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15. (1)如图(1),若$AB// CD$,求证:$∠B+∠D=∠BED.$
(2)反之,在图(1)中,若$∠B+∠D=∠BED$,直线$AB$与$CD$有什么位置关系? 请说明理由.
(3)已知$AB// CD$,若将点$E$移至图(2)的位置,此时$∠B,∠D,∠BED$之间有什么关系? 请说明理由.
(4)在图(3)中,已知$AB// CD,∠E+∠G$与$∠B+∠F+∠D$之间有何关系?(直接写出结论即可)
(5)如图(4),已知$AB// EF$,则$∠B+∠C+∠D+∠E=$
(2)反之,在图(1)中,若$∠B+∠D=∠BED$,直线$AB$与$CD$有什么位置关系? 请说明理由.
(3)已知$AB// CD$,若将点$E$移至图(2)的位置,此时$∠B,∠D,∠BED$之间有什么关系? 请说明理由.
(4)在图(3)中,已知$AB// CD,∠E+∠G$与$∠B+∠F+∠D$之间有何关系?(直接写出结论即可)
(5)如图(4),已知$AB// EF$,则$∠B+∠C+∠D+∠E=$
540°
.答案
15.(1)证明:过点$E$作$EF// AB$,如图①所示.
$\because AB// EF,\therefore ∠B=∠BEF.$
又易知$AB// EF// CD,\therefore ∠D=∠DEF.$
$\therefore ∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D.$
(2)解:$AB// CD$.理由如下:
过点$E$作$EF// AB$,如图②所示.
$\because AB// EF,\therefore ∠B=∠BEF.$
$\because ∠B+∠D=∠BED=∠BEF+∠DEF,$
$\therefore ∠D=∠DEF.$
$\therefore EF// CD. \therefore AB// CD.$
(3)解:$∠B+∠D+∠BED=360°$.理由如下:
过点$E$作$EF// AB$,如图③所示.
$\because AB// EF,\therefore ∠B+∠BEF=180°.$
又易知$AB// EF// CD,\therefore ∠D+∠DEF=180°.$
$\therefore ∠B+∠BEF+∠D+∠DEF=180°+180°=360°.$
$\therefore ∠B+∠D+∠BED=360°.$
(4)$∠E+∠G=∠B+∠D+∠F.$
(5)$540°$
解析
【分析】
这道题围绕平行线的性质与判定展开，核心解题方法是过拐点作已知直线的平行线，利用平行公理的推论得到多条平行线，将待探究的角转化为平行线的内错角或同旁内角，进而推导角的数量关系，方法可从单个拐点迁移到多个拐点的问题中：
1. 第(1)问过E作AB的平行线，将∠BED拆为两个内错角，分别与∠B、∠D相等即可证明结论；
2. 第(2)问同样过E作AB的平行线，结合已知角的关系推出EF与CD平行，即可得到AB与CD的位置关系；
3. 第(3)问拐点外凸，作平行线后得到两组互补的同旁内角，求和即可得到三个角的数量关系；
4. 第(4)问多个拐点，重复单个拐点的辅助线作法，即可推导角的和的关系；
5. 第(5)问过中间的C、D点分别作AB的平行线，利用同旁内角互补求和即可得结果。
【解析】
(1) 证明：过点E作$EF// AB$，如图①所示。
$\because AB// EF$，根据两直线平行，内错角相等，$\therefore ∠ B=∠ BEF$。
$\because AB// CD$，$EF// AB$，根据平行于同一直线的两直线互相平行，$\therefore EF// CD$，
根据两直线平行，内错角相等，$\therefore ∠ D=∠ DEF$。
$\therefore ∠ BED=∠ BEF+∠ DEF=∠ B+∠ D$，得证。
(2) $AB// CD$，理由如下：
过点E作$EF// AB$，如图②所示。
$\because AB// EF$，根据两直线平行，内错角相等，$\therefore ∠ B=∠ BEF$。
$\because ∠ B+∠ D=∠ BED$，且$∠ BED=∠ BEF+∠ DEF$，
$\therefore ∠ B+∠ D=∠ BEF+∠ DEF$，可得$∠ D=∠ DEF$，
根据内错角相等，两直线平行，$\therefore EF// CD$，
又$\because EF// AB$，根据平行于同一直线的两直线互相平行，$\therefore AB// CD$。
(3) $∠ B+∠ D+∠ BED=360°$，理由如下：
过点E作$EF// AB$，如图③所示。
$\because AB// EF$，根据两直线平行，同旁内角互补，$\therefore ∠ B+∠ BEF=180°$。
$\because AB// CD$，$EF// AB$，根据平行于同一直线的两直线互相平行，$\therefore EF// CD$，
根据两直线平行，同旁内角互补，$\therefore ∠ D+∠ DEF=180°$。
$\therefore ∠ B+∠ BEF+∠ D+∠ DEF=180°+180°=360°$，
又$\because ∠ BED=∠ BEF+∠ DEF$，$\therefore ∠ B+∠ D+∠ BED=360°$。
(4) 分别过E、F、G作AB的平行线，根据两直线平行内错角相等，可推得$∠ E=∠ B+∠ 1$，$∠ G=∠ D+∠ 2$，$∠ F=∠1+∠2$，因此$∠ E+∠ G=∠ B+∠ D+∠ F$。
(5) 过点C作$CM// AB$，过点D作$DN// AB$，
$\because AB// EF$，$\therefore AB// CM// DN// EF$，
根据两直线平行，同旁内角互补，可得$∠ B+∠ BCM=180°$，$∠ MCD+∠ CDN=180°$，$∠ NDE+∠ E=180°$，
三式相加得$∠ B+(∠ BCM+∠ MCD)+(∠ CDN+∠ NDE)+∠ E=180°×3=540°$，即$∠ B+∠ C+∠ D+∠ E=540°$。
【答案】
(1) 证明:过点$E$作$EF// AB$,如图①所示.
$\because AB// EF,\therefore ∠B=∠BEF.$
又易知$AB// EF// CD,\therefore ∠D=∠DEF.$
$\therefore ∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D.$
(2) 解:$AB// CD$.理由如下:
过点$E$作$EF// AB$,如图②所示.
$\because AB// EF,\therefore ∠B=∠BEF.$
$\because ∠B+∠D=∠BED=∠BEF+∠DEF,$
$\therefore ∠D=∠DEF.$
$\therefore EF// CD. \therefore AB// CD.$
(3) 解:$∠B+∠D+∠BED=360°$.理由如下:
过点$E$作$EF// AB$,如图③所示.
$\because AB// EF,\therefore ∠B+∠BEF=180°.$
又易知$AB// EF// CD,\therefore ∠D+∠DEF=180°.$
$\therefore ∠B+∠BEF+∠D+∠DEF=180°+180°=360°.$
$\therefore ∠B+∠D+∠BED=360°.$
(4)$∠E+∠G=∠B+∠D+∠F.$
(5)$540°$
【知识点】
平行线的性质、平行线的判定、平行公理推论
【点评】
本题是平行线拐角问题的典型习题，核心是通过过拐点作平行线的辅助线作法，将未知角的关系转化为平行线的内错角、同旁内角的关系，解题方法可从单个拐点迁移到多个拐点的同类问题，熟练掌握辅助线作法即可快速求解。
【难度系数】
0.65
这道题围绕平行线的性质与判定展开，核心解题方法是过拐点作已知直线的平行线，利用平行公理的推论得到多条平行线，将待探究的角转化为平行线的内错角或同旁内角，进而推导角的数量关系，方法可从单个拐点迁移到多个拐点的问题中：
1. 第(1)问过E作AB的平行线，将∠BED拆为两个内错角，分别与∠B、∠D相等即可证明结论；
2. 第(2)问同样过E作AB的平行线，结合已知角的关系推出EF与CD平行，即可得到AB与CD的位置关系；
3. 第(3)问拐点外凸，作平行线后得到两组互补的同旁内角，求和即可得到三个角的数量关系；
4. 第(4)问多个拐点，重复单个拐点的辅助线作法，即可推导角的和的关系；
5. 第(5)问过中间的C、D点分别作AB的平行线，利用同旁内角互补求和即可得结果。
【解析】
(1) 证明：过点E作$EF// AB$，如图①所示。
$\because AB// EF$，根据两直线平行，内错角相等，$\therefore ∠ B=∠ BEF$。
$\because AB// CD$，$EF// AB$，根据平行于同一直线的两直线互相平行，$\therefore EF// CD$，
根据两直线平行，内错角相等，$\therefore ∠ D=∠ DEF$。
$\therefore ∠ BED=∠ BEF+∠ DEF=∠ B+∠ D$，得证。
(2) $AB// CD$，理由如下：
过点E作$EF// AB$，如图②所示。
$\because AB// EF$，根据两直线平行，内错角相等，$\therefore ∠ B=∠ BEF$。
$\because ∠ B+∠ D=∠ BED$，且$∠ BED=∠ BEF+∠ DEF$，
$\therefore ∠ B+∠ D=∠ BEF+∠ DEF$，可得$∠ D=∠ DEF$，
根据内错角相等，两直线平行，$\therefore EF// CD$，
又$\because EF// AB$，根据平行于同一直线的两直线互相平行，$\therefore AB// CD$。
(3) $∠ B+∠ D+∠ BED=360°$，理由如下：
过点E作$EF// AB$，如图③所示。
$\because AB// EF$，根据两直线平行，同旁内角互补，$\therefore ∠ B+∠ BEF=180°$。
$\because AB// CD$，$EF// AB$，根据平行于同一直线的两直线互相平行，$\therefore EF// CD$，
根据两直线平行，同旁内角互补，$\therefore ∠ D+∠ DEF=180°$。
$\therefore ∠ B+∠ BEF+∠ D+∠ DEF=180°+180°=360°$，
又$\because ∠ BED=∠ BEF+∠ DEF$，$\therefore ∠ B+∠ D+∠ BED=360°$。
(4) 分别过E、F、G作AB的平行线，根据两直线平行内错角相等，可推得$∠ E=∠ B+∠ 1$，$∠ G=∠ D+∠ 2$，$∠ F=∠1+∠2$，因此$∠ E+∠ G=∠ B+∠ D+∠ F$。
(5) 过点C作$CM// AB$，过点D作$DN// AB$，
$\because AB// EF$，$\therefore AB// CM// DN// EF$，
根据两直线平行，同旁内角互补，可得$∠ B+∠ BCM=180°$，$∠ MCD+∠ CDN=180°$，$∠ NDE+∠ E=180°$，
三式相加得$∠ B+(∠ BCM+∠ MCD)+(∠ CDN+∠ NDE)+∠ E=180°×3=540°$，即$∠ B+∠ C+∠ D+∠ E=540°$。
【答案】
(1) 证明:过点$E$作$EF// AB$,如图①所示.
$\because AB// EF,\therefore ∠B=∠BEF.$
又易知$AB// EF// CD,\therefore ∠D=∠DEF.$
$\therefore ∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D.$
(2) 解:$AB// CD$.理由如下:
过点$E$作$EF// AB$,如图②所示.
$\because AB// EF,\therefore ∠B=∠BEF.$
$\because ∠B+∠D=∠BED=∠BEF+∠DEF,$
$\therefore ∠D=∠DEF.$
$\therefore EF// CD. \therefore AB// CD.$
(3) 解:$∠B+∠D+∠BED=360°$.理由如下:
过点$E$作$EF// AB$,如图③所示.
$\because AB// EF,\therefore ∠B+∠BEF=180°.$
又易知$AB// EF// CD,\therefore ∠D+∠DEF=180°.$
$\therefore ∠B+∠BEF+∠D+∠DEF=180°+180°=360°.$
$\therefore ∠B+∠D+∠BED=360°.$
(4)$∠E+∠G=∠B+∠D+∠F.$
(5)$540°$
【知识点】
平行线的性质、平行线的判定、平行公理推论
【点评】
本题是平行线拐角问题的典型习题，核心是通过过拐点作平行线的辅助线作法，将未知角的关系转化为平行线的内错角、同旁内角的关系，解题方法可从单个拐点迁移到多个拐点的同类问题，熟练掌握辅助线作法即可快速求解。
【难度系数】
0.65
