登录
6. 一次函数$y=kx+b$的图象经过点$A(2,3)$，每当$x$增加1个单位长度时，$y$增加3个单位长度，则此函数解析式是 （
A.$y=x+3$
B.$y=2x-3$
C.$y=3x-3$
D.$y=4x-4$
C
）A.$y=x+3$
B.$y=2x-3$
C.$y=3x-3$
D.$y=4x-4$
答案
6.C
解析
【分析】
解题时首先明确一次函数中k的意义：k表示x每变化1个单位时y的变化量，题目中x增加1个单位y增加3个单位，可直接求出k值；再利用函数图象经过的点的坐标满足函数解析式，将点A代入含k的解析式求出b的值，即可得到完整的函数解析式，对应选出正确选项。
【解析】
第一步：求k的值
∵每当x增加1个单位长度时，y增加3个单位长度
∴一次函数的斜率$k=\frac{y的变化量}{x的变化量}=\frac{3}{1}=3$
此时函数解析式可写为$y=3x+b$
第二步：代入点A求b的值
∵函数图象经过点$A(2,3)$，将$x=2，y=3$代入$y=3x+b$得：
$3=3×2 + b$
解得：$b=3-6=-3$
第三步：得到函数解析式
∴此函数的解析式为$y=3x-3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的性质；待定系数法求解析式；函数图象上点的特征
【点评】
本题考查一次函数的基础应用，解题的关键是理解一次函数中k的实际意义，熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，整体解题逻辑清晰，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确一次函数中k的意义：k表示x每变化1个单位时y的变化量，题目中x增加1个单位y增加3个单位，可直接求出k值；再利用函数图象经过的点的坐标满足函数解析式，将点A代入含k的解析式求出b的值，即可得到完整的函数解析式，对应选出正确选项。
【解析】
第一步：求k的值
∵每当x增加1个单位长度时，y增加3个单位长度
∴一次函数的斜率$k=\frac{y的变化量}{x的变化量}=\frac{3}{1}=3$
此时函数解析式可写为$y=3x+b$
第二步：代入点A求b的值
∵函数图象经过点$A(2,3)$，将$x=2，y=3$代入$y=3x+b$得：
$3=3×2 + b$
解得：$b=3-6=-3$
第三步：得到函数解析式
∴此函数的解析式为$y=3x-3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的性质；待定系数法求解析式；函数图象上点的特征
【点评】
本题考查一次函数的基础应用，解题的关键是理解一次函数中k的实际意义，熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，整体解题逻辑清晰，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
7. 函数$y=(m-2)x^{|m|-1}+5$是$y$关于$x$的一次函数，则$m=$
-2
.答案
7.-2
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确一次函数的核心定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k≠0$）的函数叫做一次函数，需满足两个条件：一是自变量$x$的次数为1，二是一次项的系数不能为0。我们可以先根据$x$的次数为1列方程求出$m$的可能取值，再根据一次项系数不为0排除不符合要求的取值，最终得到正确结果。
【解析】
根据一次函数的定义，可列出如下条件：
1. 自变量$x$的次数为1：
$|m|-1=1$
解得：$|m|=2$，即$m=2$或$m=-2$
2. 一次项系数不为0：
$m-2≠0$
解得：$m≠2$
结合两个条件，排除$m=2$，最终得$m=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
一次函数的定义；绝对值方程求解；一元一次不等式应用
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是容易忽略一次项系数不为0的限制条件，错误得到$m=±2$的结果，解题时要注意对求出的参数值进行验证，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需明确一次函数的核心定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k≠0$）的函数叫做一次函数，需满足两个条件：一是自变量$x$的次数为1，二是一次项的系数不能为0。我们可以先根据$x$的次数为1列方程求出$m$的可能取值，再根据一次项系数不为0排除不符合要求的取值，最终得到正确结果。
【解析】
根据一次函数的定义，可列出如下条件：
1. 自变量$x$的次数为1：
$|m|-1=1$
解得：$|m|=2$，即$m=2$或$m=-2$
2. 一次项系数不为0：
$m-2≠0$
解得：$m≠2$
结合两个条件，排除$m=2$，最终得$m=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
一次函数的定义；绝对值方程求解；一元一次不等式应用
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是容易忽略一次项系数不为0的限制条件，错误得到$m=±2$的结果，解题时要注意对求出的参数值进行验证，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
8.已知点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$在直线$y=kx+b$上,且直线经过第一、二、四象限,当$x_1＜x_2$时,$y_1$与$y_2$的大小关系为
$y_1＞y_2$
。答案
8.$y_1＞y_2$
解析
【分析】
要比较y₁和y₂的大小，首先需要确定直线对应的一次函数的增减性，而增减性由一次项系数k的符号决定：第一步，先根据直线经过的象限判断k的正负；第二步，结合k的符号明确函数的增减规律；第三步，根据x₁和x₂的大小关系，对应推导y₁和y₂的大小。
【解析】
解：
∵直线y=kx+b经过第一、二、四象限
∴k＜0
∴该一次函数的函数值y随x的增大而减小
又
∵x₁＜x₂
∴y₁＞y₂
【答案】
$y_1＞y_2$
【知识点】
1.一次函数图象特征
2.一次函数增减性
3.一次函数系数意义
【点评】
本题是一次函数性质的基础应用题，解题核心是先通过图象经过的象限确定k的符号，再利用增减性比较函数值大小，属于基础常规题型。
【难度系数】
0.8
要比较y₁和y₂的大小，首先需要确定直线对应的一次函数的增减性，而增减性由一次项系数k的符号决定：第一步，先根据直线经过的象限判断k的正负；第二步，结合k的符号明确函数的增减规律；第三步，根据x₁和x₂的大小关系，对应推导y₁和y₂的大小。
【解析】
解：
∵直线y=kx+b经过第一、二、四象限
∴k＜0
∴该一次函数的函数值y随x的增大而减小
又
∵x₁＜x₂
∴y₁＞y₂
【答案】
$y_1＞y_2$
【知识点】
1.一次函数图象特征
2.一次函数增减性
3.一次函数系数意义
【点评】
本题是一次函数性质的基础应用题，解题核心是先通过图象经过的象限确定k的符号，再利用增减性比较函数值大小，属于基础常规题型。
【难度系数】
0.8
9.在弹性限度内,弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比,某弹簧不挂物体时长15 cm,当所挂物体质量为3 kg时,弹簧长16.8 cm.写出弹簧长度L(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数解析式：
$L=0.6x+15$
.答案
9.$L=0.6x+15$
解析
【分析】
解题思路：首先明确弹簧总长度的构成：弹簧总长度 = 弹簧原长 + 弹簧伸长的长度。题目说明弹簧伸长的长度与所挂物体质量成正比，因此弹簧长度L和质量x满足一次函数关系，我们可以先设出一次函数的一般形式，再代入两组已知的x、L值，求出未知系数即可得到函数解析式。第一步先确定弹簧原长对应的x、L值求出常数项，第二步代入挂重物的已知条件求比例系数。
【解析】
设弹簧长度L（cm）与所挂物体质量x（kg）的函数解析式为$ L = kx + b $（$ k ≠ 0 $）。
1. 当不挂物体时，$ x = 0 $，此时$ L = 15\ \mathrm{cm} $，代入解析式得：
$ 15 = k × 0 + b $，解得$ b = 15 $。
2. 当所挂物体质量$ x = 3\ \mathrm{kg} $时，弹簧长$ L = 16.8\ \mathrm{cm} $，将$ b=15 $、$ x=3 $、$ L=16.8 $代入解析式得：
$ 16.8 = 3k + 15 $
移项计算得：$ 3k = 16.8 - 15 = 1.8 $，解得$ k = 0.6 $。
因此弹簧长度L与所挂物体质量x之间的函数解析式为$ L = 0.6x + 15 $（弹性限度内）。
【答案】
$ L=0.6x+15 $
【知识点】
1. 一次函数的实际应用
2. 待定系数法求解析式
3. 正比例关系应用
【点评】
本题是一次函数实际应用的基础题型，解题核心是理清弹簧总长度的组成部分，结合题目给出的正比关系设出合适的函数形式，再代入已知条件求解系数即可，掌握这类题型能为后续解决更复杂的函数实际问题打好基础。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先明确弹簧总长度的构成：弹簧总长度 = 弹簧原长 + 弹簧伸长的长度。题目说明弹簧伸长的长度与所挂物体质量成正比，因此弹簧长度L和质量x满足一次函数关系，我们可以先设出一次函数的一般形式，再代入两组已知的x、L值，求出未知系数即可得到函数解析式。第一步先确定弹簧原长对应的x、L值求出常数项，第二步代入挂重物的已知条件求比例系数。
【解析】
设弹簧长度L（cm）与所挂物体质量x（kg）的函数解析式为$ L = kx + b $（$ k ≠ 0 $）。
1. 当不挂物体时，$ x = 0 $，此时$ L = 15\ \mathrm{cm} $，代入解析式得：
$ 15 = k × 0 + b $，解得$ b = 15 $。
2. 当所挂物体质量$ x = 3\ \mathrm{kg} $时，弹簧长$ L = 16.8\ \mathrm{cm} $，将$ b=15 $、$ x=3 $、$ L=16.8 $代入解析式得：
$ 16.8 = 3k + 15 $
移项计算得：$ 3k = 16.8 - 15 = 1.8 $，解得$ k = 0.6 $。
因此弹簧长度L与所挂物体质量x之间的函数解析式为$ L = 0.6x + 15 $（弹性限度内）。
【答案】
$ L=0.6x+15 $
【知识点】
1. 一次函数的实际应用
2. 待定系数法求解析式
3. 正比例关系应用
【点评】
本题是一次函数实际应用的基础题型，解题核心是理清弹簧总长度的组成部分，结合题目给出的正比关系设出合适的函数形式，再代入已知条件求解系数即可，掌握这类题型能为后续解决更复杂的函数实际问题打好基础。
【难度系数】
0.8
10. 如图,在平面直角坐标系中,直线$ l $经过点$ A(0,1),B(-2,0) $.
(1)求直线$ l $所对应的函数解析式.
(2)若点$ M(3,m) $在直线$ l $上,求$ m $的值.
(3)若直线$ y=-x+n $经过点$ A $,交$ x $轴于点$ C $,求$ △ ABC $的面积.
(1)求直线$ l $所对应的函数解析式.
(2)若点$ M(3,m) $在直线$ l $上,求$ m $的值.
(3)若直线$ y=-x+n $经过点$ A $,交$ x $轴于点$ C $,求$ △ ABC $的面积.
答案
10. 解:(1)设直线$ l $对应的函数解析式为$ y=kx+b $,
$ \because $点$ A(0,1),B(-2,0) $在直线$ y=kx+b $上,$ \therefore \begin{cases} b=1,\\ -2k+b=0, \end{cases} $
解得$ \begin{cases} k=\dfrac{1}{2},\\ b=1. \end{cases} \therefore $直线$ l $所对应的函数解析式是$ y=\dfrac{1}{2}x+1 $.
(2)$ \because $点$ M(3,m) $在直线$ l $上,
$ \therefore m=\dfrac{1}{2}×3+1=\dfrac{5}{2} $.
(3)$ \because y=-x+n $过点$ A(0,1) $,
$ \therefore n=1 $.
当$ y=0 $时,$ -x+1=0 $,解得$ x=1 $,
则$ C(1,0) $,$ \therefore △ ABC $ 的面积$ = \dfrac{1}{2}×(2+1)×1=\dfrac{3}{2} $.
$ \because $点$ A(0,1),B(-2,0) $在直线$ y=kx+b $上,$ \therefore \begin{cases} b=1,\\ -2k+b=0, \end{cases} $
解得$ \begin{cases} k=\dfrac{1}{2},\\ b=1. \end{cases} \therefore $直线$ l $所对应的函数解析式是$ y=\dfrac{1}{2}x+1 $.
(2)$ \because $点$ M(3,m) $在直线$ l $上,
$ \therefore m=\dfrac{1}{2}×3+1=\dfrac{5}{2} $.
(3)$ \because y=-x+n $过点$ A(0,1) $,
$ \therefore n=1 $.
当$ y=0 $时,$ -x+1=0 $,解得$ x=1 $,
则$ C(1,0) $,$ \therefore △ ABC $ 的面积$ = \dfrac{1}{2}×(2+1)×1=\dfrac{3}{2} $.
解析
【分析】
(1)求一次函数解析式可使用待定系数法，先设出一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，再将已知的两个点坐标代入解析式，得到关于$k$、$b$的方程组，解方程组求出参数值即可得到解析式。
(2)若点在直线上，则点的坐标满足直线的解析式，只需将点的横坐标代入解析式，就能求出对应的纵坐标$m$的值。
(3)先将点$A$的坐标代入$y=-x+n$求出$n$的值，得到该直线的解析式；再令解析式中$y=0$，求出对应的$x$值即可得到点$C$的坐标；观察可知$BC$在$x$轴上，底为$BC$的长度，高为点$A$到$x$轴的距离，代入三角形面积公式即可计算出面积。
【解析】
(1) 设直线$ l $对应的函数解析式为$ y=kx+b \:(k≠0) $，
∵点$ A(0,1),B(-2,0) $在直线$ l $上，
∴代入坐标得$\begin{cases} b=1\\ -2k+b=0 \end{cases}$，
解得$\begin{cases} k=\dfrac{1}{2}\\ b=1 \end{cases}$，
∴直线$ l $所对应的函数解析式是$ y=\dfrac{1}{2}x+1 $。
(2)
∵点$ M(3,m) $在直线$ l $上，
∴将$ x=3 $代入$ y=\dfrac{1}{2}x+1 $，
得$ m=\dfrac{1}{2}×3+1=\dfrac{5}{2} $。
(3)
∵直线$ y=-x+n $经过点$ A(0,1) $，
∴代入得$1=0+n$，解得$n=1$，即直线解析式为$y=-x+1$，
令$y=0$，则$-x+1=0$，解得$x=1$，即点$C$坐标为$(1,0)$，
∴$BC$的长度为$1-(-2)=3$，点$A$到$x$轴的距离为$1$，
∴$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}×3×1=\dfrac{3}{2}$。
【答案】
(1) $ y=\dfrac{1}{2}x+1 $；(2) $ m=\dfrac{5}{2} $；(3) $ \dfrac{3}{2} $
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数点的坐标特征；三角形面积计算
【点评】
本题属于一次函数基础综合题，核心考察一次函数的基本应用，解题关键是熟练掌握待定系数法的求解步骤，理解函数图象上点的坐标与解析式的关系，计算坐标系内三角形面积时准确找到底和对应的高即可。
【难度系数】
0.8
(1)求一次函数解析式可使用待定系数法，先设出一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，再将已知的两个点坐标代入解析式，得到关于$k$、$b$的方程组，解方程组求出参数值即可得到解析式。
(2)若点在直线上，则点的坐标满足直线的解析式，只需将点的横坐标代入解析式，就能求出对应的纵坐标$m$的值。
(3)先将点$A$的坐标代入$y=-x+n$求出$n$的值，得到该直线的解析式；再令解析式中$y=0$，求出对应的$x$值即可得到点$C$的坐标；观察可知$BC$在$x$轴上，底为$BC$的长度，高为点$A$到$x$轴的距离，代入三角形面积公式即可计算出面积。
【解析】
(1) 设直线$ l $对应的函数解析式为$ y=kx+b \:(k≠0) $，
∵点$ A(0,1),B(-2,0) $在直线$ l $上，
∴代入坐标得$\begin{cases} b=1\\ -2k+b=0 \end{cases}$，
解得$\begin{cases} k=\dfrac{1}{2}\\ b=1 \end{cases}$，
∴直线$ l $所对应的函数解析式是$ y=\dfrac{1}{2}x+1 $。
(2)
∵点$ M(3,m) $在直线$ l $上，
∴将$ x=3 $代入$ y=\dfrac{1}{2}x+1 $，
得$ m=\dfrac{1}{2}×3+1=\dfrac{5}{2} $。
(3)
∵直线$ y=-x+n $经过点$ A(0,1) $，
∴代入得$1=0+n$，解得$n=1$，即直线解析式为$y=-x+1$，
令$y=0$，则$-x+1=0$，解得$x=1$，即点$C$坐标为$(1,0)$，
∴$BC$的长度为$1-(-2)=3$，点$A$到$x$轴的距离为$1$，
∴$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}×3×1=\dfrac{3}{2}$。
【答案】
(1) $ y=\dfrac{1}{2}x+1 $；(2) $ m=\dfrac{5}{2} $；(3) $ \dfrac{3}{2} $
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数点的坐标特征；三角形面积计算
【点评】
本题属于一次函数基础综合题，核心考察一次函数的基本应用，解题关键是熟练掌握待定系数法的求解步骤，理解函数图象上点的坐标与解析式的关系，计算坐标系内三角形面积时准确找到底和对应的高即可。
【难度系数】
0.8
