直角三角形的两条直角边长度即可求解。
【难度系数】
0.75
9. 如图，C是线段AB上一点，分别以AC，BC为边向两侧作正方形。设AB=6，两个正方形的面积和$ S_1 + S_2 = 20 $，则图中$ △ BCD $的面积为 （
A.4
B.6
C.8
D.10
A
）A.4
B.6
C.8
D.10
答案
A
解析
【分析】
我们可以先设线段AC的长度为x，BC的长度为y。首先根据AB总长为6，可得$x+y=6$；两个正方形的面积分别为$x^2$和$y^2$，已知面积和为20，即$x^2+y^2=20$。要求$△ BCD$的面积，观察图形可知$△ BCD$是直角三角形，两条直角边分别为$BC=y$和$CD=AC=x$，所以面积为$\frac{1}{2}xy$，因此只需要求出xy的值即可。我们可以利用完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将已知的$x+y$和$x^2+y^2$代入，就能快速求出xy的值，进而算出三角形面积。
【解析】
解：设$AC=x$，$BC=y$。
由题意得：
$x + y = AB = 6$，
$S_1 + S_2 = x^2 + y^2 = 20$。
根据完全平方公式：$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，
将$x+y=6$，$x^2+y^2=20$代入上式得：
$6^2 = 20 + 2xy$，
即$36 = 20 + 2xy$，
解得$2xy=16$，$xy=8$。
∵ 四边形ACDE是正方形，
∴ $CD=AC=x$，且$CD⊥AB$，
∴ $△ BCD$是直角三角形，其面积为：
$S_{△ BCD} = \frac{1}{2} × BC × CD = \frac{1}{2}xy = \frac{1}{2} × 8 = 4$。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式，正方形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于代数与几何结合的基础题型，解题的关键是合理设未知数，将图形中的边长关系和面积关系转化为代数关系，再利用完全平方公式变形求解，能有效考查学生对知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
我们可以先设线段AC的长度为x，BC的长度为y。首先根据AB总长为6，可得$x+y=6$；两个正方形的面积分别为$x^2$和$y^2$，已知面积和为20，即$x^2+y^2=20$。要求$△ BCD$的面积，观察图形可知$△ BCD$是直角三角形，两条直角边分别为$BC=y$和$CD=AC=x$，所以面积为$\frac{1}{2}xy$，因此只需要求出xy的值即可。我们可以利用完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将已知的$x+y$和$x^2+y^2$代入，就能快速求出xy的值，进而算出三角形面积。
【解析】
解：设$AC=x$，$BC=y$。
由题意得：
$x + y = AB = 6$，
$S_1 + S_2 = x^2 + y^2 = 20$。
根据完全平方公式：$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，
将$x+y=6$，$x^2+y^2=20$代入上式得：
$6^2 = 20 + 2xy$，
即$36 = 20 + 2xy$，
解得$2xy=16$，$xy=8$。
∵ 四边形ACDE是正方形，
∴ $CD=AC=x$，且$CD⊥AB$，
∴ $△ BCD$是直角三角形，其面积为：
$S_{△ BCD} = \frac{1}{2} × BC × CD = \frac{1}{2}xy = \frac{1}{2} × 8 = 4$。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式，正方形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于代数与几何结合的基础题型，解题的关键是合理设未知数，将图形中的边长关系和面积关系转化为代数关系，再利用完全平方公式变形求解，能有效考查学生对知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在线段AB上取一点C,分别以AC,BC为直角边作等腰直角三角形ACD,等腰直角三角形CBE,连接BD.若这两个等腰直角三角形的面积和为11,△CDB的面积为3.5,则AB的长为
6
.答案
6
解析
【分析】
我们可以设AC=a，BC=b，则AB=a+b，目标是求a+b的值。首先根据等腰直角三角形的面积公式，可得到两个三角形面积和与$a^2$、$b^2$的关系；再观察$△ CDB$的形状，$∠ DCB$为直角，它的面积可表示为与$ab$相关的式子，最后利用完全平方公式求出$(a+b)^2$的值，即可得到AB的长度。
【解析】
设$AC=a$，$BC=b$，则$AB=a+b$。
∵$△ ACD$和$△ CBE$都是等腰直角三角形，$∠ ACD=∠ BCE=90°$，
∴$CD=AC=a$，
两个等腰直角三角形的面积和为：$\frac{1}{2}AC^2 + \frac{1}{2}BC^2 = \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 = 11$，
等式两边同乘2得：$a^2 + b^2 = 22$。
∵$∠ ACD=90°$，点C在AB上，
∴$∠ DCB=180°-∠ ACD=90°$，
∴$△ CDB$的面积为$\frac{1}{2} × CD × BC = \frac{1}{2}ab = 3.5$，
解得：$ab=7$。
根据完全平方公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，
代入$a^2 + b^2=22$，$ab=7$得：
$(a+b)^2 = 22 + 2×7 = 36$，
∵a、b均为线段长度，为正数，
∴$a+b=\sqrt{36}=6$，即$AB=6$。
【答案】
6
【知识点】
等腰直角三角形性质，三角形面积计算，完全平方公式
【点评】
本题解题关键是通过设参数表示两个直角边的长度，将面积条件转化为代数关系式，再结合完全平方公式求解，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
我们可以设AC=a，BC=b，则AB=a+b，目标是求a+b的值。首先根据等腰直角三角形的面积公式，可得到两个三角形面积和与$a^2$、$b^2$的关系；再观察$△ CDB$的形状，$∠ DCB$为直角，它的面积可表示为与$ab$相关的式子，最后利用完全平方公式求出$(a+b)^2$的值，即可得到AB的长度。
【解析】
设$AC=a$，$BC=b$，则$AB=a+b$。
∵$△ ACD$和$△ CBE$都是等腰直角三角形，$∠ ACD=∠ BCE=90°$，
∴$CD=AC=a$，
两个等腰直角三角形的面积和为：$\frac{1}{2}AC^2 + \frac{1}{2}BC^2 = \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 = 11$，
等式两边同乘2得：$a^2 + b^2 = 22$。
∵$∠ ACD=90°$，点C在AB上，
∴$∠ DCB=180°-∠ ACD=90°$，
∴$△ CDB$的面积为$\frac{1}{2} × CD × BC = \frac{1}{2}ab = 3.5$，
解得：$ab=7$。
根据完全平方公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，
代入$a^2 + b^2=22$，$ab=7$得：
$(a+b)^2 = 22 + 2×7 = 36$，
∵a、b均为线段长度，为正数，
∴$a+b=\sqrt{36}=6$，即$AB=6$。
【答案】
6
【知识点】
等腰直角三角形性质，三角形面积计算，完全平方公式
【点评】
本题解题关键是通过设参数表示两个直角边的长度，将面积条件转化为代数关系式，再结合完全平方公式求解，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
11. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,$AB = AD = 8$,$∠ A = 60°$,$∠ ADC = 150°$,四边形 $ABCD$ 的周长为 32.
(1)连接 $BD$,试判断$△ ABD$ 的形状;
(2)求 $BC$ 的长.
(1)连接 $BD$,试判断$△ ABD$ 的形状;
(2)求 $BC$ 的长.
答案
解:(1)$\because AB=AD=8,∠ A=60°$,
$\therefore △ ABD$是等边三角形.
(2)由(1)知$△ ABD$是等边三角形,$\therefore ∠ ADB=60°$.
$\because ∠ ADC=150°$,
$\therefore ∠ BDC=∠ ADC-∠ ADB=150°-60°=90°$.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 的周长为 32,$AB=AD=BD=8$,
$\therefore BC+DC=16$.
设$BC=x$,则$CD=16-x$,由勾股定理可知
$x^2=(16-x)^2+8^2$,解得$x=10$,
$\therefore BC$的长为10.
$\therefore △ ABD$是等边三角形.
(2)由(1)知$△ ABD$是等边三角形,$\therefore ∠ ADB=60°$.
$\because ∠ ADC=150°$,
$\therefore ∠ BDC=∠ ADC-∠ ADB=150°-60°=90°$.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 的周长为 32,$AB=AD=BD=8$,
$\therefore BC+DC=16$.
设$BC=x$,则$CD=16-x$,由勾股定理可知
$x^2=(16-x)^2+8^2$,解得$x=10$,
$\therefore BC$的长为10.
解析
【分析】
(1) 判断△ABD的形状时，先由AB=AD可知该三角形是等腰三角形，再结合已知的∠A=60°，利用等边三角形的判定定理即可得出结论。
(2) 求BC的长时，先借助(1)的等边三角形结论得到BD的长度和∠ADB的度数，结合∠ADC的度数推出△BDC是直角三角形；再根据四边形周长求出BC与CD的长度和，最后设未知数利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) $\because AB=AD=8,∠ A=60°$,
$\therefore △ ABD$是等边三角形。
(2) 由(1)知$△ ABD$是等边三角形，$\therefore BD=AB=8，∠ ADB=60°$.
$\because ∠ ADC=150°$,
$\therefore ∠ BDC=∠ ADC-∠ ADB=150°-60°=90°$，即△BDC为直角三角形.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 的周长为 32,$AB=AD=8$,
$\therefore BC+DC=32-8-8=16$.
设$BC=x$,则$CD=16-x$,在Rt△BDC中由勾股定理得：
$x^2=(16-x)^2+8^2$,
展开化简解得$x=10$.
【答案】
(1) $△ ABD$是等边三角形；
(2) $BC$的长为10。
【知识点】
等边三角形判定、勾股定理、周长计算
【点评】
本题是基础几何综合题，解题核心是先判定等边三角形推导得到直角三角形，再结合周长条件用勾股定理结合方程思想求解，能有效考察学生对基础几何定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 判断△ABD的形状时，先由AB=AD可知该三角形是等腰三角形，再结合已知的∠A=60°，利用等边三角形的判定定理即可得出结论。
(2) 求BC的长时，先借助(1)的等边三角形结论得到BD的长度和∠ADB的度数，结合∠ADC的度数推出△BDC是直角三角形；再根据四边形周长求出BC与CD的长度和，最后设未知数利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) $\because AB=AD=8,∠ A=60°$,
$\therefore △ ABD$是等边三角形。
(2) 由(1)知$△ ABD$是等边三角形，$\therefore BD=AB=8，∠ ADB=60°$.
$\because ∠ ADC=150°$,
$\therefore ∠ BDC=∠ ADC-∠ ADB=150°-60°=90°$，即△BDC为直角三角形.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 的周长为 32,$AB=AD=8$,
$\therefore BC+DC=32-8-8=16$.
设$BC=x$,则$CD=16-x$,在Rt△BDC中由勾股定理得：
$x^2=(16-x)^2+8^2$,
展开化简解得$x=10$.
【答案】
(1) $△ ABD$是等边三角形；
(2) $BC$的长为10。
【知识点】
等边三角形判定、勾股定理、周长计算
【点评】
本题是基础几何综合题，解题核心是先判定等边三角形推导得到直角三角形，再结合周长条件用勾股定理结合方程思想求解，能有效考察学生对基础几何定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
12. 观察下列图形，解答问题：
(1)若图①中的$△ DEF$为直角三角形，正方形$P$的面积为9，正方形$Q$的面积为15，求正方形$M$的面积；
(2)如图②，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，$S_1,S_2,S_3$分别表示三个半圆的面积，求这三个半圆的面积之间的关系；(用$S_1,S_2,S_3$表示)
(3)如图③，直角三角形两直角边的长分别为3和4，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，请你利用(2)中得到的结论求出阴影部分的面积.
(1)若图①中的$△ DEF$为直角三角形，正方形$P$的面积为9，正方形$Q$的面积为15，求正方形$M$的面积；
(2)如图②，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，$S_1,S_2,S_3$分别表示三个半圆的面积，求这三个半圆的面积之间的关系；(用$S_1,S_2,S_3$表示)
(3)如图③，直角三角形两直角边的长分别为3和4，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，请你利用(2)中得到的结论求出阴影部分的面积.
答案
解:(1)由题意,得$S_P=DE^2=9$,$S_Q=EF^2=15$,
故可得$S_M=DF^2=DE^2+EF^2=24$.
(2)由题意,得$S_1=\frac{π}{8}AC^2$,$S_2=\frac{π}{8}BC^2$,$S_3=\frac{π}{8}AB^2$,
$\because AC^2+BC^2=AB^2$,$\therefore S_1+S_2=S_3$.
(3)设三个半圆的面积按从小到大排列为$S_1,S_2,S_3$.
由(2)知$S_1+S_2=S_3$,
则$S_{阴影}=S_1+S_2+S_{直角三角形}-S_3=S_{直角三角形}=\frac{1}{2}×3×4=6$.
故可得$S_M=DF^2=DE^2+EF^2=24$.
(2)由题意,得$S_1=\frac{π}{8}AC^2$,$S_2=\frac{π}{8}BC^2$,$S_3=\frac{π}{8}AB^2$,
$\because AC^2+BC^2=AB^2$,$\therefore S_1+S_2=S_3$.
(3)设三个半圆的面积按从小到大排列为$S_1,S_2,S_3$.
由(2)知$S_1+S_2=S_3$,
则$S_{阴影}=S_1+S_2+S_{直角三角形}-S_3=S_{直角三角形}=\frac{1}{2}×3×4=6$.
解析
【分析】
(1) 首先明确正方形面积等于边长的平方，图中三个正方形的边长恰好对应直角△DEF的三条边，根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，对应到面积上就是两个小正方形的面积和等于大正方形M的面积，代入已知数值计算即可。
(2) 先根据半圆面积公式，分别用直角三角形的三边表示出三个半圆的面积，再结合勾股定理中三边的平方关系，就能推导出三个半圆面积的数量关系。
(3) 观察阴影部分的构成：阴影面积等于两个小半圆面积加直角三角形面积，再减去大半圆的面积，利用(2)的结论可知两个小半圆面积和等于大半圆面积，抵消后阴影面积就等于直角三角形的面积，代入直角边长度计算即可。
【解析】
(1) 由题意得，正方形P的面积$S_P=DE^2=9$，正方形Q的面积$S_Q=EF^2=15$，
因为△DEF是直角三角形，根据勾股定理可得$DF^2=DE^2+EF^2$，
因此正方形M的面积$S_M=DF^2=9+15=24$。
(2) 设直角三角形三边长为$AC=a$，$BC=b$，$AB=c$，
根据半圆面积公式：$S_1=\frac{1}{2}π·(\frac{a}{2})^2=\frac{π}{8}AC^2$，同理$S_2=\frac{π}{8}BC^2$，$S_3=\frac{π}{8}AB^2$，
由勾股定理得$AC^2+BC^2=AB^2$，两边同乘$\frac{π}{8}$，可得$\frac{π}{8}AC^2+\frac{π}{8}BC^2=\frac{π}{8}AB^2$，即$S_1+S_2=S_3$。
(3) 设以长度为3的直角边为直径的半圆面积为$S_1$，以长度为4的直角边为直径的半圆面积为$S_2$，以斜边为直径的半圆面积为$S_3$，
由(2)的结论得$S_1+S_2=S_3$，
观察图形可知$S_{阴影}=S_1+S_2+S_{直角三角形}-S_3$，
代入$S_1+S_2=S_3$，得$S_{阴影}=S_{直角三角形}=\frac{1}{2}×3×4=6$。
【答案】
(1) $\boxed{24}$；(2) $\boxed{S_1+S_2=S_3}$；(3) $\boxed{6}$
【知识点】
勾股定理，半圆面积计算，割补法求面积
【点评】
本题是勾股定理在图形面积问题中的典型应用，将勾股定理的三边平方关系和正方形、半圆的面积计算相结合，巧妙建立不同图形的面积关联。第三问借助前序结论简化计算，避免了重复求解半圆面积，很好地考察了知识迁移能力和图形分析能力。
【难度系数】
0.75
(1) 首先明确正方形面积等于边长的平方，图中三个正方形的边长恰好对应直角△DEF的三条边，根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，对应到面积上就是两个小正方形的面积和等于大正方形M的面积，代入已知数值计算即可。
(2) 先根据半圆面积公式，分别用直角三角形的三边表示出三个半圆的面积，再结合勾股定理中三边的平方关系，就能推导出三个半圆面积的数量关系。
(3) 观察阴影部分的构成：阴影面积等于两个小半圆面积加直角三角形面积，再减去大半圆的面积，利用(2)的结论可知两个小半圆面积和等于大半圆面积，抵消后阴影面积就等于直角三角形的面积，代入直角边长度计算即可。
【解析】
(1) 由题意得，正方形P的面积$S_P=DE^2=9$，正方形Q的面积$S_Q=EF^2=15$，
因为△DEF是直角三角形，根据勾股定理可得$DF^2=DE^2+EF^2$，
因此正方形M的面积$S_M=DF^2=9+15=24$。
(2) 设直角三角形三边长为$AC=a$，$BC=b$，$AB=c$，
根据半圆面积公式：$S_1=\frac{1}{2}π·(\frac{a}{2})^2=\frac{π}{8}AC^2$，同理$S_2=\frac{π}{8}BC^2$，$S_3=\frac{π}{8}AB^2$，
由勾股定理得$AC^2+BC^2=AB^2$，两边同乘$\frac{π}{8}$，可得$\frac{π}{8}AC^2+\frac{π}{8}BC^2=\frac{π}{8}AB^2$，即$S_1+S_2=S_3$。
(3) 设以长度为3的直角边为直径的半圆面积为$S_1$，以长度为4的直角边为直径的半圆面积为$S_2$，以斜边为直径的半圆面积为$S_3$，
由(2)的结论得$S_1+S_2=S_3$，
观察图形可知$S_{阴影}=S_1+S_2+S_{直角三角形}-S_3$，
代入$S_1+S_2=S_3$，得$S_{阴影}=S_{直角三角形}=\frac{1}{2}×3×4=6$。
【答案】
(1) $\boxed{24}$；(2) $\boxed{S_1+S_2=S_3}$；(3) $\boxed{6}$
【知识点】
勾股定理，半圆面积计算，割补法求面积
【点评】
本题是勾股定理在图形面积问题中的典型应用，将勾股定理的三边平方关系和正方形、半圆的面积计算相结合，巧妙建立不同图形的面积关联。第三问借助前序结论简化计算，避免了重复求解半圆面积，很好地考察了知识迁移能力和图形分析能力。
【难度系数】
0.75
