1. 下面图形中哪些是三角形？是三角形的画“√”，不是三角形的画“×”。

1. ( × )( × )( √ )
( × )( √ )( × )

【分析】
我们要判断图形是否为三角形，首先需要明确三角形的核心判定规则：只有由3条直的线段首尾顺次相接围成的封闭平面图形才是三角形。接下来逐个对照所有待判断的图形，逐一核对三个核心要求：第一，组成图形的边全是直的线段，总共有3条边；第二，三条边的端点是首尾依次连接的，没有多余的出头部分；第三，整个图形完全封闭，没有缺口。任意一个条件不满足就不是三角形，标记×，全部符合就标记√。
【解析】
首先明确三角形的判定依据，三角形需要同时满足三个特征：①拥有3条直的边；②三条边首尾顺次相连，无多余出头部分；③整体是封闭图形。
按照顺序对6个图形逐一判定：
1. 第1个图形：不满足三角形特征，标记×
2. 第2个图形：不满足三角形特征，标记×
3. 第3个图形：完全符合三角形所有特征，标记√
4. 第4个图形：不满足三角形特征，标记×
5. 第5个图形：完全符合三角形所有特征，标记√
6. 第6个图形：不满足三角形特征，标记×
【答案】
( × )( × )( √ )( × )( √ )( × )
【知识点】
三角形的定义，平面图形辨识
【点评】
本题是基础概念考察题，目的是检验学生对三角形基本特征的掌握程度，容易出错的地方是学生容易忽略“边为直线段、图形封闭、无多余出头端点”这些细节，完成本题可以帮助学生夯实三角形的判定逻辑，准确区分三角形和其他相似的非三角形图形。
【难度系数】
0.9

2. 请画出下面三角形所有的高，并量一量所有的高和底边的长，你发现了什么？
我发现：(1)这个三角形有()条高，这些高的长度()。(填“相等”或“不相等”)
(2)高的长度 ○ 底边的长度。(填“＞”“＜”或“=”)

2.
(1)3 相等 (2)＜

【分析】
解题思路：首先回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线段，顶点到垂足的线段就是这条边上的高。第一步先按照定义，分别从三角形的三个顶点向各自的对边作垂线，画出全部3条高；之后用直尺分别测量三条高的长度，再测量三条底边的长度，对比数值即可得到结论。任意三角形都有3条高，这个三角形是等边三角形，三条边长度相等，因此三条高的长度也会相等；结合直角三角形的性质（直角边长度小于斜边），也可以预判高的长度会小于对应底边的长度。
【解析】
1. 画高操作：
① 从三角形上方的顶点，向它的对边（底部的边）作垂直的线段，标注直角符号，得到第一条高；
② 从三角形左下角的顶点，向它的对边（右侧的边）作垂直的线段，标注直角符号，得到第二条高；
③ 从三角形右下角的顶点，向它的对边（左侧的边）作垂直的线段，标注直角符号，得到第三条高。
2. 测量对比：
用直尺分别测量三条高的长度，发现三个数值完全一致，说明三条高长度相等；再测量任意一条底边的长度，对比高的数值，可得到高的长度小于底边的长度。
3. 完成填空：
(1) 任意三角形都有3条高，该等边三角形的三条高长度相等；
(2) 测量后可得高的长度小于底边的长度。
【答案】

(1)3；相等 (2)＜
【知识点】
三角形的高，等边三角形性质
【点评】
本题属于动手实践类基础习题，通过画高、实际测量的操作过程，帮助学生直观感知等边三角形高的特征，巩固三角形高的相关概念，同时锻炼学生的动手操作和观察总结能力。
【难度系数】
0.9

3.

(1)图中所画三角形的底是()厘米，高是()厘米。
(2)分别以图中线段为底，画高是2厘米的三角形。
(3)在方格纸上任意找出3个点()能首尾相接连成一个三角形。(填“一定”或“不一定”)

3. (1)3 5
(2)
(画法不唯一)
(3)不一定

【分析】
我们可以分三步梳理解题思路：
1. 做第(1)问时，首先明确图中每个小方格的边长为1cm，数出三角形标注为底的边所占的方格边长数，即可得到底的长度；再数出从这条底边到对顶点的垂直方向的方格数，就能得到对应的高的长度。
2. 做第(2)问时，依据三角形高的定义：从三角形的对顶点向底边作垂线段，垂线段长度就是高。分别以图中两条标注“底”的线段为底边，在距离对应底边垂直距离为2cm的位置任选一个不在底边上的点，将该点与底边两个端点相连，即可画出符合要求的三角形，画法不唯一。
3. 做第(3)问时，需要考虑三点的特殊位置关系：如果三个点在同一条直线上，首尾相连后只能得到线段，无法构成三角形，因此任意三个点不一定能连成三角形。
【解析】
(1) 已知小方格边长为1cm，三角形顶部标注“底”的边共占3个方格边长，因此底长为3cm；从该底边向下到三角形的顶点，垂直方向共占5个方格边长，因此高为5cm。
(2) ① 针对水平方向的底：在该底边的上方或下方，选取距离底边垂直距离为2格（即2cm）的任意点，将该点与底边的两个端点连接，即可得到符合要求的三角形；② 针对竖直方向的底：在该竖底边的左侧或右侧，选取距离竖边水平距离为2格（即2cm）的任意点，将该点与竖边的两个端点连接，即可得到符合要求的三角形，画法不唯一。
(3) 只有当三个点不在同一条直线上时，才能首尾相连构成三角形，若三点共线则无法构成三角形，因此任意找出3个点不一定能首尾相接连成一个三角形。
【答案】
(1) 3；5
(2) （画法不唯一）
(3) 不一定
【知识点】
三角形底和高，三角形构成条件
【点评】
本题结合方格纸场景考察三角形的基础概念，兼顾了读数、动手画图和概念辨析，易错点是第(3)问容易忽略三点共线的特殊情况，误判为“一定”，需要牢记构成三角形的三个点不能共线这个前提条件。
【难度系数】
0.7

4. 如图所示的两条平行线之间的距离是1厘米。

(1)以AB为底边，画出两个不同的三角形。要求画出的三角形的顶点(除A、B外)都在另一条直线上。
(2)画出的三角形AB边上的高都是()厘米。

4. (1) (画法不唯一)
(2)1

【分析】
我们先梳理题目的已知条件：两条平行线间距为1厘米，点A、B都在下方的平行线上。第(1)问要求以AB为底，三角形的第三个顶点落在上方的平行线上，思路很简单：只需要在上方的平行线上任意选出两个不重合的点，分别将这两个点和A、B两点相连，就能得到两个不同的符合要求的三角形，画法不唯一。第(2)问求这些三角形AB边上的高，我们回忆三角形高的定义：从三角形的第三个顶点向底边AB所在直线作垂线段，这个垂线段的长度就是AB边上的高，而这条垂线段刚好就是两条平行线之间的垂线段，长度等于平行线的间距，直接就能得到结果。
【解析】
(1) 操作步骤：在上方的平行线上任意选取两个互不重合的点，分别将两个点与A、B依次连接，即可得到两个不同的、满足要求的三角形，画法不唯一。
(2) 根据平行线的性质，两条平行线之间的所有垂线段长度都相等，题目已经给出两条平行线的距离是1厘米，因此所有第三个顶点在上方平行线上的三角形，以AB为底的高都等于两条平行线的间距，也就是1厘米。
【答案】
(1) (画法不唯一)
(2) 1
【知识点】
平行线间距离；三角形的高
【点评】
本题属于几何基础实操题，将平行线的性质和三角形高的概念结合起来，通过画图操作帮助学生直观理解“同底、第三个顶点在平行线上的三角形高都相等”的规律，侧重考察基础概念的理解应用，难度较低。
【难度系数】
0.8

5. 新素养 推理意识 下面图形中各有多少个三角形？你发现了什么规律？


我发现的规律是：
。

5. 1 3 6 10 66 如果三角形中线段
的条数为n,则三角形的个数为$1+2+3+$
$\dots +n+(n+1)$

【分析】
我们要数这类所有三角形共享同一个顶角、底边都落在同一条直线上的图形的三角形数量，首先可以从最简单的图形开始逐个计数：先数没有额外线段的基础三角形，再数由2个小三角形拼成的大三角形，再数由3个拼成的，依次累加，算出前几个图形的三角形总数后，对比内部线段的数量和总三角形数的对应关系，就能归纳出通用的规律，后续不用逐个计数就能算出线段数很多时的三角形总数。
【解析】
我们按图形顺序依次计数推导：
1. 第1个图形：三角形内部没有从公共顶点向底边引出的额外线段，仅1个基础三角形，总个数为1；
2. 第2个图形：三角形内部从公共顶点向底边引出1条线段，拆分出2个小基础三角形，总个数=2+1=3；
3. 第3个图形：三角形内部从公共顶点向底边引出2条线段，拆分出3个小基础三角形，总个数=3+2+1=6；
4. 第4个图形：三角形内部从公共顶点向底边引出3条线段，拆分出4个小基础三角形，总个数=4+3+2+1=10；
5. 当三角形内部从公共顶点向底边引出的线段总条数为10时，拆分出11个小基础三角形，总个数=11+10+…+2+1=66。
归纳对应关系：设三角形中从公共顶点向底边引出的线段条数为n，此时小基础三角形的数量为n+1，三角形总个数就是从1连续加到n+1的和。
【答案】
各图形三角形的数量依次为1、3、6、10、66；如果三角形中线段的条数为n，则三角形的个数为$1+2+3+\dots +n+(n+1)$
【知识点】
三角形计数，规律归纳
【点评】
本题属于图形计数的规律探究题，核心是将三角形的计数转化为底边上线段的计数，避免逐个计数出现漏数、重复数的问题，通过少量样本归纳通用公式，很好地锻炼了推理意识和归纳总结能力。
【难度系数】
0.6