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(1)因为$24÷4=6$,所以24是(
4
)和(6
)的倍数,(4
)和(6
)是24的(因数
)。答案
1. (1)4 6 4 6 因数
解析 在整数除法中,如果商是整数且没有余数,
除数和商就是被除数的因数,被除数就是除数和
商的倍数。
解析 在整数除法中,如果商是整数且没有余数,
除数和商就是被除数的因数,被除数就是除数和
商的倍数。
解析
【分析】
首先回忆因数和倍数的定义：在整数除法中，如果商是整数且没有余数，那么被除数就是除数和商的倍数，除数和商就是被除数的因数。题目中给出24÷4=6，商是整数且没有余数，所以我们可以根据这个定义来确定各空的内容，先明确被除数、除数、商分别是24、4、6，再对应填空即可。
【解析】
根据因数和倍数的定义：在整数除法中，若商是整数且没有余数，除数和商就是被除数的因数，被除数就是除数和商的倍数。
已知24÷4=6，商是整数且无余数，因此24是4和6的倍数，4和6是24的因数。
【答案】
4；6；4；6；因数
【知识点】
因数与倍数的定义
【点评】
本题考查因数和倍数的基础概念，需明确因数和倍数是相互依存的关系，不能单独表述某个数是因数或倍数，牢记定义是解题核心。
【难度系数】
0.9
首先回忆因数和倍数的定义：在整数除法中，如果商是整数且没有余数，那么被除数就是除数和商的倍数，除数和商就是被除数的因数。题目中给出24÷4=6，商是整数且没有余数，所以我们可以根据这个定义来确定各空的内容，先明确被除数、除数、商分别是24、4、6，再对应填空即可。
【解析】
根据因数和倍数的定义：在整数除法中，若商是整数且没有余数，除数和商就是被除数的因数，被除数就是除数和商的倍数。
已知24÷4=6，商是整数且无余数，因此24是4和6的倍数，4和6是24的因数。
【答案】
4；6；4；6；因数
【知识点】
因数与倍数的定义
【点评】
本题考查因数和倍数的基础概念，需明确因数和倍数是相互依存的关系，不能单独表述某个数是因数或倍数，牢记定义是解题核心。
【难度系数】
0.9
(2)打开一本数学书,左、右两页页码的和是(
奇数
)。(填“奇数”或“偶数”)答案
(2)奇数
解析 左、右两页页码是两个相邻的自然数,所以
一定是一个奇数和一个偶数,奇数+偶数=奇数。
解析 左、右两页页码是两个相邻的自然数,所以
一定是一个奇数和一个偶数,奇数+偶数=奇数。
解析
【分析】
首先思考书本页码的特点：打开书后左、右两页的页码是两个相邻的自然数。接着回忆自然数的奇偶性规律，相邻的自然数中必然一个是奇数，一个是偶数。最后根据奇偶性的运算性质，奇数与偶数相加的结果是奇数，由此可以判断两页页码的和的奇偶性。
【解析】
因为打开数学书后，左、右两页的页码是相邻的自然数，相邻的自然数一个是奇数，一个是偶数。根据奇偶性运算规则：奇数+偶数=奇数，所以左、右两页页码的和是奇数。
【答案】
奇数
【知识点】
相邻自然数性质、奇偶性运算规律
【点评】
本题考查对书本页码特征和数的奇偶性运算规律的理解与运用，属于基础题型，只要掌握相邻数的奇偶特点以及奇偶加法规则就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
首先思考书本页码的特点：打开书后左、右两页的页码是两个相邻的自然数。接着回忆自然数的奇偶性规律，相邻的自然数中必然一个是奇数，一个是偶数。最后根据奇偶性的运算性质，奇数与偶数相加的结果是奇数，由此可以判断两页页码的和的奇偶性。
【解析】
因为打开数学书后，左、右两页的页码是相邻的自然数，相邻的自然数一个是奇数，一个是偶数。根据奇偶性运算规则：奇数+偶数=奇数，所以左、右两页页码的和是奇数。
【答案】
奇数
【知识点】
相邻自然数性质、奇偶性运算规律
【点评】
本题考查对书本页码特征和数的奇偶性运算规律的理解与运用，属于基础题型，只要掌握相邻数的奇偶特点以及奇偶加法规则就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
(3)$a□b$是一个三位数,已知$a+b=11$,$a□b$是3的倍数,□里可以填的数有(
1,4,7
)。答案
(3)1,4,7
解析 3的倍数特征:各位上的数的和是3的倍数。
$a+b=11$,□里只有填1、4、7时和11相加才是
3的倍数。
解析 3的倍数特征:各位上的数的和是3的倍数。
$a+b=11$,□里只有填1、4、7时和11相加才是
3的倍数。
解析
【分析】
要解决这道题，首先需回忆3的倍数的判定特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。已知三位数$a□b$中$a+b=11$，那么这个三位数的各位数字总和为$11$加上方框里的数。我们需要找出一位数的方框数字，使得$11$与该数的和是3的倍数。先找出大于等于11的3的倍数：12、15、18，分别用这些数减去11，得到1、4、7，这些都是符合条件的一位数，因此方框里可填这三个数。
【解析】
根据3的倍数的特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
已知$a + b = 11$，设□里的数为$x$（$x$为0-9的一位数），则三位数$a□b$各位数字之和为$11 + x$。
分别计算：
$11 + 1 = 12$，12是3的倍数；
$11 + 4 = 15$，15是3的倍数；
$11 + 7 = 18$，18是3的倍数。
因此□里可以填的数是1、4、7。
【答案】
1,4,7
【知识点】
3的倍数特征
【点评】
本题重点考查3的倍数特征的实际应用，解题核心是结合已知的$a+b=11$，利用3的倍数判定规则筛选出符合条件的一位数，题目侧重基础知识的理解与运用，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需回忆3的倍数的判定特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。已知三位数$a□b$中$a+b=11$，那么这个三位数的各位数字总和为$11$加上方框里的数。我们需要找出一位数的方框数字，使得$11$与该数的和是3的倍数。先找出大于等于11的3的倍数：12、15、18，分别用这些数减去11，得到1、4、7，这些都是符合条件的一位数，因此方框里可填这三个数。
【解析】
根据3的倍数的特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
已知$a + b = 11$，设□里的数为$x$（$x$为0-9的一位数），则三位数$a□b$各位数字之和为$11 + x$。
分别计算：
$11 + 1 = 12$，12是3的倍数；
$11 + 4 = 15$，15是3的倍数；
$11 + 7 = 18$，18是3的倍数。
因此□里可以填的数是1、4、7。
【答案】
1,4,7
【知识点】
3的倍数特征
【点评】
本题重点考查3的倍数特征的实际应用，解题核心是结合已知的$a+b=11$，利用3的倍数判定规则筛选出符合条件的一位数，题目侧重基础知识的理解与运用，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
(4)$m=3n$($m$、$n$为非零自然数),$m$和$n$的最小公倍数是(
m
),最大公因数是(n
)。答案
(4)m n
解析 由题可知,m是n的倍数。当两个数成倍数
关系时,这两个数的最小公倍数就是其中较大的
数,最大公因数就是其中较小的数。
解析 由题可知,m是n的倍数。当两个数成倍数
关系时,这两个数的最小公倍数就是其中较大的
数,最大公因数就是其中较小的数。
解析
【分析】
首先观察题目给出的关系$m=3n$（$m$、$n$为非零自然数），可以判断出$m$是$n$的倍数，$n$是$m$的因数。接下来回忆两个数成倍数关系时的最大公因数和最小公倍数的规律：当两个数存在倍数关系时，较大的数就是它们的最小公倍数，较小的数就是它们的最大公因数。这里$m$是较大数，$n$是较小数，因此可以直接得出结果。
【解析】
已知$m=3n$（$m$、$n$为非零自然数），说明$m$是$n$的倍数，$n$是$m$的因数。
根据两个数成倍数关系时的性质：
最小公倍数是两个数中较大的数，因为$m ＞ n$，所以$m$和$n$的最小公倍数是$m$；
最大公因数是两个数中较小的数，所以$m$和$n$的最大公因数是$n$。
【答案】
$m$；$n$
【知识点】
倍数关系的数的最大公因数与最小公倍数
【点评】
本题考查对倍数关系的两个数的最大公因数和最小公倍数性质的掌握，解题关键是先判断出$m$和$n$的倍数关系，再利用对应规律直接求解，属于基础题型，有助于巩固公因数和公倍数的核心知识点。
【难度系数】
0.8
首先观察题目给出的关系$m=3n$（$m$、$n$为非零自然数），可以判断出$m$是$n$的倍数，$n$是$m$的因数。接下来回忆两个数成倍数关系时的最大公因数和最小公倍数的规律：当两个数存在倍数关系时，较大的数就是它们的最小公倍数，较小的数就是它们的最大公因数。这里$m$是较大数，$n$是较小数，因此可以直接得出结果。
【解析】
已知$m=3n$（$m$、$n$为非零自然数），说明$m$是$n$的倍数，$n$是$m$的因数。
根据两个数成倍数关系时的性质：
最小公倍数是两个数中较大的数，因为$m ＞ n$，所以$m$和$n$的最小公倍数是$m$；
最大公因数是两个数中较小的数，所以$m$和$n$的最大公因数是$n$。
【答案】
$m$；$n$
【知识点】
倍数关系的数的最大公因数与最小公倍数
【点评】
本题考查对倍数关系的两个数的最大公因数和最小公倍数性质的掌握，解题关键是先判断出$m$和$n$的倍数关系，再利用对应规律直接求解，属于基础题型，有助于巩固公因数和公倍数的核心知识点。
【难度系数】
0.8
(5)王师傅制作了48块月饼,打算全部装在盒子里,每盒装的同样多。如果每盒月饼的数量比3块多,比10块少,那么一共有(
3
)种不同的装法。答案
(5)3
解析 根据题意,每盒月饼的块数应是48的因数,
$48=1×48=2×24=3×16=4×12=6×8$。
再结合“每盒月饼的数量比3块多,比10块少”可
知,装法有3种:①每盒装4块,装12盒;②每盒
装6块,装8盒;③每盒装8块,装6盒。
解析 根据题意,每盒月饼的块数应是48的因数,
$48=1×48=2×24=3×16=4×12=6×8$。
再结合“每盒月饼的数量比3块多,比10块少”可
知,装法有3种:①每盒装4块,装12盒;②每盒
装6块,装8盒;③每盒装8块,装6盒。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确每盒装的数量同样多，说明每盒月饼的数量是48的因数。我们需要先找出48的所有因数，再从中筛选出“比3块多，比10块少”的因数，每个符合条件的因数对应一种装法，最后数出符合条件的因数个数就是装法的种数。
【解析】
根据题意，每盒月饼的块数是48的因数，先找出48的所有因数：
$48=1×48=2×24=3×16=4×12=6×8$，因此48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。
再结合“每盒月饼的数量比3块多，比10块少”的条件，筛选出符合要求的因数为4、6、8，对应三种装法：
①每盒装4块，装12盒；
②每盒装6块，装8盒；
③每盒装8块，装6盒。
所以一共有3种不同的装法。
【答案】
3
【知识点】
因数的实际应用
【点评】
本题考查因数在实际问题中的应用，解题关键是先找出48的所有因数，再根据给定范围筛选出符合条件的因数，培养学生运用数论知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确每盒装的数量同样多，说明每盒月饼的数量是48的因数。我们需要先找出48的所有因数，再从中筛选出“比3块多，比10块少”的因数，每个符合条件的因数对应一种装法，最后数出符合条件的因数个数就是装法的种数。
【解析】
根据题意，每盒月饼的块数是48的因数，先找出48的所有因数：
$48=1×48=2×24=3×16=4×12=6×8$，因此48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。
再结合“每盒月饼的数量比3块多，比10块少”的条件，筛选出符合要求的因数为4、6、8，对应三种装法：
①每盒装4块，装12盒；
②每盒装6块，装8盒；
③每盒装8块，装6盒。
所以一共有3种不同的装法。
【答案】
3
【知识点】
因数的实际应用
【点评】
本题考查因数在实际问题中的应用，解题关键是先找出48的所有因数，再根据给定范围筛选出符合条件的因数，培养学生运用数论知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1)在大于5的自然数中,个位上是0,2,4,5,6,8的数都是(
A.2的倍数
B.5的倍数
C.质数
D.合数
D
)。A.2的倍数
B.5的倍数
C.质数
D.合数
答案
2. (1)D
解析 大于5的自然数中,个位上是0,2,4,6或8
的数都是2的倍数,个位上是5的数都是5的倍
数。这些数除了1和它本身外,至少还有因数2
或5,故都是合数。
解析 大于5的自然数中,个位上是0,2,4,6或8
的数都是2的倍数,个位上是5的数都是5的倍
数。这些数除了1和它本身外,至少还有因数2
或5,故都是合数。
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以结合各选项对应的数学概念，逐一分析排除：
1. 先明确核心概念：2的倍数是个位为0、2、4、6、8的数；5的倍数是个位为0或5的数；质数是只有1和它本身两个因数的数；合数是除了1和它本身还有其他因数的数。
2. 分析选项A：题目包含个位是5的数，这类数不是2的倍数，因此A错误。
3. 分析选项B：题目包含个位是2、4、6、8的数，这类数不是5的倍数，因此B错误。
4. 分析选项C：这些数都大于5，比如6（个位6）除了1和6还有因数2、3，15（个位5）除了1和15还有因数3、5，均不符合质数定义，因此C错误。
5. 分析选项D：个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数，至少有因数2；个位是5的数是5的倍数，至少有因数5，这些数除了1和本身外还有其他因数，符合合数定义，因此选D。
【解析】
大于5的自然数中，个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数，个位上是5的数都是5的倍数。这些数除了1和它本身外，至少还有因数2或5，满足合数的定义，故都是合数。因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 合数的定义
2. 2和5的倍数特征
【点评】
本题主要考查对合数、质数以及2、5倍数特征的理解与区分，解题需紧扣各概念的定义，结合“大于5”的条件逐一排除错误选项，属于基础概念考查题，帮助学生巩固数的分类相关知识。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以结合各选项对应的数学概念，逐一分析排除：
1. 先明确核心概念：2的倍数是个位为0、2、4、6、8的数；5的倍数是个位为0或5的数；质数是只有1和它本身两个因数的数；合数是除了1和它本身还有其他因数的数。
2. 分析选项A：题目包含个位是5的数，这类数不是2的倍数，因此A错误。
3. 分析选项B：题目包含个位是2、4、6、8的数，这类数不是5的倍数，因此B错误。
4. 分析选项C：这些数都大于5，比如6（个位6）除了1和6还有因数2、3，15（个位5）除了1和15还有因数3、5，均不符合质数定义，因此C错误。
5. 分析选项D：个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数，至少有因数2；个位是5的数是5的倍数，至少有因数5，这些数除了1和本身外还有其他因数，符合合数定义，因此选D。
【解析】
大于5的自然数中，个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数，个位上是5的数都是5的倍数。这些数除了1和它本身外，至少还有因数2或5，满足合数的定义，故都是合数。因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 合数的定义
2. 2和5的倍数特征
【点评】
本题主要考查对合数、质数以及2、5倍数特征的理解与区分，解题需紧扣各概念的定义，结合“大于5”的条件逐一排除错误选项，属于基础概念考查题，帮助学生巩固数的分类相关知识。
【难度系数】
0.8
(2)数宝宝可能是下面四个选项中的(
A.19
B.15
C.14
D.11
A
)。A.19
B.15
C.14
D.11
答案
(2)A
解析 比10大、比20小的质数有11,13,17,19。
这4个质数都是奇数,两个质数相加等于奇数,这
两个质数必须是一个奇数,一个偶数。
质数中只有2是偶数,选项中只有19可以写成2
和质数(17)的和,符合题目要求。
解析 比10大、比20小的质数有11,13,17,19。
这4个质数都是奇数,两个质数相加等于奇数,这
两个质数必须是一个奇数,一个偶数。
质数中只有2是偶数,选项中只有19可以写成2
和质数(17)的和,符合题目要求。
解析
【分析】
解题思路分为两步：首先明确筛选范围，找出比10大、比20小的质数；接着利用奇偶性运算规律分析“能写成两个质数的和”这一条件，因为质数中只有2是偶数，奇数要拆成两个质数的和，必然是2加另一个奇数质数，据此验证候选数即可得出答案。
【解析】
1. 确定范围：比10大、比20小的质数有11、13、17、19，选项中符合该范围的是A选项19、D选项11，B选项15、C选项14不是质数，直接排除。
2. 分析条件：上述4个质数均为奇数，根据奇偶性运算规律，奇数=偶数+奇数，而质数里只有2是偶数，因此满足条件的数需能写成2与另一个质数的和。
3. 验证候选数：
$19=2+17$，17是质数，符合要求；
$11=2+9$，9不是质数，不符合要求。
综上，符合条件的数是19。
【答案】
A
【知识点】
质数的概念，奇偶性运算规律
【点评】
本题考查对质数定义的理解和奇偶性规律的灵活运用，先缩小范围再针对性验证的方法，能有效排除错误选项，提升解题效率，需要学生具备一定的逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
解题思路分为两步：首先明确筛选范围，找出比10大、比20小的质数；接着利用奇偶性运算规律分析“能写成两个质数的和”这一条件，因为质数中只有2是偶数，奇数要拆成两个质数的和，必然是2加另一个奇数质数，据此验证候选数即可得出答案。
【解析】
1. 确定范围：比10大、比20小的质数有11、13、17、19，选项中符合该范围的是A选项19、D选项11，B选项15、C选项14不是质数，直接排除。
2. 分析条件：上述4个质数均为奇数，根据奇偶性运算规律，奇数=偶数+奇数，而质数里只有2是偶数，因此满足条件的数需能写成2与另一个质数的和。
3. 验证候选数：
$19=2+17$，17是质数，符合要求；
$11=2+9$，9不是质数，不符合要求。
综上，符合条件的数是19。
【答案】
A
【知识点】
质数的概念，奇偶性运算规律
【点评】
本题考查对质数定义的理解和奇偶性规律的灵活运用，先缩小范围再针对性验证的方法，能有效排除错误选项，提升解题效率，需要学生具备一定的逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
(3)明明家的厨房有一张长2.4 m、宽0.6 m的长方形台面,要在上面铺满一种边长为整厘米数的正方形瓷砖,为避免裁切与浪费,最好不使用边长为(
A.15 cm
B.20 cm
C.40 cm
D.60 cm
C
)的正方形瓷砖。A.15 cm
B.20 cm
C.40 cm
D.60 cm
答案
(3)C
解析 只要正方形瓷砖的边长是长方形台面长与
宽的公因数即可。注意先将长方形台面的长和宽
转化成以厘米为单位的数。
解析 只要正方形瓷砖的边长是长方形台面长与
宽的公因数即可。注意先将长方形台面的长和宽
转化成以厘米为单位的数。
解析
【分析】
要解决这道题，首先得明确铺满长方形台面且不裁切、不浪费的核心条件：正方形瓷砖的边长必须是长方形台面长和宽的公因数。解题思路为：先统一单位，将长和宽从米转化为厘米，再逐一判断每个选项的数值是否是长和宽的公因数，不符合该条件的选项即为答案。
【解析】
第一步，进行单位换算：
2.4 m = 240 cm，0.6 m = 60 cm。
第二步，逐一分析选项：
选项A：240÷15=16，60÷15=4，结果均为整数，说明15是240和60的公因数，符合要求；
选项B：240÷20=12，60÷20=3，结果均为整数，说明20是240和60的公因数，符合要求；
选项C：240÷40=6，但60÷40=1.5，结果不是整数，说明40不是240和60的公因数，不符合要求；
选项D：240÷60=4，60÷60=1，结果均为整数，说明60是240和60的公因数，符合要求。
因此，最好不使用边长为40cm的正方形瓷砖。
【答案】
C
【知识点】
公因数的实际应用、单位换算
【点评】
本题考查公因数在生活场景中的实际应用，解题关键是理解“铺满且无裁切浪费”的本质是瓷砖边长为长方形长和宽的公因数，同时需注意单位统一，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先得明确铺满长方形台面且不裁切、不浪费的核心条件：正方形瓷砖的边长必须是长方形台面长和宽的公因数。解题思路为：先统一单位，将长和宽从米转化为厘米，再逐一判断每个选项的数值是否是长和宽的公因数，不符合该条件的选项即为答案。
【解析】
第一步，进行单位换算：
2.4 m = 240 cm，0.6 m = 60 cm。
第二步，逐一分析选项：
选项A：240÷15=16，60÷15=4，结果均为整数，说明15是240和60的公因数，符合要求；
选项B：240÷20=12，60÷20=3，结果均为整数，说明20是240和60的公因数，符合要求；
选项C：240÷40=6，但60÷40=1.5，结果不是整数，说明40不是240和60的公因数，不符合要求；
选项D：240÷60=4，60÷60=1，结果均为整数，说明60是240和60的公因数，符合要求。
因此，最好不使用边长为40cm的正方形瓷砖。
【答案】
C
【知识点】
公因数的实际应用、单位换算
【点评】
本题考查公因数在生活场景中的实际应用，解题关键是理解“铺满且无裁切浪费”的本质是瓷砖边长为长方形长和宽的公因数，同时需注意单位统一，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
3在探究“3个连续自然数的和一定是3的倍数”这一规律时,聪聪用了推理的方法,下面是他的推理过程,请把他的推理过程补充完整。($n＞0$)
假设最小的自然数为$n$,则另外两个自然数分别是$n+1$和(
假设最小的自然数为$n$,则另外两个自然数分别是$n+1$和(
n+2
)。因为$n+$(n+1
)+(n+2
)$=3×$(n+1
),$3$(n+1
)$÷3=$(n+1
),所以3个连续自然数的和一定是3的倍数。答案
3. $n+2$ $n+1$ $n+2$ $n+1$ $n+1$ $n+1$
解析 3个连续自然数的和是中间数的3倍,所以
一定是3的倍数。
解析 3个连续自然数的和是中间数的3倍,所以
一定是3的倍数。
解析
【分析】
首先，要明确连续自然数的核心特征：相邻两个自然数的差为1。已知最小的自然数是$n$，那么第二个自然数比$n$大1，即$n+1$，第三个自然数比第二个大1，也就是$n+2$。接下来需要计算这三个连续自然数的和，通过合并同类项将和化简，判断是否能表示为3与某个整数的乘积形式，若能则可证明该和是3的倍数。
【解析】
因为连续自然数相邻两数相差1，最小的自然数为$n$，所以另外两个自然数分别是$n+1$和$n+2$。
计算三个数的和：
$n+(n+1)+(n+2)$
$=n+n+1+n+2$
$=(n+n+n)+(1+2)$
$=3n+3$
$=3×(n+1)$
因为$3×(n+1)÷3=n+1$，且$n＞0$，$n+1$是整数，所以3个连续自然数的和一定是3的倍数。
【答案】
$n+2$；$n+1$；$n+2$；$n+1$；$n+1$；$n+1$
【知识点】
连续自然数的特征、倍数的判定、整式加法运算
【点评】
本题借助字母表示数的代数方法，严谨推导了“3个连续自然数的和一定是3的倍数”这一规律，既考查了基础的数的概念，又锻炼了代数运算与逻辑推理能力，帮助学生理解用代数方式验证数学规律的思路。
【难度系数】
0.8
首先，要明确连续自然数的核心特征：相邻两个自然数的差为1。已知最小的自然数是$n$，那么第二个自然数比$n$大1，即$n+1$，第三个自然数比第二个大1，也就是$n+2$。接下来需要计算这三个连续自然数的和，通过合并同类项将和化简，判断是否能表示为3与某个整数的乘积形式，若能则可证明该和是3的倍数。
【解析】
因为连续自然数相邻两数相差1，最小的自然数为$n$，所以另外两个自然数分别是$n+1$和$n+2$。
计算三个数的和：
$n+(n+1)+(n+2)$
$=n+n+1+n+2$
$=(n+n+n)+(1+2)$
$=3n+3$
$=3×(n+1)$
因为$3×(n+1)÷3=n+1$，且$n＞0$，$n+1$是整数，所以3个连续自然数的和一定是3的倍数。
【答案】
$n+2$；$n+1$；$n+2$；$n+1$；$n+1$；$n+1$
【知识点】
连续自然数的特征、倍数的判定、整式加法运算
【点评】
本题借助字母表示数的代数方法，严谨推导了“3个连续自然数的和一定是3的倍数”这一规律，既考查了基础的数的概念，又锻炼了代数运算与逻辑推理能力，帮助学生理解用代数方式验证数学规律的思路。
【难度系数】
0.8
4一座喷泉由内外两层构成,内层每8分钟喷一次水,外层每10分钟喷一次水。18时内外两层同时喷水,下一次同时喷水是几时几分? 内外两层继续照这样喷水,下一次在整时同时喷水是几时?
答案
4. 8和10的最小公倍数是40。
18时经过40分钟是18时40分。
1时=60分 60和40的最小公倍数是120。
120分=2时 18时经过2小时是20时。
答:下一次同时喷水是18时40分。下一次在整
时同时喷水是20时。
解析 假设内外两层过a分钟同时喷水,则a一定
既是8的倍数,也是10的倍数。所以第一个问题
实际上是求8和10的最小公倍数,是40。18时
经过40分钟是18时40分。
内外两层每过40分钟同时喷一次水,要在整时同
时喷水,1时=60分,从18时开始,经过的分钟数
就必须既是60的倍数,也是40的倍数。所以第
二个问题实际上是求60和40的最小公倍数,是
120。120分=2时,18时经过2小时是20时。
18时经过40分钟是18时40分。
1时=60分 60和40的最小公倍数是120。
120分=2时 18时经过2小时是20时。
答:下一次同时喷水是18时40分。下一次在整
时同时喷水是20时。
解析 假设内外两层过a分钟同时喷水,则a一定
既是8的倍数,也是10的倍数。所以第一个问题
实际上是求8和10的最小公倍数,是40。18时
经过40分钟是18时40分。
内外两层每过40分钟同时喷一次水,要在整时同
时喷水,1时=60分,从18时开始,经过的分钟数
就必须既是60的倍数,也是40的倍数。所以第
二个问题实际上是求60和40的最小公倍数,是
120。120分=2时,18时经过2小时是20时。
解析
【分析】
首先解决第一个问题：内外两层同时喷水后，下一次同时喷水的时间间隔，需要是内层喷水周期8分钟和外层喷水周期10分钟的公倍数，其中最小的公倍数就是最短的间隔时间，用初始时间18时加上这个间隔时间，就能得到下一次同时喷水的时刻。
然后解决第二个问题：要实现整时同时喷水，从18时开始经过的时间，需要既是两次同时喷水的间隔40分钟的倍数，又是1小时（60分钟）的倍数，所以需要求40和60的最小公倍数，将这个时间换算成小时后加到18时上，就能得到下一次整时同时喷水的时刻。
【解析】
1. 计算下一次同时喷水的时刻：
求8和10的最小公倍数，对8和10分解质因数：
$8=2×2×2$，$10=2×5$，因此最小公倍数为$2×2×2×5=40$，即经过40分钟后再次同时喷水。
$18$时$+40$分$=18$时$40$分。
2. 计算下一次整时同时喷水的时刻：
因为$1$时$=60$分，求40和60的最小公倍数，分解质因数：
$40=2×2×2×5$，$60=2×2×3×5$，因此最小公倍数为$2×2×2×3×5=120$。
$120$分$=2$时，$18$时$+2$时$=20$时。
【答案】
下一次同时喷水是18时40分，下一次在整时同时喷水是20时。
【知识点】
最小公倍数应用、时间单位换算
【点评】
本题是最小公倍数在实际生活中的典型应用，需要结合时间换算的知识，明确同时喷水的时间间隔与两个喷水周期的关系，整时同时喷水的间隔与喷水周期、小时的关系，理清逻辑后通过求最小公倍数即可解决问题。
【难度系数】
0.6
首先解决第一个问题：内外两层同时喷水后，下一次同时喷水的时间间隔，需要是内层喷水周期8分钟和外层喷水周期10分钟的公倍数，其中最小的公倍数就是最短的间隔时间，用初始时间18时加上这个间隔时间，就能得到下一次同时喷水的时刻。
然后解决第二个问题：要实现整时同时喷水，从18时开始经过的时间，需要既是两次同时喷水的间隔40分钟的倍数，又是1小时（60分钟）的倍数，所以需要求40和60的最小公倍数，将这个时间换算成小时后加到18时上，就能得到下一次整时同时喷水的时刻。
【解析】
1. 计算下一次同时喷水的时刻：
求8和10的最小公倍数，对8和10分解质因数：
$8=2×2×2$，$10=2×5$，因此最小公倍数为$2×2×2×5=40$，即经过40分钟后再次同时喷水。
$18$时$+40$分$=18$时$40$分。
2. 计算下一次整时同时喷水的时刻：
因为$1$时$=60$分，求40和60的最小公倍数，分解质因数：
$40=2×2×2×5$，$60=2×2×3×5$，因此最小公倍数为$2×2×2×3×5=120$。
$120$分$=2$时，$18$时$+2$时$=20$时。
【答案】
下一次同时喷水是18时40分，下一次在整时同时喷水是20时。
【知识点】
最小公倍数应用、时间单位换算
【点评】
本题是最小公倍数在实际生活中的典型应用，需要结合时间换算的知识，明确同时喷水的时间间隔与两个喷水周期的关系，整时同时喷水的间隔与喷水周期、小时的关系，理清逻辑后通过求最小公倍数即可解决问题。
【难度系数】
0.6
5小区新建了一条600 m长的健身步道,起初步道两侧每隔15 m安装一盏地灯(两端都安)。后来物业为了增加照明亮度,以便更好地服务居民夜间运动,于是将地灯间隔缩小为12 m,你知道有多少盏地灯的位置不需要移动吗?(地灯大小忽略不计)
答案
5. 12和15的最小公倍数是60。
$600÷60=10$ $(10+1)×2=22$(盏)
答:有22盏地灯的位置不需要移动。
解析 因为12和15的最小公倍数是60,所以在步
道一侧,从一端开始,每隔60 m就有一盏地灯的
位置重合,不需要移动。
因为两端都安,所以步道一侧不需要移动的地灯
数=间隔数+1=$600÷60+1$,再乘2就是步道两
侧不需要移动的地灯数。
$600÷60=10$ $(10+1)×2=22$(盏)
答:有22盏地灯的位置不需要移动。
解析 因为12和15的最小公倍数是60,所以在步
道一侧,从一端开始,每隔60 m就有一盏地灯的
位置重合,不需要移动。
因为两端都安,所以步道一侧不需要移动的地灯
数=间隔数+1=$600÷60+1$,再乘2就是步道两
侧不需要移动的地灯数。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确：不需要移动的地灯位置，必须是原来间隔15m和新间隔12m的公倍数所在的位置，也就是同时是15和12倍数的位置。所以第一步先求出12和15的最小公倍数，确定每隔多少米就有一盏地灯不用移动；接着根据步道总长600m，计算出步道一侧有多少个这样的间隔，再结合“两端都安装”的植树问题公式（棵数=间隔数+1）算出一侧不需要移动的地灯数量；最后乘2得到两侧的总数。
【解析】
1. 求12和15的最小公倍数：
分解质因数可得，12=2×2×3，15=3×5，因此12和15的最小公倍数为2×2×3×5=60，即每隔60m的地灯位置不需要移动。
2. 计算步道一侧不需要移动的地灯数量：
步道总长600m，间隔数为$600÷60=10$，由于两端都安装地灯，根据植树问题公式，一侧不需要移动的地灯数为$10+1=11$（盏）。
3. 计算两侧不需要移动的地灯总数：
$11×2=22$（盏）
【答案】
22盏
【知识点】
最小公倍数应用、两端都栽的植树问题
【点评】
本题考查最小公倍数与植树问题的综合应用，解题关键是理解不需要移动的地灯位置是原间隔和新间隔的公倍数位置，同时要牢记两端都栽的植树问题中棵数与间隔数的关系，避免遗漏两端的地灯或忘记计算两侧数量。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先要明确：不需要移动的地灯位置，必须是原来间隔15m和新间隔12m的公倍数所在的位置，也就是同时是15和12倍数的位置。所以第一步先求出12和15的最小公倍数，确定每隔多少米就有一盏地灯不用移动；接着根据步道总长600m，计算出步道一侧有多少个这样的间隔，再结合“两端都安装”的植树问题公式（棵数=间隔数+1）算出一侧不需要移动的地灯数量；最后乘2得到两侧的总数。
【解析】
1. 求12和15的最小公倍数：
分解质因数可得，12=2×2×3，15=3×5，因此12和15的最小公倍数为2×2×3×5=60，即每隔60m的地灯位置不需要移动。
2. 计算步道一侧不需要移动的地灯数量：
步道总长600m，间隔数为$600÷60=10$，由于两端都安装地灯，根据植树问题公式，一侧不需要移动的地灯数为$10+1=11$（盏）。
3. 计算两侧不需要移动的地灯总数：
$11×2=22$（盏）
【答案】
22盏
【知识点】
最小公倍数应用、两端都栽的植树问题
【点评】
本题考查最小公倍数与植树问题的综合应用，解题关键是理解不需要移动的地灯位置是原间隔和新间隔的公倍数位置，同时要牢记两端都栽的植树问题中棵数与间隔数的关系，避免遗漏两端的地灯或忘记计算两侧数量。
【难度系数】
0.6
