7. 如图，N、C、A三点在同一条直线上，在$△ ABC$中，$∠ A:∠ ABC:∠ ACB=3:5:10$。若$△ MNC≌△ ABC$，则$∠ BCM:∠ BCN$等于 （）



A.$1:2$
B.$1:3$
C.$2:3$
D.$1:4$

7. D 解析:在△ABC中,∠A:∠ABC:∠ACB=3:5:10,
∴设∠A=3x°,则∠ABC=5x°,∠ACB=10x°.根据题意,得3x+5x+10x=180,解得x=10,则∠A=30°,∠ABC=50°,∠ACB=100°,
∴∠BCN=180°-100°=80°.又
∵△MNC≌△ABC,
∴∠MCN=∠ACB=100°,
∴∠BCM=∠MCN-∠BCN=100°-80°=20°,
∴∠BCM:∠BCN=20°:80°=1:4.

【分析】
解题时首先根据△ABC三个内角的比例关系，结合三角形内角和为180°，先求出△ABC各内角的度数；再根据N、C、A三点共线，可知∠ACB与∠BCN组成平角，据此计算出∠BCN的度数；接着利用全等三角形对应角相等的性质，得到∠MCN=∠ACB，进而求出∠BCM的度数；最后计算两个角的比值即可得到答案。
【解析】
在△ABC中，已知∠A:∠ABC:∠ACB=3:5:10，设∠A=3x°，∠ABC=5x°，∠ACB=10x°。
根据三角形内角和定理，得3x + 5x + 10x = 180，
解得x=10，
∴∠A=30°，∠ABC=50°，∠ACB=100°。
∵N、C、A三点在同一条直线上，
∴∠ACB + ∠BCN = 180°，
∴∠BCN = 180° - 100° = 80°。
又
∵△MNC≌△ABC，根据全等三角形对应角相等的性质，
∴∠MCN = ∠ACB = 100°，
∴∠BCM = ∠MCN - ∠BCN = 100° - 80° = 20°，
∴∠BCM:∠BCN = 20°:80° = 1:4。
【答案】D
【知识点】
三角形内角和定理；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是先通过内角比例求出△ABC的内角度数，再结合全等三角形的性质和平角的特征求出待求角的度数，重点考查学生对基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.8

8. 某数学兴趣小组探究三角形的平移变化引出新的思考.现将两个全等的$△ ABC$和$△ DEF$重叠在一起,固定$△ ABC$不变,将$△ DEF$沿射线$BC$平移.若$△ ABC$的周长为8,平移的距离为2,则四边形$ABFD$的周长为$\underline{\hspace{5em}}$.

8. 12 解析:
∵△ABC≌△DEF,
∴DF=AC,由平移可知,AD=CF=2.
∵△ABC的周长为8,
∴AB+BC+AC=8,
∴AB+BC+DF=8,
∴四边形ABFD的周长为AB+BF+DF+AD=AB+BC+CF+DF+AD=8+2+2=12.

【分析】
解题时可结合全等、平移的性质，将四边形周长转化为已知的△ABC周长与平移距离相关的线段之和来求解。首先，由全等三角形对应边相等可得DF=AC，可将四边形周长中的DF替换为AC；其次，根据平移的性质，平移对应点的连线长度等于平移距离，可知AD=CF=2，且边BF可拆分为BC+CF；最后将四边形ABFD的周长展开，代入上述等量关系，结合△ABC周长为8的条件整体计算即可，无需单独求出每条边的长度。
【解析】
∵△ABC≌△DEF，
∴DF=AC，
由平移的性质可得：AD=CF=2，BF=BC+CF，
∵△ABC的周长为8，即AB+BC+AC=8，
∴四边形ABFD的周长为：
$AB+BF+DF+AD$
$=AB+BC+CF+AC+AD$
$=(AB+BC+AC)+CF+AD$
$=8+2+2=12$
【答案】
12
【知识点】
全等三角形的性质、平移的性质、周长计算
【点评】
本题属于全等与平移结合的基础综合题，解题核心是利用性质对线段进行等量代换，通过整体代入周长的方法简化计算，很好地考察了整体代换的数学思想。
【难度系数】
0.7

9. 如图,已知$△ ABC≌△ ADE$,BC 的延长线交 AD 于点 F,交 DE 于点 G.若$∠ D=28°,∠ E=115°,∠ DAC=50°$,则$∠ DGB$的度数为________.

9. 87° 解析:
∵△ABC≌△ADE,
∴∠B=∠D=28°,∠ACB=∠E=115°,
∴∠ACG=65°.
∵∠DAC=50°,
∴∠DFG=∠AFC=180°-∠ACG-∠DAC=65°,
∴∠DGB=180°-∠D-∠DFG=87°.

【分析】
解题时首先利用全等三角形对应角相等的性质，得到△ABC与△ADE相等的对应角，先求出∠ACB的度数，再根据平角的定义算出∠ACG的度数；接着在△AFC中，利用三角形内角和为180°求出∠AFC的度数，再根据对顶角相等得到∠DFG的度数；最后在△DGF中，再次利用三角形内角和即可求出∠DGB的度数。
【解析】
∵△ABC≌△ADE，
∴∠B=∠D=28°，∠ACB=∠E=115°，
由平角的定义可得∠ACB+∠ACG=180°，
∴∠ACG=180°-115°=65°，
在△AFC中，根据三角形内角和为180°：
∠AFC=180°-∠ACG-∠DAC=180°-65°-50°=65°，
∵∠DFG与∠AFC是对顶角，
∴∠DFG=∠AFC=65°，
在△DGF中，再次利用三角形内角和：
∠DGB=180°-∠D-∠DFG=180°-28°-65°=87°。
【答案】
87°
【知识点】
全等三角形的性质，三角形内角和定理，对顶角的性质
【点评】
本题是全等三角形与角度计算的综合基础题，解题的核心是先通过全等三角形的性质得到对应角的度数，再结合三角形内角和、对顶角相等的性质逐步推导所求角度，解题时要注意找准对应角，理清角之间的数量关系。
【难度系数】
0.75

10. 如图，已知$△ ABC ≌ △ DEB$，点$E$在$AB$上，$AC$与$BD$交于点$F$，$AB=6$，$BC=3$，$∠ C=55°$，$∠ D=25°$。
(1) 求$AE$的长。
(2) 求$∠ AED$的度数。

10. (1)
∵△ABC≌△DEB,
∴EB=BC=3,
∴AE=AB-EB=6-3=3.
(2)
∵△ABC≌△DEB,∠DBE=∠C=55°,
∴∠AED=∠DBE+∠D=55°+25°=80°.

【分析】
(1) 要求AE的长度，已知AB的长度，可转化为求BE的长度：根据全等三角形对应边相等的性质，可得到BE与BC的等量关系，代入BC的长度求出BE后，利用线段差AE=AB-BE即可计算出结果。
(2) 要求∠AED的度数，观察图形可知∠AED是△DEB的外角，根据三角形外角的性质，∠AED等于△DEB中与它不相邻的两个内角∠D、∠DBE的和：根据全等三角形对应角相等的性质，可得到∠DBE与∠C的等量关系，代入已知角度计算即可得到结果。
【解析】
(1) $\because △ ABC ≌ △ DEB$，根据全等三角形对应边相等，
$\therefore EB=BC=3$，
$\because AB=6$，
$\therefore AE=AB-EB=6-3=3$。
(2) $\because △ ABC ≌ △ DEB$，根据全等三角形对应角相等，
$\therefore ∠ DBE=∠ C=55°$，
$\because ∠ AED$是$△ DEB$的外角，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，
$\therefore ∠ AED=∠ DBE+∠ D=55°+25°=80°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{80°}$
【知识点】
全等三角形的性质；三角形外角的性质；线段和差计算
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用类习题，解题的核心是准确识别全等三角形的对应边、对应角，结合线段和差关系、三角形外角性质即可快速求解，是巩固全等三角形相关基础知识点的典型题。
【难度系数】
0.8

11. 如图,点A、B、C在同一条直线上,点E在BD上,且$△ ABD ≌ △ EBC$,$AB=2\ \mathrm{cm}$,$BC=3\ \mathrm{cm}$.
(1)求$DE$的长.
(2)判断$AC$与$BD$的位置关系,并说明理由.
(3)判断直线$AD$与直线$CE$的位置关系,并说明理由.

11. (1)
∵△ABD≌△EBC,
∴BD=BC=3 cm,EB=AB=2 cm,
∴DE=BD-EB=3-2=1(cm).
(2)AC⊥BD.理由如下:
∵△ABD≌△EBC,
∴∠ABD=∠EBC.
∵点A、B、C在一条直线上,
∴∠ABD+∠EBC=180°,
∴∠EBC=90°,
∴AC⊥BD.
(3)AD⊥CE.理由如下:如图,延长CE交AD于点F.
∵△ABD≌△EBC,
∴∠D=∠C.由(2)可得∠ABD=90°,
∴∠A+∠D=90°,
∴∠A +∠C = 90°,
∴∠AFC = 90°,
∴AD⊥CE.

【分析】
(1)求DE的长度时，首先回忆全等三角形的性质：全等三角形对应边相等。结合已知△ABD≌△EBC，可得到BD与BC相等、EB与AB相等，DE为BD与EB的差，代入已知边长即可计算。
(2)判断AC与BD的位置关系，优先考虑垂直，需证明夹角为90°。利用全等三角形对应角相等得∠ABD=∠EBC，结合A、B、C共线，两个角组成平角和为180°，即可求出角的度数为90°，证明垂直。
(3)判断AD与CE的位置关系，同样从角度推导：先延长CE交AD于F，利用全等三角形对应角相等得∠D=∠C，结合(2)中得到的直角，根据直角三角形两锐角互余，等量代换得到∠A+∠C=90°，即可推出∠AFC为90°，证明垂直。
【解析】
(1) 解：
∵△ABD≌△EBC，
∴BD=BC=3 cm，EB=AB=2 cm，
∴DE=BD-EB=3-2=1(cm)。
(2) AC⊥BD，理由如下：
∵△ABD≌△EBC，
∴∠ABD=∠EBC。
∵点A、B、C在同一条直线上，
∴∠ABD+∠EBC=180°，
∴∠EBC=90°，
∴AC⊥BD。
(3) AD⊥CE，理由如下：
如图，延长CE交AD于点F。
∵△ABD≌△EBC，
∴∠D=∠C。
由(2)可得∠ABD=90°，
∴∠A+∠D=90°，
∴∠A +∠C = 90°，
∴∠AFC = 90°，
∴AD⊥CE。
【答案】
11. (1)
∵△ABD≌△EBC,
∴BD=BC=3 cm,EB=AB=2 cm,
∴DE=BD-EB=3-2=1(cm).
(2)AC⊥BD.理由如下:
∵△ABD≌△EBC,
∴∠ABD=∠EBC.
∵点A、B、C在一条直线上,
∴∠ABD+∠EBC=180°,
∴∠EBC=90°,
∴AC⊥BD.
(3)AD⊥CE.理由如下:如图,延长CE交AD于点F.
∵△ABD≌△EBC,
∴∠D=∠C.由(2)可得∠ABD=90°,
∴∠A+∠D=90°,
∴∠A +∠C = 90°,
∴∠AFC = 90°,
∴AD⊥CE.

【知识点】
全等三角形的性质；垂直的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，重点考查全等三角形对应边、对应角相等性质的运用，需要结合平角定义、直角三角形两锐角互余等知识推导线段长度和垂直关系，能帮助学生巩固全等性质的基础应用。
【难度系数】
0.7